2024年新教材高考数学全程考评特训卷单元过关检测一集合常用逻辑用语不等式含解析

PAGEPAGE10单元过关检测一集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2024·新高考Ⅱ卷]设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝()A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}2．[2024·三湘名校联考]已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x－4)≤0}，则A∩B＝()A．1,2B．{1,2}C．2D．{2}3．[2024·福建上杭模拟]已知命题p：∃x∈(1,3)，x2－4x＋3≤0，则綈p是()A．∀x∈(1,3)，x2－4x＋3≤0B．∃x∉(1,3)，x2－4x＋3>0C．∀x∉(1,3)，x2－4x＋3>0D．∀x∈(1,3)，x2－4x＋3>04．[2024·皖南八校联考]已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝()A．{x|2<x<3}B．{x|－2<x<2}C．{x|－2<x<5}D．{x|2<x<5}5．“|a|≠3”是“a≠3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．[2024·南京师大附中月考]若a，b，c，d均为实数，则下列不等关系中肯定成立的是()A．若a>b，c<d，则a＋c>b＋dB．若a>b，c>d，则ac>bdC．若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab<0D．若a>b>0，c>d>0，则eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))7．[2024·山东省淄博试验中学月考]已知a、b为正实数，a＋b＝1，则eq\f(2,3a)＋eq\f(1,4b)的最小值是()A.eq\f(11,12)B.eq\f(11,6)C.eq\f(11,12)＋eq\f(\r(2),3)D.eq\f(11,12)＋eq\f(\r(6),3)8．已知a<0且关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)最大值是()A．－eq\f(4\r(3),3)B．－eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2024·湖南长沙一中月考]已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，则()A．N⊆MB．M⊆NC．M∩N≠∅D．M∪(∁RN)＝R10．[2024·海南农垦中学月考]对于实数a，b，c，下列命题是真命题的是()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若c>a>b>0，则eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)11．下列结论不正确的是()A．“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件B．“∃x∈N*，x2－3<0”是假命题C．若x∈R，则函数y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值为2D．命题“∀x>0，x2－3>0”的否定是“∃x≤0，x2－3≤0”12．[2024·辽宁凤城一中月考]已知a，b均为正实数，且a＋b＝1，则()A．ab的最大值为eq\f(1,4)B.eq\f(b,a)＋eq\f(2,b)的最小值为2eq\r(2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,5)))的最小值为eq\f(1,5)D.eq\f(a2,a＋2)＋eq\f(b2,b＋1)的最小值为eq\f(1,4)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2024·皖南八校联考]命题“∀x>1，x2＋x－1≥0”的否定是____________________．14．[2024·辽宁东北育才学校模拟]全部满意{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M的个数为________．15．[2024·山东日照月考]已知点(a，b)在直线x＋4y＝4上，当a>0，b>0时，eq\f(4,a)＋eq\f(9,b)的最小值为________．16．[2024·河北石家庄二中月考]设关于x的不等式ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16≥0(a∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是________，全部不等式的整数解的和为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2024·广东普师高级中学月考]已知U＝R，A＝{x||x－3|<2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－4)>0))))，求A∩B，∁U(A∪B)．18．(12分)[2024·辽宁葫芦岛月考]已知不等式ax2－x－1<0.(1)当a＝2时，求该不等式的解集；(2)若该不等式的解集为xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<x<b，求ab的值．19．(12分)[2024·福建龙岩模拟]已知集合A＝{x|x2－2x＋m≤0}，B＝{y|y＝3x，x≤n}．(1)若集合A为空集，求实数m的取值范围；(2)当m＝－8时，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数n的取值范围．20．(12分)[2024·山东新泰一中月考]已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x－1)－2在x∈(1，＋∞)时的最小值为m.(1)求m；(2)若函数g(x)＝eq\r(ax2－ax＋m)的定义域为R，求a的取值范围．21．(12分)[2024·北京海淀外国语试验学校月考]某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．(12分)已知二次函数y＝x2＋2ax＋2.(1)若1≤x≤5时，不等式y>3ax恒成立，求实数a的取值范围．(2)解关于x的不等式(a＋1)x2＋x>x2＋2ax＋2(其中a∈R)．单元过关检测一集合、常用逻辑用语、不等式1．答案：B解析：由题设可得∁UB＝{1,5,6}，故A∩(∁UB)＝{1,6}，故选B.2．答案：B解析：集合B＝{x|(x－1)(x－4)≤0}＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{1,2}．3．答案：D解析：命题为存在量词命题，则命题的否定为：∀x∈(1,3)，x2－4x＋3>0.4．答案：C解析：由x2－7x＋10<0，得2<x<5，所以B＝{x|2<x<5}，因为A＝{x|－2<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<5}，故选C.5．答案：A解析：|a|≠3⇔a≠3且a≠－3，所以“|a|≠3”是“a≠3”的充分不必要条件，故选A.6．答案：D解析：对于A，如3>2，－3<0，明显3＋(－3)<2＋0，A不正确；对于B，如3>2，－4>－5，明显3×(－4)<2×(－5)，B不正确；对于C，因bc－ad>0，而eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，则ab>0，C不正确；对于D，因c>d>0，则eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，于是得eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，所以eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))，D正确．7．答案：D解析：由已知条件可得eq\f(2,3a)＋eq\f(1,4b)＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a)＋\f(3,b)))(a＋b)＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11＋\f(8b,a)＋\f(3a,b)))≥eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11＋2\r(\f(8b,a)·\f(3a,b))))＝eq\f(11,12)＋eq\f(\r(6),3).当且仅当eq\r(3)a＝2eq\r(2)b时，等号成立．因此，eq\f(2,3a)＋eq\f(1,4b)的最小值是eq\f(11,12)＋eq\f(\r(6),3).8．答案：A解析：因为关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1<x<x2}，所以x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，又因为a<0，所以x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)＝4a＋eq\f(1,3a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4a＋\f(1,－3a)))≤－2eq\r(－4a·\f(1,－3a))＝－eq\f(4\r(3),3)，当且仅当－4a＝eq\f(1,－3a)，即a＝－eq\f(\r(3),6)时等号成立．9．答案：BC解析：对于A，B，因为M＝{x|x2－3x＋2≤0}，解不等式得M＝{x|1≤x≤2}，又因为N＝{x|x>－1}，得M⊆N，故A错误，B正确；对于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠∅，故C正确；对于D，因为∁RN＝{x|x≤－1}，所以M∪(∁RN)＝(－∞，－1]∪[1,2]≠R，故D错误．10．答案：BCD解析：对于A，若c≥0时，则原式不对，所以A错；对于B，由ac2>bc2，则c2>0，两边同乘以eq\f(1,a2)，所以a>b，故B正确；对于C，由a<b<0，同乘以负数a，b得a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故C正确；对于D，由c>a>b>0，所以0<c－a<c－b，所以eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0，故D正确．11．答案：BCD解析：对于A，自然数肯定是有理数，有理数不肯定是自然数，所以“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件，故A正确；对于B，x＝1时，12－3<0，所以∃x∈N*，x2－3<0，故B错误；对于C，y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥2，当且仅当eq\r(x2＋4)＝eq\f(1,\r(x2＋4))即x2＝－3，故不存在x∈R，使函数y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值为2，故C错误；对于D，命题“∀x>0，x2－3>0”的否定是“∃x>0，x2－3≤0”，故D错误．故选BCD.12．答案：ACD解析：因为a，b均为正实数，且a＋b＝1，对于A，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取“＝”，正确；对于B，eq\f(b,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a＋b,b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)＋2≥2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＋2＝2eq\r(2)＋2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)⇒a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2)时取“＝”，错误；对于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,5)))＝a2b2＋eq\f(1,5)(a2＋b2)＋eq\f(1,25)＝a2b2＋eq\f(1,5)(a＋b)2－eq\f(2,5)ab＋eq\f(1,25)＝a2b2＋eq\f(1,5)－eq\f(2,5)ab＋eq\f(1,25)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab－\f(1,5)))2＋eq\f(1,5)≥eq\f(1,5)，当且仅当ab＝eq\f(1,5)时取“＝”，正确；对于D，eq\f(a2,a＋2)＋eq\f(b2,b＋1)＝eq\f(a＋2－22,a＋2)＋eq\f(b＋1－12,b＋1)＝a＋2－4＋eq\f(4,a＋2)＋b＋1－2＋eq\f(1,b＋1)＝eq\f(4,a＋2)＋eq\f(1,b＋1)－2，设s＝a＋2，t＝b＋1⇒s＋t＝4，则上式＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,s)＋\f(1,t)))(s＋t)－2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4t,s)＋\f(s,t)))－2≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4t,s)·\f(s,t))))－2＝eq\f(1,4)，当且仅当s＝2t⇒a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)时取“＝”，正确．13．答案：∃x>1，x2＋x－1<014．答案：7解析：满意{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，共7个．15．答案：16解析：因为点(a，b)在直线x＋4y＝4上，所以a＋4b＝4，所以eq\f(4,a)＋eq\f(9,b)＝eq\f(1,4)(a＋4b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(9,b)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋36＋\f(16b,a)＋\f(9a,b)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋36＋2\r(\f(16b,a)·\f(9a,b))))＝16，当且仅当eq\f(16b,a)＝eq\f(9a,b)，即a＝1，b＝eq\f(3,4)时等号成立，故eq\f(4,a)＋eq\f(9,b)的最小值为16.16．答案：－2或－1－10解析：若a＝0，则原不等式为8x＋16≥0，即x≥－2，明显原不等式的整数解有多数个，不符合题意，故a≠0.设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16(a≠0)，其图象为抛物线，对于随意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的状况下才能满意y≥0而整数解只有有限个，所以a<0，因为0为其中一个解，所以7a＋16≥0，即a≥－eq\f(16,7)，所以－eq\f(16,7)≤a<0，又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1，若a＝－2，则不等式为－2x2－8x＋2≥0，解得－2－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)－2，因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1,0；若a＝－1，则不等式为－x2＋9≥0，解得－3≤x≤3，因为x为整数，所以x＝－3，－2，－1,0,1,2,3.所以全部不等式的整数解的和为－10.17．解析：由题意可知，∵A＝{x||x－3|<2}＝{x|1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－4)>0))))＝{x|x<2或x>4}，∴A∩B＝{x|1<x<2或4<x<5}，∵A∪B＝R，∴∁U(A∪B)＝∅.18．解析：(1)当a＝2时，ax2－x－1<0⇔2x2－x－1<0⇔(2x＋1)(x－1)<0，解得－eq\f(1,2)<x<1，则该不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1))))；(2)依题意，－eq\f(1,3)，b是方程ax2－x－1＝0的两个根，且a>0，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋b＝\f(1,a),－\f(1,3)b＝－\f(1,a)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝\f(1,2)))，则ab＝6×eq\f(1,2)＝3，所以ab的值是3.19．解析：(1)因为集合A为空集，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，即实数m的取值范围是{m|m>1}．(2)当m＝－8时，A＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，因为B＝{y|y＝3x，x≤n}＝{y|0<y≤3n}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以3n≤4，解得n≤2log32，故实数n的取值范围是{n|n≤2log32}．20．解析：(1)∵x>1，∴x－1>0，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x－1)－2＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)－1≥2eq\r(x－1·\f(4,x－1))－1＝3，当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时等号成立，∴m＝3.(2)由(1)可知g(x)＝eq\r(ax2－ax＋3)的定义域为R，∴不等式ax2－ax＋3≥0的解集为R，①a＝0时，3≥0恒成立，满意题意；②a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,a2－12a≤0))，解得0<a≤12，∴综上得，a的取值范围为[0,12]．21．解析：(1)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250，当x≥80，x∈N*时，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－250，0<x<80，x∈N*,1200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，x≥80，x∈N*)).(2)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，当x≥80，x∈N*时，L(x)＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950，综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．22．解析：(1)不等式f(x)>3ax即为：x2－ax＋2>0，当x∈[1,5]时，可变形为：a<eq\f(x2＋2,x)＝x＋eq\f(2,x)，即a<eq\b\lc\