中考数学真题分项详解（山西专用）专题03 函数（解析版）

专题03函数三三年中考真题（2020•山西）已知点，，，，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解答】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限随的增大而增大，而，．即．故选：．（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，因为，故当时，取得最大值，此时，故选：．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点．拱高为78米（即最高点到的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A． B． C． D．【解答】解：设抛物线的解析式为：，将代入得：，解得：，故此抛物线钢拱的函数表达式为：．故选：．（2018•山西）用配方法将二次函数化为的形式为A． B． C． D．【解答】解：．故选：．（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点为坐标原点，菱形的顶点在轴的正半轴上，点坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为16．【解答】解：过点、作轴，轴，垂足为、，是菱形，，易证，点，，，，，在中，，，故答案为：16．（2020•山西）综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．【解答】解：（1）令，得，解得，，或，，，设直线的解析式为，则，解得，，直线的解析式为；（2）如图1，根据题意可知，点与点的坐标分别为，，，，，分两种情况：①当时，得，解得，，或（舍，；②当时，得，解得，，或（舍，；当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）直线与轴交于点，点的坐标为，分两种情况：①如图2，当点在轴的正半轴上时，记为点，过作于点，则，，△，，即，，，，，，连接，，，轴，，，，，，；②如图3，当点在轴的负半轴上时，记为点，过作于，则，，△，，即，，，，，，，由①可知，，，，，，，，综上，点的坐标为或．（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为次，选择方式一的总费用为（元，选择方式二的总费用为（元．（1）请分别写出，与之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解答】解：（1）当游泳次数为时，方式一费用为：，方式二的费用为：；（2）由得：，解得时，当时，选择方式一比方式二省钱．（2019•山西）综合与探究如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）的面积等于的面积的时，求的值；（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）点，将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：，如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，设点，则点，，即：，解得：或3（舍去，故；（3）当时，点，①当是平行四边形的一条边时，如图所示：、分别有三个点，设点则点的纵坐标为绝对值为，即，解得：或3（舍去）或，故点、的坐标为或，或，，当点时，由图象可得：点，当的坐标为，，由中点坐标公式得：点，，同理可得：点坐标为，，故点坐标为：或，或，；②当是平行四边形的对角线时，点、的坐标分别为、设点，点，由中点坐标公式得：，而，解得：，，，故点坐标为；故点的坐标为：或，或，或．（2018•山西）如图，一次函数的图象分别与轴，轴相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）当为何值时，；（3）当为何值时，，请直接写出的取值范围．【解答】解：（1）一次函数的图象经过点，，，解得．一次函数的表达式为．反比例函数的图象经过点，．．反比例函数的表达式为．（2）由，得．．当时，．（3）或．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点．（1）求，，三点的坐标；（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．【解答】解：（1）当，，解得，，，，当，，；（2），易得直线的解析式为，设，，当时，，解得，（舍去），此时点坐标为，；当时，，解得，（舍去），此时点坐标为；当时，，解得（舍去），综上所述，满足条件的点坐标为，或；（3）解：过点作于点，如图，则轴．由，得为等腰直角三角形为等腰直角三角形，，，，，，．，即，，，，设，，则，，，有最大值．当时，有最大值．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共15小题）（2020•山西一模）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于A．第三、四象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限【解答】解：设这个反比例函数解析式为，反比例函数图象经过点，，，，，它的图象位于第一三象限；故选：．（2020•南京一模）已知一次函数的图象如图所示，则的图象可能是A． B． C． D．【解答】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，，．函数的图象经过第一、二、三象限．因为，所以一次函数的图象比的图象的倾斜度小，综上所述，符合条件的图象是选项．故选：．（2020•南通二模）若点在轴上，则点的坐标是A． B． C． D．【解答】解：点在轴上，，解得：，故，则点的坐标是：．故选：．（2020•南岗区校级模拟）甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队独自完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度（米与维修时间（时之间的函数图象如图所示，下列说法中（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米；（2）乙队每小时比甲队多维修20米：（3）乙一共工作2小时；（4）．正确的有个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）由图象知，甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米，故（1）正确；（2）甲乙共同工作3小时共维修150米，甲维修米米，乙甲队每小时维修路面米米，所以乙队每小时比甲队多维修10米：故（2）错误；（3）由图象知，甲乙共同工作3小时，乙又工作2小时，乙工作5小时，故（3）错误；（4），故（4）正确．综上所述，正确的有：（1）（4）共2个．故选：．（2020•平遥县一模）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是A．24 B．25 C．26 D．30【解答】解：作轴于．，，，，，，，，点的坐标是，点的坐标是，，，，，，，，，反比例函数的图象经过点，．故选：．（2020•山西模拟）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且，与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与抛物线相交于，两点，则线段的长为A． B． C． D．【解答】解：当时，，解得：，，点的坐标为，当时，，点的坐标为，当时，，解得：，，点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为．当时，，点的坐标为．当时，，解得：，，．故选：．（2020•太原模拟）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象轴），该植物最高的高度是A． B． C． D．【解答】设直线的解析式为，经过点，，，解得．所以，直线的解析式为，当时，．故选：．（2020•山西模拟）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别与边，相交于点，．若四边形的面积为12，则的值为A．3 B．6 C．9 D．4【解答】解：设点的坐标为，点为矩形对角线的交点，点坐标为，，，．故选：．（2020•太原模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为A． B． C． D．【解答】解：过点，作轴，轴，垂足分别为，．设点的坐标是，则，，，，，，，，，，，，因为点在反比例函数上，则，点在反比例函数的图象上，点的坐标是，，．故选：．（2020•山西模拟）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为A． B． C． D．【解答】解；由题意可知点坐标为，点坐标为，点坐标为设排球运动路线的函数解析式为：排球经过、、三点解得：排球运动路线的函数解析式为故选：．（2020•扶沟县一模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线和直线交于点，根据图象分析，方程的解为A． B． C． D．【解答】解：直线和直线交于点方程的解为．故选：．（2020•山西模拟）如图，直线与双曲线的图象交于、两点，过点作轴于点，连接，若，则的值为A． B．4 C． D．8【解答】解：设，，直线与双曲线的中心对称性，，，，，把代入得．故选：．（2020•武昌区模拟）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．若现在已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力（单位：关于动力臂（单位：的函数图象大致是A． B． C． D．【解答】解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，动力（单位：关于动力臂（单位：的函数解析式为：，则，是反比例函数，选项符合，故选：．（2020•奎文区一模）如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为6，则的值为A．3 B．6 C． D．12【解答】解：过作于，，，设点的坐标为，则，，的面积为6，，，在反比例函数上，，即，故选：．（2020•阳谷县校级模拟）函数与函数在同一坐标系中的大致图象是A． B． C． D．【解答】解：的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，所以选项正确．故选：．二．填空题（共5小题）（2020•山西模拟）如图，已知点在轴上，反比例函数的图象经过的顶点和的中点，，则点的坐标为．【解答】解：延长，交轴于，中，，，，，点在轴上，轴，，，设，反比例函数的图象经过的顶点，，（负数舍去），，设，则，，，点是的中点，，点在反比例函数的图象上，，，，故答案为．（2020•慈溪市模拟）直线过点，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是．【解答】解：将代入，得：，解得：，，将直线向下平移4个单位后所得直线的解析式是，即，故答案为．（2020•山西模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把直线沿轴的正半轴向右平移3个单位长度后得到直线，则直线的函数解析式是．【解答】解：把直线沿轴的正半轴向右平移3个单位长度后得到直线，则直线的函数解析式是：，即．故答案是：．（2020•南山区校级一模）如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在第一象限，点在轴的负半轴上，且满足，直线经过、两点，则．【解答】解：连接，过点作轴于点，如图所示．正方形的边长为，，．与轴正半轴的夹角为，．又，，，，点的坐标为．在中，，，，，点的坐标为，．将，，代入，得：，解得：，．故答案为：．（2020•黄冈一模）如图，在中，，点的坐标，顶点在反比例函数的图象上．若，且，则3【解答】解：如图，作轴于．，，，，，，，又，，，，，，点在的图象上，，故答案为3．三．解答题（共5小题）（2020•太原模拟）综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过，两点，连接．（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点，①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当时，．解得：，，点的坐标为，点的坐标为；抛物线的对称轴为直线；点的坐标为．当时，．点的坐标为．设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为；（2）直线上存在点，使为直角三角形．点的坐标为，点的坐标为，．又点的坐标为，，．．为等边三角形．．分两种情况：①当时，，，作轴于点．在△中，．，，点的坐标为．②作轴于点．当时，，，．．．在△中，．，．又，点的坐标为．综上所述，直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；（3）通过画图得知，当，，，为顶点的四边形为平行四边形时，只有图2一种情况，设点，，点，则，当点向右平移2个单位向上平移个单位得到点，同样当点向右平移2个单位向上平移个单位得到点，即①，②，①当点，，，为顶点的四边形为菱形时，则，即③，联立①②③并解得：（舍去）或2，故点点的坐标为；②当以点，，，为顶点的四边形为矩形，则，即④，联立①②④并解得：，故点的坐标为．（2020•山西一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当为何值时，？（3）已知点，，过点作轴的平行线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点．结合函数图象直接写出当时的取值范围．【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，，，反比例函数表达式为：；点在函数的图象上，，．一次函数的图象过点，，，解得，一次函数的表达式为：；反比例函数和一次函数的表达式分别为，．（2）当时，，，，由图象可知，当时，．（3）如图，由图象可得，当时，．（2020•平遥县一模）如图，已知抛物线经过，，对称轴为直线．（1）求该抛物线和直线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值；（3）设点是直线上一动点，为抛物线上的点，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点坐标，不存在说明理由．【解答】解：（1），对称轴为直线．，设抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；设直线的表达式为：，则，解得：，故直线的表达式为：；（2）设点坐标，过作轴，交直线于点，则坐标为，面积，，故有最大值，当时，的最大值为4；（3）设点的坐标为，，点，而点、的坐标分别为：、；①当为平行四边形的边时，点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点，同样点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点，即，解得：或5，故点的坐标为：或；②当为平行四边形的对角线时，由中点公式得：，解得：，故点，综上，点的坐标为或或．（2020•平遥县一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时