专题09 点、线、面的位置关系 解析版

Page16Page1专题09点、线、面的位置关系知识总结：1平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无线延展的．2平面的表示平面通常用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β、平面γ等，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如平面ABCD、平面AC或者平面BD，还可以用平面内不共线的三点的字母表示，如平面ABC.3公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法4公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；5公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据6公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．7直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号a∥b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内8直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号∥公共点个数无数个109平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥，公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上10等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．题型归纳【题型01平面及其性质】【题型02数学符号的表示】【题型033个公理】【题型04点线面的位置关系】【题型01平面及其性质】【典例1】（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）在下列条件下，能确定一个平面的是（

）A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线【答案】D【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可.【解析】三点共线则不能确定一个平面，A错误；点在直线则不能确定一个平面，B错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确.故选：D【题型02数学符号的表示】【典例1】2．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案.【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，即，，故选：A【题型033个公理】【典例1】2．在下列命题中，不是公理的是A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行.D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.【答案】C【分析】由题易知A、B、D答案是公理，可得结果.【详解】对于答案A、B、D分别是公理1、3、2；答案C不是公理，故选C【点睛】本题考查了点、线、面的公理，熟悉公理是解题关键，属于基础题.【题型04点线面的位置关系】【典例1】1．（2023春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期中）在空间中，下列命题不正确的是（

）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．梯形可确定一个平面D．任意三点能确定一个平面【答案】D【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.【解析】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确；对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确；对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确；对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误；故选：D.同步练习选择题1．三个平面将空间分成7个部分的示意图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.故选：C2．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可.【详解】因为直线和平面都是由点形成的，所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为，根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为.故选：B3．如图所示，用符号语言可表达为（

）

A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，故用符号语言可表达为，，，故选：A．4．空间不重合的三个平面可以把空间分成（

）A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分【答案】B【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可.【详解】空间不重合的三个平面，若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分.所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.

故选：B.5．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【详解】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内，表示为：，，．故选：B.6．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（）A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面【答案】D【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；两直线异面满足作图规范.故选：D7．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，长方体ABCD-A'B'C'D'中，给出以下判断，其中正确的是（

）A．直线AC与A'B相交B．直线AD'与BC'是异面直线C．直线B'D'与DC'有公共点D．A'B//D'C【答案】D【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C，利用平行四边形的性质可判断出B、D.【解析】对于A，AC⊆面ABCD，A'B∩面ABCD=B，且B不在AC上，根据异面直线的定义得，直线AC与A'B是异面直线，故A选项错误；对于B，∵AB//C'D'，AB=C'D'，∴四边形ABC'D'为平行四边形，∴AD'//BC'，即直线AD'与BC'平行直线，故B选项错误；对于C，B'D'⊆面A'B'C'D'，DC'∩面A'B'C'D'=C'，C'∉B'D'，根据异面直线的定义得，直线B'D'与DC'是异面直线，故C选项错误；对于D，∵BC//A'D'，BC=A'D'，∴四边形BCD'A'为平行四边形，∴A'B//D'C，故D选项正确；故选：D.8．如图所示，平面α∩平面β=l，点A,B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R.设过A,B,C三点的平面为γ，则β∩γ=（

）A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上均不正确【答案】C【解析】由C,R是平面β和γ的两个公共点，由两个平面若有交点，所有的交点都在同一条直线上，即可进行判断.【详解】∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴R∈l,l⊂β,R∈AB，∴R∈β.又∵A,B,C三点确定的平面为γ，∴C∈γ,AB⊂γ,∴R∈γ.又∵C∈β,∴C,R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ=CR.故选：C【点睛】如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，因此两个不重合的平面的两个公共点的连线必为这两个不重合的平面的交线.9．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（

）A．直线与平面平行 B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外【答案】D【分析】根据直线与平面、点与平面位置关系依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误；对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确.故选：D.10．经过平面外两点与这个平面平行的平面A．只有一个 B．至少有一个 C．可能没有 D．有无数个【答案】C【详解】试题分析：经过平面外两点与这个平面平行的平面可能没有，如图A,B在平面外，但过A,B的直线与平面垂直时（相交时）．故选C．考点：本题主要考查平面的基本性质．点评：考虑多种位置关系，通过举反例，达到解题目的．11．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A．平行 B．都相交C．在这两个平面内 D．至少和其中一个平行【答案】D【分析】对该直线是否在其中一个平面内进行讨论即可求解【详解】①当该直线不在任何一个平面时，则该直线与两平面平行；②当该直线在其中一个平面时，则其必和另一个平面平行．综上这条直线至少和两平面中的一个平行．故选：D．12．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（

）A．平行 B．直线在平面内C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内【答案】D【分析】分别讨论直线是否在其中的一个平面内，结合平行的传递性和面面平行的性质即可求解.【详解】设这两个平面为α，β，直线l∥α，且α∥β，如果l⊄β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直线平行于另一个平面；如果l⊂β，由α∥β可知，l∥α，满足题意，则直线可以在另一个平面内.故选：D.二、填空1．“直线和平面相交于点”的符号表达为．【答案】【分析】根据点线面的位置关系用符合表达即可.【详解】“直线和平面相交于点”的符号表达为．故答案为：．2．下图中的两个相交平面，其中画法正确的是．【答案】④【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可.【详解】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误；对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误；对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误；对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确.故答案为：④.3．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是________．【答案】共线【分析】证明点O，C，D同在另一平面β内，结合平面基本事实推理作答.【详解】因AC//BD，则AC与BD确定一个平面β，而C，D∈α，从而得α∩β=CD，又l∩α=O，即O∈α，而l⊂β，则有O∈β，于是得O∈CD，所以O，C，D三点共线.故答案为：共线4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1与平面BDC1的交线是________．【答案】C1M【分析】找到同时在两平面上的点，从而可求出交线.【详解】因为C1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同时M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，所以平面A1CC1与平面BDC1的交线是C1M.故答案为:C1M.三、解答题1．用符号语言改写下列语句．(1)点A在平面内，点B不在直线l上；(2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；(3)直线a和b相交于一点M；(4)平面与平面相交于过点A的直线l．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据立体几何的相关符号语言一一表述即可.【详解】（1）由题意转化为符号语言为：；（2）由题意转化为符号语言为：；（3）由题意转化为符号语言为：；（4）由题意转化为符号语言为：；2．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．(1)，；(2)，，；(3)，，，．【答案】(1)详情见解析(2)详情见解析(3)详情见解析【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形.【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示：（2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示：．（3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示：3．根据图形用符号表示下列点、直线、平面直角的关系．(1)点与直线；(2)点与直线；(3)点与平面；(4)点与平面；(5)直线与直线；(6)直线与平面．【答案】(1)；(2)；(3)平面；(4)平面；(5)；(6)平面.【分析】根据立体图形，结合点，线，面的位置关系及表示方法写出答案.【详解】（1）；（2）；（3）平面；（4）平面；（5）；（6）平面.4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点，求证：(1)证明：E、C、D1、F四点共面；(2)设D1F∩CE=O，证明：A，O，D三点共线．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线及平行四边形的性质证明EF/