2024年九年级数学下册27相似小专题三相似三角形的基本模型检测题含解析新版新人教版

小专题(三)相像三角形的基本模型下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们相识相像三角形的基本模型，并能从困难的几何图形中辨别出相像三角形，进而解决问题．模型1X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.1．(滨州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,3)．2．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(DF,CF)，即eq\f(8,4)＝eq\f(DF,2).∴DF＝4.模型2A字型及其变形(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.3．(潍坊中考)如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：答案不唯一，如：∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠EDA＝∠BFD，DF∥AC，eq\f(BD,AE)＝eq\f(BF,ED)，eq\f(BD,DE)＝eq\f(BF,AE)等，可以使得△FDB与△ADE相像．(只需写出一个)4．(福州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，推断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．解：(1)∵AD＝BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴AD2＝(eq\f(\r(5)－1,2))2＝eq\f(3－\r(5),2).∵AC＝1，∴CD＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC).又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,BC).又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相像，即△ACD∽△ABC∽△CBD.5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(C)A．3B．4C．5D．66．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3eq\r(5)，则斜边AB的长为(B)A．3eq\r(6)B．15C．9eq\r(5)D．3＋3eq\r(5)7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3eq\r(13)．模型4M字型及其变形(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边相互垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相像．8．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.∴∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BC,DE).又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∴AB＝4.9．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AE,DF)，即eq\f(4,2)＝eq