辽宁省沈阳市肇工某中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

辽宁省沈阳市肇工第三高级中学2022-2023学年高三数

学理期末试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

/(x)-彳2

1.设函数，、/，若则实数a的取值范围是()

-x-+x

A.(>3)B,0()C.(一3,1)D(-».-3)U0；+»)

参考答案：

c

略

22

x+y=l,贝世+工

2.已知x、y是正实数，满足丫xy的最小值为()

A.375B.C.屈D.272

参考答案:

D

身圆的参数方程；三角函数的恒等变换及化简求值.3794729

点：

专不等式的解法及应用；直线与圆.

题：

分14_2

令z=xy>0,利用基本不等式求得z2>4+xy,当且仅当x=y时，等号成立.而由

析：

1

x2+y2=l可得xy>2,当且仅当X=y时，等号成立.故z2^8,

工」

由此可得xy的最小值.

解阜

解：；、是正实数，令

答：x2+y2=l,xyz=xy>0,

112,22,,222

1__^2x+yx+y2y__x_22

22—22—22——

则z2=x+y+xy=x+y+xy=2+x+y+xy>4+xy,当且仅当x=y

时，等号成立.

1

而由x?+y2=l可得l>2xy,即xy>2,当且仅当x=y时，等号成立.

故z2\4+4=8,当且仅当x=y时，等号成立.

Id

故xy的最小值为2版,

故选D.

点本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，属于中档题.

评：

3.已知非零向量G,b,七满足-瓦l昨4,0-3-G-c）=O,若对每个确定的讥

|c|的最大值和最小值分别为m,n,则"》一"的值（）

A.随增大而增大B.随15增大而减小

C.是2D.是4

参考答案：

D

4.下表是某学校学生公寓楼1〜4月份用水量（单位：吨）的一组数据:

月份工

1234

用水量，

4.5432.5

由散点图可知，用水量）与月份工之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是

A

7=-07x+a,则a的值为

A51B.

5.15c.5.2I).525

参考答案:

集合川=｛，6司*2-*),则“八卸.(

5.已知集合

W—44x<-

C.R

参考答案:

3+i

6.复数z=口的共拆复数£=

(A)1+Z(B)l-2i(C)2+i(D)2T

参考答案：

x+2y-5Mo

-4£0

x>0

7.若实数x,y满足条件4*1,目标函数2=犬+》,则

5

A.Zmax=0B.Zmax=2

参考答案：

D

x+2y-52=0

（

做出可行域，由图象可知当目标函数经过直线12x+>-4=°的交点时，目标函数最大，

此时交点为Q2）,最大值为3.当经过（°，】）时•，目标函数最小，最小为1,所以答案选D.

8.数歹/"J中，4=3,是等差数列且Z（%€犷），若多=-2,

瓦0=12,则勺=

（⑷0⑶3©8（D）11

参考答案：

B

9.已知函数f（0的图象关于X=-l对称，且/（D在（-I*®）上单调，若数列（吗是公差

不为0的等差数列，且则｛4｝的前100项的和为（）

A.200B.-100c.-50D.0

参考答案：

B

试题分析：因为函数丁=/（工-2）的图象关于工=1对称，则函数/（目的图象关于工=一1

对称，又函数/（X）在GL2）上单调，数列｛4｝是公差不为0的等差数列，且

g=g,所以,♦■=2所以3吧空近50（3»-100

故选B.

考点：1、函数的图象；2、等差数列的性质及前。项和公式.

10.若复数为，马在复平面内对应的点关于），轴对称，且。=2-乙则复数句

（）

3J34.

——T-|———I

A.-1B.1C.55D.55

参考答案：

C

2-i(2-JX-2+0

55.故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

好+3,3

11.若a的展开式中含/项，则最小自然数”是____,

参考答案：

12.已知向量a,b满足|a|=l,|a-b|=2,gb的夹角为60°,

Ib|=.

参考答案：

2

2

13.三视图如下的几何体的体积为—o

参考答案:

14.若集合力=卜降3},代卜卜"“满足/U氏R,4n斤0,则实数炉▲

参考答案：

答案：3

3n4

15.已知a,B为锐角，sina=5,tan6=2,则sin(2+a)=5,tan(a+B)

参考答案：

~2

考点：两角和与差的正切函数.

专题：三角函数的求值.

分析：由已知，利用三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式求值.

3_K

解答：解：因为a,B为锐角，sina=5,tan(3=2,则sin(2+a)

I---------4sina=3

=cosa=也-sina=5,所以tana=cosa4；

3+2

tana+tanB_4:11

1-tanCltanP।__32

tan(a+B)=4；

4_n

故答案为：5；~2..

点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式的运用；关键是熟练掌握公

式.

16.执行如图的程序框图，如果输入的x,y,N的值分别为1,2,3,则输出的S=

()

81C.99D.577

参考答案:

略

17.定义平面向量的一种运算:=H书.伸〉是向量J和9的夹角)，则

下列命题：

®a®i=i«a；②"a。%)=(而痴；

③若"=拉且4>0,则(a+A)®c=G®c)♦而®c)；其中真命题的序号是

参考答案:

(1)⑶

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图，已知四棱锥E-/BCD的底面为菱形，且48c=6b,AB^EC=2,

AE=BE=-j2.

(I)求证：平面艮西，平面jbCO；

(11)(11)求二面角力-EC-D的余弦值.

c

参考答案：

(I)证明，取.小的中点。，连转二。c。QHE-旨=0心="

VAEB为等短直角三角形.EO-ABR=】

又Q.dB=BC._d8C=60：.VjCTi>iftHft'-

8=4.又EC"EC：=E0；-C-.E。一。

EO_平面ABCD•又E。::平AElB•平面EF_平面.iBCD.

(Il)以，3中点。为坐标原点，以。3所在直线为尸轴，。^所在直线为z轴，建立空

间直角坐标系如图所示，则4O,-LO)C(@O.O).D("-2.O),£(O,O,1)

..AC=(^.L0).EC=(73.0-D.DC=(0.2,0)

E

一

设平面DC&的法向量用=（工）M)='：

竺/=。M“I=o产于-J3

DCn=0即12y=0

1，解得“=0,3.设平面创C的法向

量掰=3.瓦1）

f4

ACm-0J@+6=0，4="5"R

’.：£工(虫「1,1)

.EC-m=0,即y/3a—1=0解得9=-1,3

Lm加2百2小

COS（W.«）==h=—7—

\/⑻网,所以二面角4-EC-Z)的余弦值为〒

略

19.（本小题满分12分）

已知正方形488的边长为2,ACClBD=O.将正方形48CD沿对角线SD折起,

AC=a,得到三棱锥R-BCD,如图所示.

（2）当二面角上一如一。的大小为120•时，求二面角4-8C-Z）的正切值.

参考答案：

解：（1）证明：根据题意，在&40c中，AC=a=2,AO=CO=42,

所以RC'n/O'+C。3,所以40_LCO.因为ACSO是正方形/ECD的对角线,

所以4?_LBZ）.因为30nC0=。，所以401•平面BCD.

（2）解法1：由（1）知，C0L0D,如图,

为原点，℃,°。所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系0-Dz,

则有。（。,呵。（。,&,。），。阳。,。），5（。,母。）设心，印（冷＜。）,则

5=（4,04）历=e,&,0）

»04=0,1Vi+Vi=^

又设面皿）的法向量为"（%％zj,则［券8=0.即Hi=Q所以

八・0,令为二马，则为=一%.所以"=（4,0,一%）.因为平面68的一个法向量为

化，)|=卜。"•卜;

加=（0.0,1）,且二面角4_%）_（7的大小为12CT,所以上s20

J，伶

a戊戈

4=3/2因为1^l=&,所以业?+马2=&.解得%----，ZQ.------

2°2.所以

档,。当

1“内•设平面题的法向量为'=(三，为zj,因为

防=国,应陷尿=（乙应,0）/^4=0,

<

122/，则IBC=0.,即

,-gX，+尤力+4z、=Q

,0马+/为=。・令工2=1,则匕=-1.22=丘

所以，=(L-L5).

―—岳

8$0=「0$，叫=

3+1+(4尸5

设二面角力-BC-Z）的平面角为6,所以

tan”在正

所以s=亍.所以二面角4-3C-D的正切值为亍.

解法2：折叠后在△ABD中，BD1A0,在△BCD中,

t\

屋

■,BD1C0,

所以乙40c是二面角/-6D-C的平面角，即44℃=120\

在△*OC中，AO=CO=42,所以/C=J3.如图，

过点工作03的垂线交CQ延长线于点丹，因为80_LCO,BD1A0,

且COn/O=O,所以8。_1平面48\因为平面所以8Z)_L4/.又

COA.AH,且C0C|8D=0,所以4月1•平面38.过点作力作展J_5C,垂足为

K,连接HK,因为3C_LAH,AK[}AH=A,所以3CJ■平面4//K.因为HKu

平面4HK,所以3CJ_HK.所以N4KH为二面角j-BC-Z）的平面角.在

痛&

中，/LAOH=60*,AO=42,则“"T,~~2~

,所以

CH-CQ+QH-72+---

22在Rt△中，乙HCK=AS,所以

在

AH_4(>

如理一西F与

422在Rt△4NK中，tan4”0=2.所以二面角

更

幺-3C-D的正切值为3.

略

20.(本小题满分12分)

某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的

用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下:

微信控非微信控合计

男性262450

女性302050

合计5644100

(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？

(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非

微信控”的人数；

(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微

信控”的概率.

参考数据：

0.100.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

参考公式：切，

其中n=a+h+c+d.

参考答案：

解(1)由列联表可得：

,n(al-bc?100x(26x20-30x24?50

=...........-------------------=------1-----------------L.=_»0649<3_84】

50x50x56x4477

分

所以没有95%的把握认为“微信控，，与“性别，，有关......4分

(2)根据题意所抽取的s位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人•…6分.

(3)抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为4,B,C；“非微信控”2人分别记为

D,K.

则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：ABC,ARD,ARK,ACD,ACE,

ADR,86,BCE,BDK,CDE,共有10种；9分

抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD,ARE,ACD,ACE,

B6,BCE,共