4.2.2异面直线（解析版）

4.2.2异面直线同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中直线关系正确的是（

）

A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM平行 D．BD与FN平行【答案】D【分析】将平面图还原成正方体，结合异面直线定义、正方体性质判断各项正误.【详解】将平面图还原成正方体如下图，

是异面直线、是异面直线，A、C错；平行、平行，B错，D对.故选：D2．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，在三角形中求解即可.【详解】如图，连接，，则,

，分别是，的中点，，是异面直线与所成的角，且是等边三角形，.故选：.3．下列命题正确的是（

）A．过两条直线有且只有一个平面B．过一点和一条直线有且只有一个平面C．过梯形两腰所在直线有且只有一个平面D．过三点有且只有一个平面【答案】C【分析】根据点线、线线位置关系，结合平面的相关性质判断各项的正误即可.【详解】A：若两条直线异面，不存在过这两条直线的平面，错误；B：若点在直线上，过该点和直线的平面有无数个，错误；C：由梯形各线段都在一个平面上，故其两腰所在直线有且只有一个平面，正确；D：若三点共线，则有无数个平面，错误.故选：C4．两条异面直线指的是（

）A．不同在任何一个平面内的两条直线B．在空间内不相交的两条直线C．分别位于两个不同平面内的直线D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线【答案】A【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】解：两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线，故A正确；空间中不相交的两条直线可以平行或异面，故B错误；分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面，故C错误；某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面，故D错误.故选：A5．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（

）A．3条 B．4条 C．6条 D．8条【答案】C【分析】由异面直线的定义即可得出答案.【详解】解：由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共条.故选：C6．如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据异面直线的定义即可判断.【详解】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条.故选:C.7．在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】结合异面直线与异面直线距离的定义，直接观察直观图即可【详解】由题，观察正方体即可得与AD成异面直线且距离等于a的棱有，故选：C8．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题．9．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】取中点，连接,根据已知条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而得到结论.【详解】解：取中点，连接,由已知得，又平面,所以平面，因此,故选：D【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，异面直线所成的角，关键在于线面垂直的判定定理的运用．10．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）

A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【分析】由异面直线的定义判断即可.【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行，故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面.故选：A.二、填空题11．棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为．【答案】【分析】根据题意，证得且，得到为异面直线与的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体中，可得平面，平面，因为平面，平面，所以且，所以为异面直线与的公垂线，又由正方体的棱长为，可得，所以异面直线与的距离为.故答案为：.12．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=2，则异面直线B1B与DC之间的距离为.【答案】4【分析】利用异面直线间的距离定义即可得出答案.【详解】由长方体的性质可得是异面直线B1B与DC的公垂线，所以异面直线B1B与DC之间的距离为BC=4.故答案为：413．空间内，两异面直线所成角的取值范围是.（用区间表示）【答案】【分析】利用异面直线所成角的定义直接写出范围作答.【详解】由异面直线所成角的定义知，两异面直线所成角的取值范围是.故答案为：14．异面直线所成的角如图，是异面直线，在空间中任选一点，过点分别作的平行线和，则这两条直线和所成的，称为异面直线所成的角．【答案】锐角或直角【分析】根据异面直线所成的角的定义【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角故答案为：锐角或直角15．已知正方体的棱长为，则点到直线的距离为．【答案】【分析】证明出，即可求得结果.【详解】在正方体中，四边形为正方形，则，所以，点到直线的距离为.故答案为：.三、解答题16．如图，在长方体中，，，．求异面直线AD和的距离．【答案】3cm【分析】由长方体性质及异面直线距离的定义，确定异面直线AD和的距离即可.【详解】∵，，∴就是异面直线AD和的公垂线．∴长度即为异面直线AD和的距离．∵，∴异面直线AD和的距离是3cm．17．如图，在棱长为a的正方体中，E､F分别是和的中点.（1）求异面直线和的距离；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知为异面直线和的公垂线段，即为和的距离；（2）取中点,连接由异面直线成角定义可知即为与成角，计算即可.【详解】（1）为异面直线和的公垂线段，,即为和的距离为；（2）取中点,连接，因为,则即为与成角，在中，可知，，，所以，即面直线与所成角的大小为.18．如图，已知长方体中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？(2)和BC所成的角是多少度？【答案】(1)(2)【分析】（1）确定是异面直线与所成的角，在中根据长度关系得到答案；（2）确定是异面直线和BC所成的角，则得到答案.【详解】（1）因为，所以是异面直线与所成的角，在中，，，所以.故异面直线和所成的角是.（2）因为，则和BC所成的角即为，显然，则和BC所成的角是.19．如图，已知长方体的长和宽都是cm，高是4cm.(1)求BC和A′C′所成的角的度数．(2)求AA′和BC′所成的角的度数．【答案】（1）；（2）【详解】试题分析：（1）根据长方体的性质可得，所以为与所成的角，由正方形的性质可得，从而可得结果；（2）长方体中，，所以为与所成的角，利用直角三角形的性质可得，所以与所成的角为.试题解析：(1)在长方体中，BC∥B′C′，所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角，因为A′B′＝B′C′＝cm，∠A′B′C′＝90°，所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.(2)在长方体中，AA′∥BB′，所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角，因为BB′＝4cm，B′C′＝

cm，所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.能力进阶能力进阶20．如图，在长方体中，哪些棱所在的直线与直线是异面直线且互相垂直？【答案】答案见详解.【分析】利用异面直线的概念即可得出答案.【详解】由异面直线的概念可知，这些棱所在的直线与直线异面：棱所在的直线，棱所在的直线，棱所在的直线，棱所在的直线，21．长方体