2023届广东省深圳市康桥书院数学高三上期末调研试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（）．A．1 B． C．2 D．32．若x,y满足约束条件的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,3．已知集合,，则A． B．C． D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A． B． C． D．5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（）A． B．C． D．6．函数的图象大致是（）A． B．C． D．7．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．9．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．7 B．14 C．28 D．8410．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．211．已知直线与直线则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众4010女性青年观众3080现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.14．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________.15．的展开式中常数项是___________.16．（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）.（1）若直线过点,，求的方程；（2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.18．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.19．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．（1）若，求证：⊥；（2）若二面角的大小为，求线段的长．20．（12分）已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.21．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值.22．（10分）设函数.（1）若恒成立，求整数的最大值；（2）求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，，渐近线方程为，求出交点，，，则；选C考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；2、D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．3、D【解析】

因为,,所以,,故选D．4、D【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：，所以，所以，所以该几何体的最长棱的长为故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.5、A【解析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率：，（c为半焦距;a为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图：则所以,,故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.6、A【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当时，，由在递增，所以在递增又是增函数，所以在递增，故排除B、C当时，若，则所以在递减，而是增函数所以在递减，所以A正确，D错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.7、C【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，该几何体的体积为.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.8、A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，∴φ，结合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.9、D【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】，解得．．故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10、B【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.11、B【解析】

利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若，则，故或，当时，直线，直线，此时两条直线平行；当时，直线，直线，此时两条直线平行.所以当时，推不出，故“”是“”的不充分条件，当时，可以推出，故“”是“”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.12、A【解析】

试题分析：由题意可得：.共轭复数为，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、32【解析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.【详解】由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，则分层抽样的样本容量是人.故答案为：32【点睛】本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.14、【解析】

点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.15、-160【解析】试题分析：常数项为.考点：二项展开式系数问题.16、【解析】

由题意，，则，得．由题意可设的方程为，，联立方程组，消去得，恒成立，，，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号．故面积的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）直线过定点【解析】

设.（1）由题意知，.设直线的方程为，由得，则，由根与系数的关系可得，所以.由，得，解得.所以抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，由得，由根与系数的关系可得，所以，解得.所以直线的方程为，所以时，直线过定点.18、（1）；（2）①可能是2件；②详见解析【解析】

（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.【详解】（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则，其中，.由得，整数不存在，由得，所以当时，，即，由得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C级的概率为，一件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为：X900600300100P则期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．试题解析:(1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因为＝0，所以MN⊥AD(2)解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，从而M，N，所以MN＝＝．考点：用空间向量法证垂直、求二面角．20、（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.【解析】

（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．【详解】（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，所以椭圆方程为．（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，由，得，，，所以，，，所以当时，，，为常数．若，则，，，，，综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．21、（1）.（2）【解析】

（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得的最大值，可得边上的高的最大值.【详解】解：（1）∵函数，当时，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，当且仅当时，取等号，即的最大值为3.再根据，故当取得最大值3时，取得最大值为.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的