注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷1（共143题）

注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷1（共4套）（共143题）注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共46题，每题1.0分，共46分。)1、设α、β、γ都是非零向量，若α×β=α×γ，则()。A、β=γB、α∥β且α∥γC、α∥(β一γ)D、α⊥(β一γ)标准答案：C知识点解析：根据题意可得，α×β一α×γ=α×(β一γ)=0，故α∥(β一γ)。2、设α=i+2j+3k，β=i一3j一2k，与α、β都垂直的单位向量为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题意，先将向量表示为点：α=(1，2，3)，β=(1，一3，一2)；设与它们垂直的单位向量为γ=(x，y，z)，则有解得，。表示成单位向量为：3、已知a、b均为非零向量，而｜a+b｜=｜a—b｜，则()。A、a—b=0B、a+b=0C、a.b=0D、a×b=0标准答案：C知识点解析：由a≠0，b≠0及｜a+b｜=｜a—b｜知，(a+b)*(a+b)=(a—b)*(a—b)。即a*b=一a*b，所以a*b=0。4、设三向量a，b，c满足关系式a*b=a*c，则()。A、必有a=0或b=CB、必有a=b—C=0C、当a≠0时必有b=CD、a与(b—c)均不为0时必有a⊥(b—c)标准答案：D知识点解析：因a*b=a*c且a≠0，b—c≠0，故a*b—a*c=0，即a*(b—C)=0，a⊥(b—c)。5、设a，b，c为非零向量，则与a不垂直的向量是()。A、(a*C)b一(a*b)cB、C、a×bD、a+(a×b)×a标准答案：D知识点解析：由两向量垂直的充要条件：两向量的数量积为零，以及由向量的运算法则有A项，a*[(a*C)b一(a*b)C]=0；B项，C项，a(a×b)=0；D项，a[a+(a×b)×a]=｜a｜2≠0。6、设a、b为非零向量，且满足(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，则a与b的夹角θ=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由两向量垂直的充要条件得：7、已知｜a｜=2，｜b｜=，且ab=2，则｜a×b｜=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设向量x垂直于向量a=(2，3，一1)和b=(1，一2，3)，且与c=(2，一1，1)的数量积为一6，则向量x=()。A、(一3，3，3)B、(一3，1，1)C、(0，6，0)D、(0，3，一3)标准答案：A知识点解析：由题意可得，x∥a×b，而a×b=(2，3，-1)×(1，-2，3)=(7，一7，一7)=7(1，一1，一1)，所以x=(x，一x，一x)。再由一6=x*c=(x，一x，一x)*(2，一1，1)=2x得，x=-3，所以x=(一3，3，3)。9、直线L1：之间的关系是()。A、L1∥L2B、L1，L2相交但不垂直C、L1⊥L2但不相交D、L1，L2是异面直线标准答案：A知识点解析：暂无解析10、已知直线方程中所有系数都不等于0，且，则该直线()。A、平行于x轴B、与x轴相交C、通过原点D、与x轴重合标准答案：B知识点解析：因，故在原直线的方程中可消去x及D，故得原直线在yoz平面上的投影直线方程为，在yoz平面上的投影过原点，故原直线必与x轴相交。11、已知直线L1过点M1(0，0，一1)且平行于x轴，L2过点M2(0，0，1)且垂直于xoz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为()。A、x2+y2=4zB、x2一y2=2zC、x2一y2=zD、x2一y2=4z标准答案：D知识点解析：两直线的方程为：。设动点为M(x，y，z)，则由点到直线的距离的公式知：(其中li是直线Li的方向向量)，则：。由d1=d2得：d12=d22，故(z+1)2+y2=(z一1)2+x2，即x2一y2=4z。12、在平面x+y+z一2=0和平面x+2y一z一1=0的交线上有一点M，它与平面x+2y+z+1=0和x+2y+z一3=0等距离，则M点的坐标为()。A、(2，0，0)B、(0，0，一1)C、(3，一1，0)D、(0，1，1)标准答案：C知识点解析：A项，点(2，0，0)不在平面x+2y—z—1=0上；B项，点(0，0，一1)不在平面x+y+z一2=0上；D项，点(0，1，1)与两平面不等距离。13、设平面α平行于两直线及2x=y=z，且与曲面z=x2+y2+1相切，则α的方程为()。A、4x+2y—z=0B、4x一2y+z+3=0C、16x+8y一16z+11=0D、16x一8y+8z一1=0标准答案：C知识点解析：暂无解析14、三个平面x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay过同一直线的充要条件是()。A、a+b+c+2abc=0B、a+b+c+2abc=1C、a2+b2+c2+2abc=0D、a2+b2+c2+2abc=1标准答案：D知识点解析：由于三个平面过同一直线←→线性齐次方程组15、通过直线的平面方程为()。A、x一z一2=0B、x+z=0C、x一2y+z=0D、x+y+z=1标准答案：A知识点解析：因点(一1，2，一3)不在平面x+z=0上，故可排除B项；因点(3，一1，1)不在x一2y+z=0和x+y+z=1这两个平面上，故可排除CD两项，选A项。16、直线L为，平面π为4x一2y+z一2=0，则()。A、L平行于πB、L在π上C、L垂直于πD、L与π斜交标准答案：C知识点解析：直线L的方向向量平面π的法向量n=4i一2j+k，所以s∥n，即直线L垂直于平面π。17、设有直线L1：x=一1+t，y=5—2t，z=一8+t，L2：，则两线的夹角为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：两直线的夹角即为两直线的方向向量的夹角，而L1的方向向量为s1=(1，一2，1)，L2的方向向量为s2=(1，一1，0)×(0，2，1)=(一1，一1，2)。s1，s2夹角α的余弦为：18、过点(一1，2，3)垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：直线的方向向量为s=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为n=(7，8，9)。显然A、B、C中的直线均过点(一1，2，3)。对于A中直线的方向向量为s1=(1，一2，1)，有s1⊥s，s1⊥n，可见A中直线与已知直线垂直，与平面7x+8y+9z+10=0平行。19、若直线相交，则必有()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如果两直线相交，则这两条直线的方向向量与这两条直线上两点连线构成的向量应在同一平面上，由此来确定入。点A(1，一1，1)，B(一1，1，0)分别为两条直线上的一点，则AB=(一2，2，一1)，两条直线的方向向量分别为s1=(1，2，λ)，s2=(1，1，1)，这三个向量应在同一个平面上，即：。20、过点P(1，0，1)且与两条直线都相交的直线的方向向量可取为()。A、(一1，1，2)B、(一1，1，一2)C、(1，1，一2)D、(1，1，2)标准答案：D知识点解析：设过点P(1，0，1)的直线L分别与直线L1与L2交于点A和点B，由L1和L2的方程知，存在常数λ使点A的坐标为(λ，λ一1，一1)，存在常数μ使点B的坐标为(1+μ，2，3+μ)，由此可求得λ=0，μ=2，即点A为(0，一1，一1)，点B为(3，2，5)。从而，直线L的方向向量可取任一平行于AB=(3，3，6)的非零向量。21、下列方程中代表锥面的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：锥面方程的标准形式为：22、已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是()。A、(1，一1，2)B、(一1，1，2)C、(1，l，2)D、(一1，一1，2)标准答案：C知识点解析：即求曲面S：F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=z+x2+y2一4上点P使S在该点处的法向量n与平面π：2x+2y+z-1=0的法向量，n0=(2，2，1)平行。S在P(x，y，z)处的法向量，n==(2x，2y，1)。n∥n0←→n=λn0，λ为常数，即2x=2λ，2y=2λ，1=λA。即x=l，y=1，又点P(x，y，z)∈S→z=4一x2一y2｜(x，y)=2，求得P(1，1，2)(P不在给定的平面上)。23、母线平行于ax轴且通过曲线的柱面方程为()。A、3x2+2z2=16B、x2+2y2=16C、3y2一z2=16D、3y2一z=16标准答案：C知识点解析：因柱面的母线平行于x轴，故其准线在yoz平面上，且为曲线在yoz平面上的投影，在方程组中消去x得：，此即为柱面的准线，故柱面的方程为：3y2一z2=16。24、曲线L：在xoy面上的投影柱面方程是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：投影柱面方程是一个二元方程，C、D表示的是曲线。而B中的方程中含z，不可能是L在xoy面上的投影柱面方程。25、方程是一旋转曲面方程，它的旋转轴是()。A、x轴B、y轴C、z轴D、直线x=y=z标准答案：C知识点解析：故曲面是由直线绕z轴旋转而成。26、在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()。A、只有1条B、只有2条C、至少有3条D、不存在标准答案：B知识点解析：求曲线上的点，使该点处的切向量τ与平面x+2y+z=4的法向量n=(1，2，1)垂直。曲线在切点处的切向量τ=(x’(t))，y’(t)，z’(t))=(1，一2t，3t2)。又n⊥τ←→n.τ=0，即1-4t+3t2=0，解得：t=1，。(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此，只有两条这种切线。27、螺旋线p：(a，b为正常数)上任一点处的切线()。A、与z轴成定角B、与x轴成定角C、与yoz平面成定角D、与zox平面成定角标准答案：A知识点解析：设M(x，y，z)为曲线p上任一点，则点M处的切向量为：l=(一asint，acost，b)，而z轴的方向向量为k=(0，0，1)，于是l与k的夹角为：故该曲线上任一点处的切线与z轴成定角θ。28、求极限时，下列各种解法中正确的是()。A、用洛必达法则后，求得极限为0B、因为不存在，所以上述极限不存在C、原式D、因为不能用洛必达法则，故极限不存在标准答案：C知识点解析：A项，因为不存在，故不能用洛比达法则求极限。29、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时()。A、f(x)是x等价无穷小B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小C、f(x)是比x高阶的无穷小D、f(x)是比x低阶的无穷小标准答案：B知识点解析：利用等价无穷小代换与极限四则运算法则求解。再由极限的四则运算法则，得。根据无穷小的阶的定义，可知B正确。30、设f(x)满足，当x→0时，lncosx2是比xnf(x)高阶的无穷小，而xnf(x)是比esin2x一1高阶的无穷小，则正整数n等于()。A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：由知，当x→0时，f(x)～一x2，于是xnf(x)～一xn+2。又当x→0时，lncosx2=In[1+(cosx2—1)]～cosx2-1～。esin2x一1～sin2x～x2。再根据题设有2＜n+2＜4，可见n=1。31、设函数可导，则必有()。A、a=1，b=2B、a=一1，b=2C、a=1，b=0D、a=一1，b=0标准答案：B知识点解析：若函数f(x)在x=1处可导，则f(x)在x=1处连续，从而且32、下列命题正确的是()。A、分段函数必存在间断点B、单调有界函数无第二类间断点C、在开区间内连续，则在该区间必取得最大值和最小值D、在闭区间上有间断点的函数一定有界标准答案：B知识点解析：A项，例如分段函数在定义域内没有间断点；C项，函数f(x)=x，0＜x＜1，在开区间(0，1)内单调连续，没有最大值和最小值；D项，若函数在闭区间内有第二类间断点，则函数在该区间内不一定有界；B项，若函数单调有界，则一定没有第二类间断点。33、下列函数中，在点(0，0)处连续的函数是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项，因A中函数在点(0，0)处没定义，故函数在点(0，0)处不连续。B项，因。C项，令y=kx(k≠1)，有不存在。D项，当x≠0，于是，取δ=ε，当0＜因此，D项中函数在点(0，0)处连续。34、设函数f(x)在x=x0的某邻域内连续，在x=0处可导，则函数f(x)｜f(x)｜在x=x0处()。A、可导，且导数为2f(x0)f’(x0)B、可导，且导数为2f(x0)｜f’(x0)｜C、可导，且导数为2｜f(x0)｜f’(x0)D、不可导标准答案：C知识点解析：令g(x)=f(x)｜f(x)｜。当f(x0)=0时，当f(x0)＞0时，因为f(x)在x=x0的某邻域内连续，所以，存在x0的一个邻域，当x在该邻域内时，f(x)＞0，有同理可得，当f(x0)＜0时，所以，函数f(x)｜f(x)｜在x=x0处可导，且导数为2｜f(x0)｜f’(x0)。35、设函数f(t)连续，t∈[-a，a]，f(t)＞0，且g(x)=，则在[一a，a]内必有()。A、g’(x)=C(常数)B、g’(x)是单调增加的C、g’(x)是单调减少的D、g’(x)是函数，但不单调标准答案：B知识点解析：当一a＜x＜a时，有36、设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：37、函数在x处的导数是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：将函数y看作一个复合函数，求导如下：38、已知f(x)是二阶可导的函数，为()。A、e2f(x)B、e2f(x)f"(x)C、e2f(x)(2f’(x))D、2e2f(x)[2(f’(x))2+f"(x)]标准答案：D知识点解析：将y看作一个复合函数，利用复合函数的求导法则可得：39、设α是实数，f(x)=，f(x)在x=1处可导，则α的取值为()。A、α＜一1B、一1≤α＜0C、0≤α＜1D、α≥1标准答案：A知识点解析：由导数定义显然f’(1)=0，因此α+1＜0，即α＜一1时，f’(1)=0，即可导。40、设函数y=f(x)有，则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是()。A、与△x等价的无穷小B、与△x同阶的无穷小，但不等价C、比△x低阶的无穷小D、比△x高阶的无穷小标准答案：B知识点解析：根据微分概念及同阶无穷小的定义，因，故。即dy与△x为同阶无穷小，但不等价。41、已知xy=kz(k为正常数)，则等于()。A、1B、一1C、kD、标准答案：B知识点解析：将方程整理为F(x，y，z)=0的形式，即xy一kz=0，则有42、二元函数，在点(0，0)处()。A、连续，偏导数存在B、连续，偏导数不存在C、不连续，偏导数存在D、不连续，偏导数不存在标准答案：C知识点解析：偏导数可按定义计算，而是否连续，要求先确定其极限，若极限不存在，则必定不连续。由偏导数的定义知，。同理，fy’(0，0)=0。可见在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在。而当y=kx时，有。当k不同时，不同，故不存在，因而f(x，y)在点(0，0)处不连续。43、已知为某函数的全微分，则a等于()。A、一1B、0C、1D、2标准答案：D知识点解析：P(x，y)dx+Q(x，y)dy为某函数u(x，y)的全微分du(x，y)，即：du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy的充要条件是：。由题设为某函数的全微分的充要条件是：即(a—2)x—ay=一2y，(a-2)(x一y)=0。当且仅当a=2时上式恒成立。44、设y=f(x)是满足微分方程y”+y’一esinx=0的解，且f’(x0)=0，则f(x)在()。A、x0的某个邻域内单调增加B、x0的某个邻域内单调减少C、x0处取得极小值D、x0处取得极大值标准答案：C知识点解析：将f’(x0)=0代入方程得f"(x0)的符号，从而由极值的充分条件得正确选项。f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一esinx=0，所以有f"(x0)=esinx0一f’(x0)=esinx0＞0。即f’(x0)=0，f"(x0)＞0。故f(x)在x0处取得极小值。45、在区间(一∞，+∞)内，方程()。A、无实根B、有且仅有一个实根C、有且仅有两个实根D、有无穷多个实根标准答案：C知识点解析：将方程根的讨论先转化为函数零点的讨论，零点的存在性用介值定理，个数或惟一性利用单调性或极值加以说明。令f(x)=，由于f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数，因此只需考虑f(x)=0在(0，+∞)内的实根情况。当x≥0时，。可见，当x∈时，f’(x)＞0，f(x)在内单调增加，f(0)=-1，＞1，因此f(x)=0在上有惟一实根；当时，f(x)＞0，故在(0，+∞)上f(x)仅存在惟一实根。根据f(x)关于y轴对称的性质，f(x)=0在(一∞，+∞)上有且仅有两个实根。46、已知函数f(x，y)在点（0，0)的某个邻域内连续，且，则()。A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点D、根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点标准答案：A知识点解析：由题设，容易推知f(0，0)=0，因此点(0，0)是否为f(x，y)的极值点，关键看在点(0，0)的充分小的邻域内f(x，y)是恒大于零、恒小于零还是变号。由知，分子的极限必为零，从而有f(0，0)=0，且f(x，y)一xy≈(x2+y2)2(｜x｜，｜y｜充分小时)，于是f(x，y)一f(0，0)≈xy+(x2+y2)2。可见当y=x且｜x｜充分小时，f(x，y)一f(0，0)≈x2+4x4＞0；而当y=一x且｜x｜充分小时，f(x，y)一f(0，0)≈一x2+4x4＜0。故点(0，0)不是f(x，y)的极值点。注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共43题，每题1.0分，共43分。)1、等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：分部积分法：。2、若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为()。A、1+sinxB、1一sinxC、1+cosxD、1一cosx标准答案：B知识点解析：由题设f’(x)=sinx,于是f(x)=∫f’(x)dx=一cosx+C1。从而f(x)的原函数为：F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2。令C1=0，C2=1，即得f(x)的一个原函数为1一sinx。3、若f(x)的一个原函数是，则∫xf’(x)dx=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：。4、若∫f(x)dx=x2+C,则∫xf(1一x2)dx=()。A、2(1-x2)2+CB、C、一2(1一x2)+CD、标准答案：B知识点解析：。5、设函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足，则f(x)是()。A、xe-xB、xe-x一ex-1C、ex-1D、(x一1)e-x标准答案：B知识点解析：对左右两边从0到1对x积分可得：6、已知，设F(x)=，则F(x)为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设，则极限等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先用第一类换元积分法计算积分得an，再利用求极限。8、广义积分，则c等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据题意：9、设，则有()。A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N标准答案：D知识点解析：三个均为对称区间上的积分，自然想到奇偶函数在对称区间上的积分性质。根据被积函数的奇偶性知，。因此有P＜M＜N。10、设，则F(x)()。A、为正常数B、为负常数C、恒为零D、不为常数标准答案：A知识点解析：被积函数以2π为周期，利用周期函数的积分性质进行计算。首先决定F(x)是否为常数，有两种方法：①F’(x)=0，则F(x)≡C。②显然被积函数esintsint以2π为周期，由周期函数的性质可知：F(x)≡C。由于esintsint是以2π为周期的，因此。11、设，则()。A、I1＞I2＞1B、1＞I1＞I2C、I2＞I1＞1D、1＞I2＞I1标准答案：B知识点解析：直接计算I1，I2困难，可应用不等式tanx＞x(x＞0)和定积分的性质判断。12、下列广义积分中发散的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：13、设D是xoy平面上以(1，1)、(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：三角形D可进一步分割为两个分别关于x轴和y轴对称的三角形，从而根据被积函数关于x或y的奇偶性即可得出结论。设D’是xoy平面上以(0，0)，(1，1)，(一1，1)为顶点的三角形区域，D"是xoy平面上以(0，0)，(一1，1)，(一1，一1)为顶点的三角形区域，则D’关于y轴对称，D"关于x轴对称。14、设函数f(u)连续，区域等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系，并在两种坐标系下化为累次积分，即得正确选项。积分区域(见图1—3一1)，在直角坐标系下，15、设，则a为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：16、设，其中Ω是由所围成的，则I=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设圆锥侧面，球面上侧所围区域为Ω1，球面与平面Z=1，圆锥面所围区域为Ω2(见图1—3—2)，则17、在区间[0，2π]上，曲线y=sinx与y=cosx之间所围图形的面积是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：y=sinx与y=cosx的交点分别在处，只有B项符合。18、设f(x，y，z)是连续函数，I(R)=，则R→0时，下面说法正确的是()。A、I(R)是R的一阶无穷小B、I(R)是R的二阶无穷小C、I(R)是R的三阶无穷小D、I(R)至少是R的三阶无穷小标准答案：D知识点解析：f(x，y，z)为常数M时，。对任意连续函数f(x，y，z)，则由积分中值定理得：，其中ξ2+η2+ζ2≤R2。当R→0时，(ξ，η，ζ)→(0，0，0)，则：。当f(0，0，0)≠0时，I(R)是R的三阶无穷小；当f(0，0，0)=0时，I(R)是比R3高阶的无穷小。19、设Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0，则三重积分等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：如果Ω关于x，y轮换对称即把Ω表达式中的x，y换为y，x，Ω不变，则而本题的Ω关于x、y轮换对称，关于x、z(或y、z)不轮换对称，故20、设f(x)、g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为dV={π[m—g(x)]2一π[m一f(x)]2}dx，则：21、设曲线积分∫t[f(x)一ex]sinydx一f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：22、设，则R→0时，下面说法正确的是()。A、IR是R的一阶无穷小B、IR是R的二阶无穷小C、IR是R的三阶无穷小D、IR至少是R的三阶无穷小标准答案：B知识点解析：23、设平面曲线，y≥0，其所围成的区域分别记为D和D1，则有()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：24、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用极坐标方程表示曲线的弧长公式，有：25、双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的图形是关于y轴对称的，因此所求面积S为x≥0部分图形面积S1的两倍。对于x≥0部分双纽线的极坐标方程是：26、设抛物线y2=2x分圆盘x2+y2≤8为两部分，则这两部分面积的比为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：27、设函数f(x)连续，由曲线y=f(x)在x轴围成的三块面积为S1、S2、S3(S1、S2、S3均大于0)如图1—3—4所示，已知S2+S3=p，S1=2S2一q，且p≠q，则等于()。A、P—qB、q—PC、P+qD、2(P—q)标准答案：B知识点解析：由定积分几何意义得：=-S1+S2一S3=一(S1—S2+S3)。又S2+S3=p，S1=2S2一q，则S1一S2+S3=p—q，即=q—P。28、设f(x)=，则方程f(x)=1在(1，+∞)内的实根个数必为()。A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：故x充分大后f(x)会大于任何数，因此方程f(x)=1必有一个实根。29、设F(x)=可导，且f’(x)＞0，则()。A、F(0)是极大值B、F(0)是极小值C、F(0)不是极值，但(0，F(0))是曲线F(x)的拐点坐标D、F(0)不是极值，(0，F(0))也不是曲线F(x)的拐点坐标标准答案：C知识点解析：F(x)=；F’(x)=；F"(x)=f(x)+xf’(x)一f(x)=xf’(x)。F"(0)=0。又由f’(x)＞0，当x＜0时，F"(x)＜0；当x＞0时，F"(x)＞0；因此(0，F(0))是曲线的拐点。由F"(x)的符号可得：当x＜0时F’(x)单调递减，因此F’(x)＞F’(0)=0；当x＞0时F’(x)单调递增，因此F’(x)＞F’(0)=0，从而推得F(x)在(一∞，+∞)单调增加，F(0)不是极值点。30、已知级数，则级数等于()。A、3B、7C、8D、9标准答案：C知识点解析：31、级数(常数α＞0)()。A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与α有关标准答案：C知识点解析：32、设常数λ＞0，且级数收敛，则级数()。A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与λ有关标准答案：C知识点解析：33、设，则下列级数中肯定收敛的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：34、已知级数均收敛，则p的取值范围是()。A、P＞2B、P＜2C、P＞0D、0＜p＜2标准答案：D知识点解析：若均收敛，则同时有P一2＜0且P＞0，综合得0＜P＜2。35、函数ex展开成为x一1的幂级数是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：ex在实数范围内有直到n+1阶的导数，利用泰勒公式展开如下：36、函数展开成(x一2)的幂级数是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：37、若的收敛域是(一8，8]，则的收敛半径及的收敛域分别是()。A、8，(一2，2]B、8，[一2，2]C、不定，(一2，2]D、8，[一2，2)标准答案：A知识点解析：38、已知的收敛半径R=1，则的收敛域为()。A、(一1，1)B、[一1，1)C、(一1，1]D、(一∞，+∞)标准答案：D知识点解析：39、若级数在x＞0时发散，在x=0时收敛，则常数a=()。A、1B、一1C、2D、一2标准答案：B知识点解析：由已知，若x=0时收敛，则必有｜a｜≤1。又a=1且x=0时，原级数发散；仅当a=一1且x=0时，原级数收敛，故选B项。40、设，则f(x)在x=0时的6阶导数f(6)(0)是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：41、设α为常数，则级数()。A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性与α的取值有关标准答案：C知识点解析：42、设，其中an=等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设知，应先将f(x)从[0，1)作偶延拓，使之成为区间[一1，1]上的偶函数，然后再作周期(周期为2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有：43、设，要使级数绝对收敛，常数p应当()。A、P＞一1B、P＞0C、P＞10D、P≥-1标准答案：B知识点解析：注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共32题，每题1.0分，共32分。)1、微分方程(3+2y)xdx+(1+x2)dy=0的通解为()。A、1+x2=CyB、(1+x2)(3+2y)=CC、D、(1+x2)2(3+2y)=0标准答案：B知识点解析：2、微分方程cosydx+(1+e-x)sinydy=0满足初始条件的特解是()。A、B、cosy=1+exC、cosy=4(1+ex)D、cos2y=1+ex标准答案：A知识点解析：原方程可整理为：，两边取不定积分得：其中C为任意常数。将初始条件代入，可知C=1／4。3、方程y’sinx=ylny，满足定值条件的特解是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：4、微分方程y"=y’2的通解是()。A、1nx+CB、In(x+C)C、C2+In｜x+C1｜D、C2一In｜x+C1｜标准答案：D知识点解析：5、微分方程y"=x+sinx的通解是()。(C1，C2为任意常数)A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：6、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()。A、y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)B、y*=x(Ax2+Bx+C+Asinx+Bcosx)C、y*=Ax2+Bx+C+AsinxD、y*=Ax2+Bx+C+Acosx标准答案：A知识点解析：对应齐次方程y"+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对y"+y=x2+1=e0(x2+1)而言，因0不是特征根，从而其特解形式可设为：y1*=Ax2+Bx+C。y"+y=sinx，因i为特征根，从而其特解形式可设为：y2*=x(Asinx+Bcosx)。从而y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为：y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)。7、函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是()。A、y"一y’一2y=3xexB、y"一y’一2y=3exC、y"+y’一2y=3xexD、y"+y’一2y=3ex标准答案：D知识点解析：y=C1ex+C2e-2x+xex是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程的特征根λ1=1，λ2=一2，特征方程应是(λ一1)(λ+2)=0，于是相应的齐次方程是y"+y’一2y=0。CD两项中，方程y"+y’一2y=3ex，有形如y*=Axex的特解(此处eax中a=1是单特征根)。8、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是()。A、y"’-y"一y’+y=0B、y"’+y"一y’—y=0C、y"’-6y"+11y’—6y=0D、y"’-2y"一y’+2y=0标准答案：B知识点解析：由特解知，对应特征方程的根为：λ1=λ2=一1，λ3=1。于是特征方程为：(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1=0。故所求线性微分方程为：y"’+y"一y’一y=0。9、设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限()。A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3标准答案：C知识点解析：由y"+py’+qY=e3x及y(0)=y’(0)=0，知)y"(0)=1，则：10、要使得二次型f(x1，x2，x3)=x12+2tx1x2+x22一2x1x3+2x2x3+2x32为正定的，则t的取值条件是()。[2012年真题]A、一1＜t＜1B、一1＜t＜0C、t＞0D、t＜一1标准答案：B知识点解析：该方程对应的二次型的矩阵为：。若二次型为正定，其各阶顺序主子式均大于零，由二阶主子式大于零，有1-t2＞O，求得一1＜t＜1。三阶主子式也大于零，得-1＜t＜0。11、已知的值为()。A、2B、一2C、0D、4标准答案：D知识点解析：令，观察矩阵B，容易发现B正是A的伴随矩阵，即B=A*，故由AA*=｜A｜E，得：｜A*｜=｜A｜n-1=23-1=4。12、f(x)=是x的多项式，其可能的最高方次是()。A、1次B、2次C、3次D、4次标准答案：A知识点解析：第二行、第三行都减去第一行后，再按第一行展开，知f(x)的可能的最高方次是一次。13、设A是3阶矩阵，矩阵A的第1行的2倍加到第2行，得矩阵B，则下列选项中成立的是()。A、B的第1行的-2倍加到第2行得AB、B的第1列的一2倍加到第2列得AC、B的第2行的一2倍加到第1行得AD、B的第2列的一2倍加到第1列得A标准答案：A知识点解析：设矩阵，则：14、设A，B为n阶矩阵，A*，B*分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C*=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：若A、B可逆，则C可逆，且C*=｜C｜.C-1，可求得C*。若A、B不全可逆，则对四个选项验证：C.C*=｜C｜E。若A、B均可逆，则A*=｜A｜A-1，B*=｜B｜B-1，对比四个选项知，只有D项成立。当A或B不可逆时，利用定义可证D项仍成立。15、设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()。A、(A*)*=｜A｜n-1AB、(A*)*=｜A｜n+1AC、(A*)*=｜A｜n-2AD、(A*)*=｜A｜n+2A标准答案：C知识点解析：涉及伴随矩阵A*，联想到公式AA*=A*A=｜A｜E。A*=｜A｜A-1，于是16、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是()。A、α1+α2，α2+α3，α3一α1B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D、α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2一5α3标准答案：C知识点解析：A项，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α1)=0；B项，(α1+α2)+(α2+α3)一(α1+2α2+α3)=0；可见AB两项中向量组线性相关。CD两项不能直接观察出，C项，令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，即(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0。由于α1，α2，α3线性无关，故。因上述齐次线性方程组的系数行列式，故方程组有惟一零解，即k1=k2=k3=0，故C项中向量组线性无关。17、设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是()。A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α1，α2，α5D、α1，α2，α4，α5标准答案：B知识点解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵施以初等行变换：由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个以上的向量必线性相关，对比四个选项知，B项成立。18、设n维行向量，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于()。A、0B、一EC、ED、E+αTα标准答案：C知识点解析：注意利用ααT为一个数来简化计算。AB=(E—αTα)(E+2αTα)=E+2αTα一αTα一2αTααTα=19、设齐次线性方程组，当方程组有非零解时，后值为()。A、一2或3B、2或3C、2或一3D、一2或一3标准答案：A知识点解析：当方程组有非零解时，系数矩阵的行列式为0，即，k2一k一6=0，所以k=3或k=一2。20、设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是导出组Ax=0的基础解系，k1、kα2是任意常数，则Ax=b的通解是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：非齐次线性方程组Ax=b的通解由导出组Ax=0的基础解系与某一特解构成。A项，、α1-α2都是导出组Ax=0的一个解，该选项中不包含特解；B项，β1-β2是导出组Ax=0的一个解，该选项也不包含特解；C项，是Ax=b的特解，α1-α2与α1线性无关，可作为导出组Ax=0的基础解系；D项，包含特解，但β1-β2与α1未必线性无关，不能作为导出组Ax=0的基础解系。21、设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()。A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有惟一解B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解标准答案：D知识点解析：由解的判定定理知，对Ax=b，若有r(A)==r，则Ax=b一定有解。进一步，若r=n，则Ax=b有惟一解；若r＜n，则Ax=b有无穷多解。而对Ax=0一定有解，且设r(A)=r，则若r=n，Ax=0仅有零解；若r＜n，Ax=0有非零解。因此，若Ax=b有无穷多解，则必有r(A)==r＜n，Ax=0有非零解，所以D项成立。但反过来，若r(A)=r=n(或＜n)，并不能推导出r(A)=，所以Ax=b可能无解，更谈不上有惟一解或无穷多解。22、齐次线性方程组的系数矩阵记为A。若存在三阶矩阵B≠0使得AB=0，则()。A、λ=一2且｜B｜=0B、λ=一2且｜B｜≠0C、λ=1且｜B｜=0D、λ=1且｜B｜≠0标准答案：C知识点解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r(A)＜3，1≤r(B)＜3，故｜B｜=0。又因为λ=一2时，，即此时r(A)=3。事实上，当λ=1时，。23、已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则()。A、β是A的属于特征值0的特征向量B、α是A的属于特征值0的特征向量C、β是A的属于特征值3的特征向量D、α是A的属于特征值3的特征向量标准答案：C知识点解析：由题意可得Aβ=βαTβ=3β，所以β是A的属于特征值3的特征向量。24、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是()。A、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量B、存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量C、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量D、仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η是A的特征向量标准答案：C知识点解析：ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则：Aξ=λ1ξ，Aη=λ2η，A(k1ξ+k2η)=k1Aξ+k2Aη=k1λ1ξ+k2λ2η，当λ1≠λ2时，k1ξ+k2η就不是矩阵A的特征向量。25、下列矩阵中不能对角化的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：26、设A是n阶矩阵，且Ak=0(k为正整数)，则()。A、A一定是零矩阵B、A有不为0的特征值C、A的特征值全为0D、A有n个线性无关的特征向量标准答案：C知识点解析：设λ是A的特征值，对应的特征向量为α，则有Aα=λαAkα=λkα=0由α≠0，有λk=0，即λ=0，故A的特征值全为0。令，则A2=0。若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=0，则必有A=0，与题意矛盾。27、已知二阶实对称矩阵A的一个特征向量为(2，一5)T，并且｜A｜＜0，则以下选项中为A的特征向量的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设A的特征值为λ1，λ2，因为｜A｜＜0，所以λ1λ2＜0，即A有两个不同的特征值。又，且在D项中，k1与k2不同时为零。c项，k1与k2都可以等于0，如当k1=0，k2≠0时，k2(5，2)T也是A的特征向量，所以排除。28、二次型Q(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32的标准形为()。A、y12一y22B、y12+y22+y32C、y12+y22一y32D、y12+y22标准答案：D知识点解析：用配方法，有：Q(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2｜X=PY=y12+y22。29、n元二次型XTAX是正定的充分必要条件是()。A、｜A｜＞0B、存在n维非零向量X，使得XTAX＞0C、f的正惯性指数p=nD、f的负惯性指数q=0标准答案：C知识点解析：｜A｜＞0是A正定的必要条件，不是充分条件，必须保证A的所有顺序主子式全大于0，才能推出XTAX是正定的，排除A。二次型XTAX正定的充分必要条件是对任意的n维非零向量X，均有XTAX＞0，而并非仅仅是存在，排除B。在D中，f的负惯性指数等于0，可保证XTAX为非负定二次型，但不能确保是正定二次型。30、已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX=0，则有()。A、｜A｜＞0B、｜A｜=0C、｜A｜＜0D、以上三种都有可能标准答案：B知识点解析：由于对任一n维列向量均有XTAX=0，两边转置，有XTATX=0，从而XT(A+AT)X=0。显然有(A+AT)T=A+AT，即A+AT为对称矩阵。从而对任一n维列向量均有：XT(A+AT)X=0，且A+AT为实对称矩阵，从而有A+AT=0。即AT=一A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故｜A｜=0。31、二次型f(x1，x2，x3)=的秩为()。A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：令，则二次型矩阵。故二次型的秩为1。32、已知矩阵，那么与A既相似又合同的矩阵是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与A相似的矩阵即可，也就是求A的特征值。注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)1、设事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论正确的是()。A、P(A｜B)=P(A)B、P(A｜B)=0C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(B｜A)＞0标准答案：B知识点解析：因为事件A与B互不相容，所以P(AB)=0，又因为P(A)＞0，P(B)＞0，所以P(AB)=P(B)P(A｜B)，由P(AB)=0，P(B)＞0易得P(A｜B)=0。2、将3个球随机地放入4个杯子中，则杯中球的最大个数为2的概率为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：把3个球放到4个杯子，每个球都有4种方法，共43种放法。杯中球的最大个数为2的放法为：从3个球中取2球放入其中的一个杯子，剩下的一个球放入到另外的一个杯子中，共有种放法。由古典型概率可得：杯中球的最大个数为2的概率。3、离散型随机变量X的分布为P(X=k)=cλk(k=0，1，2，…)，则不成立的是()。A、c＞0B、0＜λ＜1C、c=1-λD、标准答案：D知识点解析：A项，已知概率值P必须大于0，故cλk＞0，从而c＞0，λ＞0；B项，由概率分布函数的性质可得：收敛，已知等比级数只有当｜λ｜＜1时收敛，又λ＞0，故0＜λ＜1；C项，4、设X～P(λ)，且P{X=3}=P{X=4}，则λ为()。A、3B、2C、1D、4标准答案：D知识点解析：因为X～P(λ)，则P{X=3}=P{X=4}，即，也即λ=4。5、已知随机变量X服从二项分布，且EX=2．4，DX=1．44，则二项分布的参数n，P的值为()。A、n=4；P=0．6B、n=6；P=0．4C、n=8；p=0．3D、n=24；p=0．1标准答案：B知识点解析：依题意得X～B(n，P)，于是EX=np，DX=np(1一P)，于是可得方程组：6、设随机变量X的概率密度为，则P(0≤X≤3)等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：7、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为f(x，y)=，则E(X2+Y2)等于()。A、2B、1C、D、标准答案：A知识点解析：从密度函数可以看出X、Y是独立的标准正态分布，所以X2+Y2是服从自由度为2的χ2分布，χ2分布的期望值为自由度，故E(X2+Y2)=2。8、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(一x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有()。