《二次函数动轴与动区间问题》

二次函数在闭区间上的最值

、知识要点:

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般

分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设%。%2+"+C(4W0)，求/(%)在九£［加，刈上的最大值与最小值。

分析：将/(x)配方，得顶点为1-2,4—与、对称轴为x=—2

k2a4a)la

当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在［m,n］上/(%)的最值：

(1)当—士耳机，可时，f(x)的最小值是/［—勺=4"；；"，“X)的最大值是

/(m)>f(n)中的较大者。

(2)当一--^\m,n\时

2aL」

若上＜m,由在W，叶上是增函数则F(x)的最小值是/Xm),最大值是了⑺

2a

若〃<—W，由“X)在忸，上是减函数则“X)的最大值是/'("),最小值是/•(〃)

当。<0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

(一)、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往

往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，

区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

区间上的最值”。

例1.函数y=-必+4%-2在区间［0,3］上的最大值是,最小值是0

解：函数y=—/+4x—2=—(x—2)2+2是定义在区间［0,3］上的二次函数，其对称轴方

程是x=2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0,3］上，

如图1所示。函数的最大值为/(2)=2,最小值为/(0)=-2。

练习.已知2/43%,求函数/5)=/+》+1的最值。

33

解：由已知2/43］,可得即函数，(x)是定义在区间0,-上的二次函数。

将二次函数配方得了(x)=［x+J+1,其对称轴方程x=—g,顶点坐标［-g,，，且

-3'

图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0,-内，如图2所示。函数/'(x)的最小值为

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在

动区间上的最值”。

例2.如果函数/(x)=(x—1)2+1定义在区间上/+1］上，求/'(X)的最小值。

解：函数/(x)=(x—l)2+l,其对称轴方程为％=1,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间上t+1］左侧时，有1</,此时，当x=f时，函数取

得最小值/(x)min=/(/)=。一1)2+1。

如图2所示，若顶点横坐标在区间，/+1］上时，有+即0W/W1。当％=1

时，函数取得最小值/(x)1nm=/(1)=1。

如图3所示，若顶点横坐标在区间上t+1］右侧时，有7+1<1,即/<0。当x=/+l时,

函数取得最小值/=/«+1)=『+1

a-l)2+l,r>l

综上讨论，/U)min=1,0<?<1

t2+lt<0

例3.已知/(X)="2—2X+3,当,+l]«eR)时，求/(%)的最大值.

解：由已知可求对称轴为1=1.

⑴当/>1时，/（X）max=/Q+D=r+2.

（2）当即OWfWl时,.

根据对称性，若t+t+1〈，即0775时，/（X）max=/⑺=产-2/+3

22

%+1+111

若即DU、时，/（X）max=/（，+l）=「+2.

（3）当『+1<1即，<0时，/（%）max=/⑺=〃.21+3.

2c

t+2J>一1

2

综上，/(x)

max1

t9—2t+3/V—

2

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？

这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间

的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它

的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨

论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称

轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个

理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

b

f（8）,---->〃（如图3）

b12a

/（m）,---->—（m+几）（如图1）

2a2f/_bb

当a>0时/（x）1iJin/（----）,m<----<〃（如图4）

2a2a

/（n）,----<—（m+几）（如图2）

2a2b

/（m）,----<加（如图5）

2a

IYI1

b

/（〃）,---->〃（如图6）

b1

2a/(加)，---->—（.+〃）（如图9）

bh2a2

当。<0时/(x)/（----），rn<----<〃（如图7）f（^）mm=

2a2ab1

/（〃），----<一（加+〃）（如图10）

b,2a2

f（m）,----〈加（如图8）

2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这

种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4.已知炉<1,且a—220,求函数/(%)=/+以+3的最值。

解：由已知有—«>2,于是函数/'(X)是定义在区间卜1,1］上的二次函数，

将/'(x)配方得：/(x)=［x+|j+3—1

二次函数/(x)的对称轴方程是x=-1顶点坐标为3-引，图象开口向上

由。之2可得x=-1,显然其顶点横坐标在区间卜1,1］的左侧或左端点上。

函数的最小值是/(-I)=4一a,最大值是/(I)=4+a。

图3

例5.(1)求以+1在区间［-1,2］上的最大值。

(2)求函数y=-x(x—a)在上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x=-a,

当一。〈〈即a〉—g时，f(x))ma^f(2)^4a+5；

当—a2T即g时，f(x)max^f(-l)^2a+2.

—2a+2,a——

2

综上所述：f(x)

mm/u1

4cl+>—

2

2

(2)函数y=—(%---『H----图象的对称轴方程为％=—，应分——VI,—<—1,—>1即

242222

-2<a<2,a<-2和a>2这三种情形讨论，下列三图分别为

(1)a<-2；由图可知/(X)max=/(—1)

⑵-2<a<2；由图可知/Xx)1mx=呜)

4.轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在

动区间上的最值”。

例6.已知y2=4a(x-a)(a〉0),,求M=(x-3了+丁的最小值。

解：将V=4a(x—a)代入口中，得

u-(x-3)2+4a(x-a')=[x-(3-2a)]2+12a-8a2,xe[a,+oo)

@3-2a>a,即。时,/(x温=〃3-2a)=12a-8a?

②3-2a〈a,即a>l时，/(x)2=/(a)=3-3)’

12a-8a2(0<a<1)

/Wmn=\2

.[(a-3)(a>1)

(二)、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7.已知函数/。)=以2+2奴+1在区间[-3,2]上的最大值为4,求实数a的值。

解:f(x)=a{x+1)2+1-a,%s[-3,2]

(1)若a=O,/(x)=L，不符合题意。

3

(2)若。＞0,则/(x)max=/(2)=8〃+1,由8a+l=4,得〃=一

8

(3)若]＜。时，则/(%)max=/(-1)=1—〃，由1—1=4,得〃=—3

3、

综上知〃=—或a=-3

8

V2

例8.已知函数/(%)=］+］在区间［北川上的最小值是3加最大值是3〃，求加，儿的值。

F77-I-A7

解法1：讨论对称轴x=l中1与私"的位置关系。

2

)/«.=/(«)=3^解得幽=_4,阀=0

①若洗＜1,则＜

JO).=于(喻=3m

②若「＜〃，则⑴=3",无解

JOOmin=以加)=3m

■(xU=/(D=3^无解

③右加«1＜-----，贝八

2l/Wmin=/(«)=3m

，—解

④若1＜加＜«,则＜

综上，m--4,n=0

1,1

解析2：由/Xx)=—/(X—1)2+Q,知3〃V贝！J[w]q(-co,1],

26

,(X)—A(")—3n

又•.•在［私用上当》增大时y(x)也增大所以「'1ax八'，解得M=T,"=O

/(x)1n=f(m)=3m

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了加，〃的取值范围，避

开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

例9.已知二次函数〃口=以2+(2。-1及+1在区间一g,2上的最大值为3,求实数a的值。

这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a＞0与。＜0两大类五种情形讨论，过程繁

琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函

数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为：

(1)令=得a=_，

2a2

此时抛物线开口向下，对称轴方程为1=-2,且-2®--,2,故-,不合题意;

(2)令于(2)=3,得a=；

此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故。=,符合题意;

2

32

(3)若/(_万)=3,得

2

此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故。=--符合题意。

3

1、2

综上，a=—或。=—

23

解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参

数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处

取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程

简洁、明了。

三、巩固训练

1.函数_y=/+x+l在上的最小值和最大值分别是()

311

(A)1,3(B)-,3(C)--,3(D)一一，3

424

2.函数y=—炉+4%-2在区间［1,4］上的最小值是()

(A)-7(8)—4(C)-2(D)2

(A)最大值为8,最小值为0(3)不存在最小值，最大值为8

(C)最小值为0,不存在最大值(。)不存在最小值，也不存在最大值

4.若函数y=2-4-x1+4x,xe［0,4］的取值范围是

5.已知函数〃乃=公2+(2a—i)x—3(aW0)在区间［―3，2］上的最大值是1,则实数a的

值为______________

6.如果实数羽y满足/+V=1,那么(1-町)(1+孙)有()

13

(A)最大值为1,最小值为一(B)无最大值，最小值为一

24

3

(C))最大值为1,无最小值(D)最大值为1,最小值为士

7.已知函数了=--2x+3在闭区间［0,加］上有最大值3,最小值2,则M的取值范围是

)

(A)[l,+oo)(B)[0,2](C)[1,2](D)(-oo,2]

8.若»0,x+2y=1,那么2x+3;/的最小值为

9.设/“e氏/,工2是方程炉—27取+1-加=0的两个实根，则的最小值__

10.设f(x)^x2-4x-4,x&[t,t+1](?eR),求函数/(%)的最小值g(t)的解析式。

11.已知/(x)=兀2—ox+曰，在区间[0,1]上的最大值为g(a),求g(a)的最小值。

12.(2009江苏卷)设a为实数，函数/(尤)=2f+。—a)|九—a|.

⑴若/(o)2i,求a的取值范围；

⑵求了(X)