中考数学真题分项详解（山西专用）专题04 图形的性质（解析版）

专题04图形的性质三年中考真题三年中考真题（2020•山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是A． B． C． D．【解答】解：如图，连接．，，是等边三角形，，，故选：．（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是A．青 B．春 C．梦 D．想【解答】解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；故选：．（2019•山西）如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交与点，若，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：，且，，在中，，，，，，故选：．（2019•山西）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，，，，，，阴影部分的面积是：，故选：．（2018•山西）如图，正方形内接于，的半径为2，以点为圆心，以长为半径画弧交的延长线于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积扇形的面积的面积，故选：．（2020•山西）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为．【解答】解：如图，过点作于．在中，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，，故答案为．（2018•山西）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则360度．【解答】解：由多边形的外角和等于可知，，故答案为：．（2018•山西）如图，直线，直线分别与，相交于点，．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，，则线段的长为．【解答】解：，，由题意得：平分，，，，，，，，，，，故答案为：．（2018•山西）如图，在中，，，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点，则的长为．【解答】解：如图，在中，根据勾股定理得，，点是中点，，连接，是的直径，，，，连接，，，，，是的切线，，，，，，，故答案为．（2020•山西）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点．求和的度数．【解答】解：连接，如图，与相切于点，，四边形为平行四边形，，，，，，为等腰直角三角形，，，，．（2020•山西）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．年月日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）根据“办法二”的操作过程，证明；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．【解答】解：（1），，，，，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；故答案为：勾股定理的逆定理；（2）由作图方法可知，，，，，，，，即；（3）①如图③所示，直线即为所求；②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（2020•山西）综合与实践问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若，，请直接写出的长．【解答】解：（1）四边形是正方形，理由如下：将绕点按顺时针方向旋转，，，，又，四边形是矩形，又，四边形是正方形；（2）；理由如下：如图②，过点作于，，，，，四边形是正方形，，，，，又，，，，将绕点按顺时针方向旋转，，四边形是正方形，，，；（3）如图①，过点作于，四边形是正方形，，，，，，，，由（2）可知：，，，．（2019•山西）已知：如图，点，在线段上，，，．求证：．【解答】证明：，，，，，在和中，，，．（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则．如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有．下面是该定理的证明过程（部分）延长交于点，过点作的直径，连接，．，（同弧所对的圆周角相等）．．，，①如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，连接，，，．是的直径，所以．与相切于点，所以，．（同弧所对的圆周角相等），，．②任务：（1）观察发现：，（用含，的代数式表示）；（2）请判断和的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为．【解答】解：（1）、、三点共线，故答案为：；（2）理由如下：如图3，过点作直径，连接交于，连接，，，点是的内心，，，（3）由（2）知：（4）由（3）知：；将，代入得：，故答案为：．（2019•山西）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点的直线折叠，使点，点都落在对角线上．此时，点与点重合，记为点，且点，点，点三点在同一条直线上，折痕分别为，．如图2．第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点重合，如图4，展开铺平，连接，，，．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．【解答】解：（1）由折叠的性质得：，，，，四边形是正方形，，，，，，，是等腰直角三角形，，；故答案为：，；（2）四边形是矩形；理由如下：四边形是正方形，，由折叠的性质得：，，，，，由折叠可知：、分别垂直平分、，，，，，，，，，，，四边形是矩形；（3）连接、，如图所示：由折叠可知：、分别垂直平分、，同时、也分别垂直平分、，四边形与四边形是菱形，故答案为：菱形或菱形．（2018•山西）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：证明：，．，．四边形是矩形，．．（依据，．．即是的边上的中线，又，．（依据垂直平分．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．【解答】解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”．②答：点在线段的垂直平分线上．理由：由问题情景知，，四边形是正方形，，点在线段的垂直平分线上．（2）证明：过点作于点，四边形是矩形，点在的延长线上，，．四边形为正方形，，，．．．，四边形是矩形，．，，，．垂直平分．点在的垂直平分线上．（3）答：点在边的垂直平分线上（或点在边的垂直平分线上）．证法一：过点作于点，过点作于点．．四边形是矩形，点在的延长线上，，四边形为矩形．，．．四边形为正方形，，．．．，．．．四边形是矩形，．，．．．垂直平分．点在边的垂直平分线上．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共15小题）（2020•山西一模）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．【解答】解：在矩形中，，，，，，图中阴影部分的面积，故选：．（2020•山西一模）下列数学著作中，记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至口”的是A．《孙子算经》 B．《五曹算经》 C．《海岛算经》 D．《周髀算经》【解答】解：记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至口”的是《周髀算经》，故选：．（2020•河西区一模）如图，平行四边形中的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为A． B． C． D．【解答】解：如图，在中，，，，又，点的纵坐标与点的纵坐标相等，，故选：．（2020•兰州模拟）若与互为余角，，则A． B． C． D．【解答】解：与互为余角，，．故选：．（2020•宝应县一模）如图，在中，，，，垂足为，是的中点，连接，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：，，，，是的中点，，，，故选：．（2020•南岗区校级二模）如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，与的比是，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：设为，为；，，，，，；故选：．（2020•平遥县一模）如图，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以为端点作射线，在射线上截取线段，则射线上与点的距离为的点有A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：根据作图过程可知：平分，，作于点，，以点为圆心，为半径作圆，与有两个交点和，所以射线上与点的距离为的点有2个．故选：．（2020•太原模拟）如图，有一个边长为的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是A． B． C． D．【解答】解：如图所示，连接、，过点作于点，正六边形的边长为，，六边形是正六边形，，，，，，，，，，，圆形纸片的半径为，故选：．（2020•平遥县一模）如图，中，，，，阴影部分的面积是A． B． C． D．【解答】解：作，则，连接，，，是的垂直平分线，，，在的垂直平分线上，、、共线，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，；故选：．（2020•历下区三模）如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆交对角线于点．则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【解答】解：正方形边长为4，，阴影部分的面积是：，故选：．（2020•山西模拟）如图，已知直线，把三角板的直角顶点放在直线上，若．则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，，．．故选：．（2020•三台县一模）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为A．6 B．24 C．26 D．12【解答】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，，得，图1中菱形的面积为：，故选：．（2020•大连二模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，若，则等于A． B． C． D．【解答】解：，，，．直线，．故选：．（2020•濠江区一模）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，．若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，，，．故选：．（2020•扶沟县一模）如图，正方形的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是A．8 B．4 C． D．【解答】解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为，连接，，则图中的四个小弓形的面积相等，两个小弓形面积，两个小弓形面积，个小弓形面积，故选：．二．填空题（共5小题）（2020•成都模拟）如图所示，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则的值是．【解答】解：设，则，，，，，，，在中，，，解得，或（舍去），，．故答案为：．（2020•金华模拟）如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则为．【解答】解：，点是中点，，，，，，，，，故答案为：．（2020•山西模拟）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点重合，点正好在的延长线上，，，，则的长为6．【解答】解：由图可知，，，点正好在的延长线上，，，，，，，，，，，，故答案为：6．（2020•太原模拟）如图，在平行四边形中，，，过点作，，连接，则的周长为．【解答】解：连结，与相交于点，菱形的对角线、相交于点，，，，，平分，，为等边三角形，，在中，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形为矩形，，，在中，，则的周长为．故答案为：．（2020•山西模拟）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连接分别交、于点、，连接．若，则的度数是30度．【解答】解：，，，根据作图过程可知：是线段的垂直平分线，，，．则的度数是．故答案为30．三．解答题（共5小题）（2020•太原模拟）综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究：定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线．证明：连接，．由作图可知，，，又．．是半圆的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接．请判断和的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段，，之间的数量关系；（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点，，，为正方形的四个“奇妙点”连接，，，，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写岀一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【解答】解：（1），理由如下：，，，，，，，，，，在和中，，，，．，；（2）线段，，之间的数量关系是，理由：由（1）知，，，，，，；（3）如图4，连接，，由（1）可知，，又，点为的中点，，，，四边形是正方形，，；（4）答案不唯一，如图5，连接，点是正方形的“奇妙点”，，，，，设，则，的面积，正方形的面积，的面积正方形的面积；同理正方形的面积等于正方形面积的等等．（2020•山西一模）综合与实践：动手操作：如图1，四边形是一张矩形纸片，，，点，分别在，边上，且，连接，．将，分别沿，折叠，点，分别落在点，处．探究展示：（1）“刻苦小组”发现：，且，并展示了如下的证明过程．证明：在矩形中，，，．又，．，．，．（依据．．（依据反思交流：①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么？②“勤奋小组”认为：还可以通过证明四边形是平行四边形获证，请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程．猜想证明：（2）如图2，折叠过程中，当点，在直线的同侧时，延长交于点，延长交于点，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．联想拓广：（3）如图3，连接，，．①当时，的长为；②的长有最大值吗？若有，请你写出长的最大值和此时四边形的形状并说明理由；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）①“依据1”指两直线平行，内错角相等；“依据2”指同位角相等，两直线平行；②证明：在矩形中，，，又，，即，四边形是平行四边形，，且；（2）四边形是矩形，证明：延长，交于点，如下图．将分别沿折叠，，，，同理，，由（1）得，，，由对折可知，，，，在中，，在矩形中，，即，，，，，四边形是矩形；（3）①如图，延长交于，延长交于，，，，，，，△△，，，，，，，，，故答案为：；②如图，连接，交于点，矩形中，，，，由（1）可得，，，