江苏省扬州江都中学2023年1月高二数学期末试卷

江苏省扬州江都中学2022-2023学年度高二数学期末试卷

注意事项：本试卷共150分，考试时间120分钟

一、单选题

1.在等差数列｛初｝中，。/+。33=34,则〃8=(????)

A.5B.6C.8D.9

2.函数/(x)=d-3x+l的单调递减区间是()

A.(1,2)B.(-1J)C.1)D.(一8,-1)D(1,+OO)

3.已知x=l是函数/(幻=加-3丁的极小值点，则f(x)的极小值为(？??？)

A.-1B.0C.1D.2

4.定义”等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常

数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设｛%｝是由正数组成的等方差数列，

且方公差为4,@=3夜，则数列,一--1的前24项和为(????)

A.—B.3C.3亚D.6

2

5.试在抛物线丁=-4x上求一点P,使其到焦点厂的距离与到4(-2,1)的距离之和最小，则最小值为(？??？)

A.3B.4C.1D.2夜

22

6.己知产是椭圆二+马=1(。＞人＞0)的一个焦点，若直线丫=质与椭圆相交于A,8两点，且NAF3=60。，

a-b-

则椭圆离心率的取值范围是(????)

7.函数/(x)=d—cosx-xsinx+l的图象大致为(????)

y

y

A.

8.已知f(x)是函数”x)的导函数，且对于任意实数%都有八x)=e*(2x-l)+/(x),/(0)=-1,则不等式

〃x)>5e,的解集为(????)

A.(—3,2)B.(—2,3)C.(—x,-3)d(2,+8)D.(~°°»—2)(3,+oo)

二、多选题

9.下列是递增数列的是(????)

A.{1+3〃}B.[3"-2n+2]C.{2"-九}D.{(-3f)

已知集合A=(无刈言

10.=2,集合3={(x,y)|or—y—2=0},且AcB=0,则〃=(????)

A.2B.-2c-4D-1

H.(多选)给出定义：若函数〃力在。上可导，即1(“)存在，且导函数r(“在。上也可导，则称“同

在。上存在二阶导函数，记/"(x)=(r(x)j,若/"(x)<o在。上恒成立，则称/(X)在。上为凸函数.以下

四个函数在(o，M上不是凸函数的是(????)

A./(x)=sinx-cosxB./(x)=lnx-2x

C./(x)=-父+2x—1D.f{x}=xex

02/18

12.已知尸为椭圆C：：+5=1的左焦点，直线/：丁=履住工0)与椭圆C交于A,B两点,A£_Lx轴，

垂足为E,8E与椭圆C的另一个交点为P,则(????)

14「

A.所|+画的最小值为3B.面积的最大值为加

C.直线8E的斜率为D.2尔为锐角

三、填空题

13.在数列｛《＞｝中，4=-2,a„+,=1--,则1018的值为.

14.双曲线3/-丁=3的顶点为.

15.设数列｛%｝的前"项和为S,,(〃eN*),则下列能判断数列｛《,｝是等差数列的是.①S,=〃；②

S„=n2+n；(3)S„=2"；④S“=*+”+1.

224/,2

16.已知椭圆Crjv3=与圆C?：/+丫2=5_,若在椭圆G上存在4个点P,使得由点P

所作的圆G的两条切线互相垂直，则椭圆Q的离心率的取值范围是.

四、解答题

*2丫2

17.已知匚［闷_3=一L当左为何值时：

(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的椭圆；(3)表示等轴双曲线.

18.设函数小)=叱+*2-卜-2.

⑴求/(x)在x=-2处的切线方程；(2)求/(x)-8x3的极值点和极值.

19.若数列｛4｝满足anall+2=a,",q=3,a2a3=243.

⑴求｛叫的通项公式；(2)若%=噬也，求数列｛4/“｝的前〃项和S“.

20.已知圆C经过A(2,5),3(5,11)两点，且圆心G在直线4：丫=-2》上.

⑴求圆G的方程；

(2)已知过点P(0,2)的直线4与圆G相交，被圆C截得的弦长为2,求直线4的方程.

21.已知耳(右,0),瑞卜G,0),P(0,l),动点M满足I"制+附闾=阀|+|尸段.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)设直线/不经过点P且与动点M的轨迹相交于A,8两点.若直线与直线总的斜率和为T.证明:

直线/过定点.

22•已知函数/(x)=asin£+/+3，其中。

⑴当a=2时，讨论“X)在(0,2")上的单调性；

(2)若对任意xe(0,1)都有=e*,求实数〃的取值范围.

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参考答案:

1.A

【分析】直接利用等差数列的性质求解即可

【详解】因为。5是和〃9的等差中项，所以2〃5=〃/+〃9，即2a5=10，〃5=5.

故选：A

2.B

【分析】由导数与单调性的关系求解，

【详解】/(x)=x3-3x+l,则1(x)=3f_3,

由3f-3<0得-Ivxvl,

故八X)的单调递减区间是

故选：B

3.A

【分析】对求导，根据x=l是f(x)的极小值点，得到广。)=0,求出。的值，进一步得到/*)的极小

值.

【详解】解：由/(幻=江-3%2,得=

x=l是/&)的极小值点，，/'⑴二。，

」.3〃-6=0,「.。=2,经检验4=2时，符合题意，

a=2,Af(x)=2x^-3x2,所以，(x)=6f-6x=6x(x-l),则当％<0或x>l时f\x)>0,当0vxvl时

Ax)<0,即〃力在(f,0)和(I,”)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以当x=0时函数取得极大值，x=l时函数取得极小值，

••/(1)极小值=

05/18

故选：A.

4.C

【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.

【详解】因为｛4｝是方公差为4的等方差数列，所以匕「。；=4,a；=18,

=%2+（〃-5）•4=18+4〃-20=4〃-2,:.an=y/4n—2,

/-2_=2严:二2_

4+4+1-4/-2+J4.+2（4M+2）-（4/2-2）2、'

524=；（回⑹+；（师-闷+…+g（顾-南）

=；（麻-&）=；（7血-&）=3&,

故选：C.

5.A

【分析1求出抛物线焦点坐标和准线方程，将IPFI转为点P到抛物线准线的距离1PM由抛物线的定义,

可得|PF|=|尸M|,转化为求|AP|十|PM|的最小值，结合图形，即可求解.

【详解】解：由题意得抛物线的焦点为尸（-1,0），准线方程为/:x=L

过点尸作PM_U于点M,由抛物线的定义可得I尸尸1=1PM],所以|尸川+1?尸|=|PA|+1PM|,由图形可得,

当P,A,M三点共线时，IPAI+IPMI最小，最小值为点4到准线/:x=l的距离k2-1|=3.

故选：A.

06/18

6.A

【分析】将A,B与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和

余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.

【详解】如图设耳，F分别为椭圆的左、右焦点，设直线y=丘与椭圆相交于4B,连接

根据椭圆的对称性可得：四边形厂为平行四边形.

由椭圆的定义有:|明|+|AF|=2a,\FFt\=2c,ZFtAF=120°

由余弦定理有：归周2=|A周2+|A尸「_2|A6HAF|cosl20。

即4c2=(|四|+|4尸

所以4cf(|A用+1［同+网］=4/一m=3/

当且仅当|A用=|4尸|时取等号，又了二履的斜率存在，故4,8不可能在》轴上.

所以等号不能成立，即即《>3,所以l>e>@

a242

故选：A

7.A

【分析】结合导函数研究函数/*)的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.

【详解】因为/(X)=f—COSX—%sinx+1,所以f(x)=x(2-cosx),因为一iWcosxWl,所以2—cosxX),

07/18

当x>0时，/(x)>0,在(0,+8)上单调递增；当x<0时，f\x)<0,在(-8,0)上单调递减，由

此可排除选项B,C,D,

故选:A.

8.A

【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，(驾)=2x-l，再通过逆用求导公式得到

冬=f-x+,“，根据已知条件求得，"的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解.

e

【详解】因为/'(x)=e'(2x-l)+/(x),所以(工区］=2万一1，即亦即

I/Je”

/(x)=e*(2-x+w),又〃0)=-1,所以机=-1,即有f(x)=e*(x2-x-l).

原不等式/(x)>5e■'可等价于X2-X-1>5,

即£_x_6>0,解得x的取值范围是(f，-2)53,+8).

故选：A.

9.AC

【分析】根据递增数列的定义判断.

【详解】A.令%=1+3〃，则4用一为=1+3(〃+1)-(1+3〃)=3>0,是递增数列，正确；

B.令%=3"-2"2,则q=-5,生=-7,不合题意，错；

C.令4=2"-〃，则％-a"=2""-2"-1=2"-1>0,符合题意.正确;

D.令％=(-3)",则卬=-3,a?=一27,不合题意.错.

故选：AC.

10.AD

08/18

【分析】根据直线平行和两线交于点（2,3）时，交集为空集，可得结果.

【详解】解：因为集合4=｛（匕刃|三|=2卜集合3=｛（x,y）|or-y-2=0｝,且AcB=0,

所以直线丫—3=2（了-2）。*2）与直线⑪7-2=0平行或交于点（2,3）,

当两线平行时，”=2；

当两线交于点（2,3）时，2。一3-2=0,解得〃=|.

综上得。等于|■或2.

故选：AD.

11.AD

【解析】求出每个选项中函数的二阶导函数/（X）,并验证.尸（司＜0是否对任意的恒成立,

由此可得出合适的选项.

【详角隼】对于A,/r(x)=cosx+sinx=-sinx+cosx=

当时，一（＜］一（＜0,尸⑺＞0,故/（x）=sinx—cosx不是凸函数;

/"(X)=—《<0,故f(x)=lnx-2x是凸函数;

对于B,/（力=卜,

对于C,r(x)=—3f+2,对任意的.f"(x)=Yx<0,故〃6=-丁+2*—1是凸函数;

对于D,f（x）=（x+l）/,对任意的xw［（），U，〃（x）=（x+2）/＞0,故/（司=必'不是凸函数.

故选：AD.

12.BC

【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+忸月=4,再利用1的代换利用基本不等式可得

9

最小值了，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再

4

09/18

求函数最值；c项，由对称性，可设则8（-%,-%）,E（$,0）,则可得直线BE的斜率与％的关

系；D项，先由A、3对称且与点P均在椭圆上，可得又由C项可知即B=^£=43

a~22

得即"48=90。,排除D项.

【详解】对于A,设椭圆C的右焦点为尸，，连接AF',BF',

则四边形AF'BF为平行四边形，

.•.|AF|+|BF|^\AF\+\AF'\=2a=4,

俞卡向4（明+阳）（向+向卜1(町4|町

4(|AF|\BF\)>2

4

当且仅当忸f|=2|AF|时等号成立，A错误;

x2V2.

-----1-----=1±2

对于B,由，42得x=

+2k2

y=kx

_1,4kl4

c<72

；._ABE的面积§=万同”.匕一％尸772F百+2网

当且仅当k=±立时等号成立，B正确;

2

对于C,设A5,%）,则8（一小一%）,E（%,0）,

故直线8E的斜率须£=肯言=；・旦=；4，C正确;

玉）十七）N工0Z

对于D,设P（m,"）,直线期的斜率额为即八，直线户B的斜率为%,

„,,.n—y〃十%

则kpA，kpB=:—a

m—xQtn+x0

10/18

2222

又点尸和点A在椭圆C上，.•.‘-+二=1①，至+为=1②,

4242

①一②得二^二一］易知kpB=kBE=gk,

"一/22

则%尊=T，得％=-；，

乙乙K

•••原晨阳2=（-：）%=-1，,/的=90°，D错误.

故选：BC.

【分析】判断出数列｛《,｝的周期性，由此求得。238.

【详解】依题意，囚=-2,。1=1-，，

13

所以生=1-5=于

3

所以数列｛。〃｝是周期为3的数列,

3

所以“2018="2016+2=出=5•

11/18

故答案为：j3

14.(±1,0)

【分析】根据双曲线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.

【详解】由3/_丁=3得，x2-^=\,所以，该双曲线的顶点为(±1,0).

3

故答案为：(±1,0)

15.①②

【分析】根据1-，_1=4("22)可以求出4“，再结合可以判断是否是等差数列.

【详解】①当〃*2时，/=S「S,i=〃-(“—l)=l；当”=1也符合。“=1,所以《,=1,数列｛4｝为等差数

列；

②当“22时，an=S„-S„_(=/+〃一(〃一I?一(〃-1)=2〃；当〃=1时，q=S1=2,符合=2〃，所以勺=2”，

数列｛《,｝为等差数列；

_...[2,M=1

③当〃22时，4,=S“-S,T=2"-2"T=2"T；当”=1时，勾=岳=2,不符合4=2"T,所以见=

12,n>Z

数列｛〃〃｝不是等差数列；

2

④当“22时，an=Sn-Sn_｝=/?-(n-l)-l=2n；当〃=]时，4=5[=3,不符合%=2〃，

[3,n=1/.

所以""=2〃〃>2'数列｛4｝不是等差数列.

故答案为：①②,

16.(°,用

【分析】设过点P的两条直线与圆G分别切于点/，N,由两条切线相互垂直，可知|OP卜马普/?,由题

12/18

^\OP\＞a,解得”叵，又

即可得出结果.

a4

【详解】

设过P的两条直线与圆G分别切于点M，N，

知：|08=&乂乎）=^^6,

由两条切线相互垂直,

又在椭圆G上不存在点P,使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直,

所以|冲＞°,即得亚/；＞“，所以2＞巫,

5a4

所以椭圆。的离心率e=£=<逅,又e>0,

4

所以…邛

故答案为:

17.(1火＜一3或1V&V3；

⑵K3；

(3)%〈—3.

【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论.

x~v-x~v~

【详解】(1)V—=-1,即厂7+需二=1，方程表示双曲线,

\-k因一3K-l|K|-3

13/18

・・・(2_])(因一3)V0,

可得左〈一3或1VZ3；

2222

⑵；匕一年rf即匕+"r】,焦点在x轴上的双曲线，

[k-\>0

叫3THxr

：A<k<3；

2222

(3)：&-仅占=-1,即£+松5=1，焦点在y轴上的双曲线，

则归江.

：.k<~3.

18.(l)7x-y+10=0

159

⑵极大值点户-1,极小值点x=：,极大值是-1,极小值是-君

【分析】(1)利用导数的儿何意义求解即可，

(2)令/'(x)=0,求得玉=g,x2=~],然后通过判断函数的单调性可求出/(x)的极值点和极值

(1)

函数/。)=/+%2—/一2,函数的导数为/'(%)=3/+2]—1.

/(-2)=12-4-1=7,/(-2)=-8+4+2-2=-4,

/(x)在x=-2处的切线方程：j+4=7(x+2),即7x-y+10=0.

(2)

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令/'(x)=0,3d+2x-l=0,解得玉=；,x2=-\.

当时，可得r(x)<0,即f(x)的单调递减区间[-11),

x<-l或x>；,可得八x)>0,.,•函数单调递增区间(—I),(指+8；

.f(x)的极大值点尸-1,极小值点x=1,

：/(-I)=(-1)3+(-1)2-(-1)-2=-1,尺)=(夕+(1)2=

,极大值是-1,极小值是一看59.

19.(1)«„=3"

(2电/+(2〃；)3向

【分析】(1)利用等比中项法判断出｛可｝为等比数列，设其公比为q(q*O),由4%=243,求出口=3,

得到包｝的通项公式；

(2)先得到anb„=〃•3",利用错位相减法求和.

(1)因为数列｛%｝满足。/"+2=4"，6=3，%/=243,所以尸0.所以数列｛%｝为等比数列，设其公

比为q(#0).所以%为=4"〃4=32x/=243,解得：g=3.所以q="©一=3".即｛叫的通项公式为

4,=3、

(2)由(1)可知:bn=log3a„=log,3"=n,所以〃也=63",所以S.=q4+/知++。也

=].3'+2-32++〃・3"??????①①x3得：3S„=l-32+2-33++〃-3"“？??？？？？?②①-②得：

(1—3)S,,=l-3i+l-32+1.33++卜3"_〃3"|(J3)S“二、一3-3"4用所以上=3+(2〃-1)3””

1—34

20.(1)(X-1)2+(^+2)2=2

⑵x=0或15x+8y—16=。

15/18

【分析】3)求得线段A8的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线y=2x联立，可得圆

C的圆心，求得|AC|,可得圆的半径，进而得到圆的方程；

(2)讨论直线4的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程.

【详解】(1)线段的中点为(12),直线A3的斜率为=±=1,

所以线段AB的垂直平分线为y+2=—(x-l),BPy=-x-\,

,fv=-2x4,[x=l

由.।解得0,

U=-x-l[y=_2

所以圆心为C(l,-2),半径为|47|=。+(-2+3)2=小,

所以圆C的方程为(x-if+(尹2)2=2；

x=0

(2)当直线〃的斜率不存在时，由/.2..2,得y=-l,或y=-3,

〔(1)+(y+2)=2

即直线x=0与圆C相交所得弦长为-1-(-3)=2,符合题意；

当直线4的斜率存在时，设直线4的方程为丫="+2,即丘-y+2=0,

由于圆C到4的距离所以丁=1,解得上=-1,

所以y=-"x+2.即15x+8y-16=0,

8

综上所述，直线%的方程为x=0或15x+8y-16=0.

21.(1)—+/=1；(2)证明见解析.

4

【分析】(1)由题意可得动点M的轨迹为椭圆，焦点在X轴上，可得2a=4,2c=2行，从而可求出进

而可得动点M的轨迹方程；

(2)设直线P4与直线PB的斜率为勺，&,经分析直线/的斜率存在，设直线/：y="+m(〃?xl),设

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A(xl,yl),B(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去V,利用根与系数的关系，再结合勺+&=-1

可得(2Z+1)粤二+(m-1)番：=(),从而可求得人与〃?的关系，进而可证得结论

4k+14^+1

【详解】(1)解：由题意得|M"|+|MKI=|P用+|尸甲=4,则动点M的轨迹为椭圆，焦点在X轴上，

fv2

可设为\+万=1.a=2,c=G,b=lf

故动点M的轨迹方程为上+V=1.

4

(2)证明：