高中数学平面解析几何大题强化训练解析版

专题n平面解析几何大题强化训练

1.已知中心在原点0,焦点在X轴上，离心率为斗的椭圆过点(VI4),设不过原点0的直线1与该椭圆交于

P,Q两点，且直线OP,PQ,0Q的斜率依次成等比数列，求A0PQ面积的取值范围.

【解析】

设椭圆方程为0+1=1(a>匕>0),贝I」

a2b2

解得C，故椭圆方程为F+)'2=L

由题设可知直线1的斜率存在且不为0,故可设直线1的方程为y=kx+m(mh0).

9

令PCq，%)，Q(X2^2)则*14右且％必工0-

由(工10消去丫得&+4k2)产+8fc?nx+4(ni2-1)=0.

则有d=64Azm2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,

-9km4（m2-1）

且孙+孙"J=.........—.

l+4k2

22

)\y2=(kxx+m)(kx2+m)=kxtx2+km(x,+x2)+m.

由直线。P、PQ、OQ的斜率构成等比数列可得含金=口^1=也

从而+m?=0.

l+4k2

由mwO得卜2=：,k=±=.

由4>0及x/2*0,可知0<m2<2且m?*1.

设d为点o到直线1的距离，则邑。叫=:d|PQ|=

=7|m|J区+孙)2—4必必=•Jm2(2—m2').

所以邑"Q的取值范围为(0，1).

2.设O是坐标原点，双曲线C：0-1=1上动点M处的切线，交C的两条渐近线于A、B两点.

a2b2

⑴求证：AAOB的面积S是定值；

⑵求AAOB的外心P的轨迹方程.

【答案】⑴见解析⑵a2/一炉y2=：(a2+b2)2

【解析】

⑴双曲线在M(x0,光)处的切线方程为簧-衰=L与渐近线方程联立，

得A(XX,)Z)=(三为，琮五｝B(》2，y2)=(三殳，三&)•

从而S=1|x1y2-x2y1|=|ab|是定值.

⑵由⑴可设B(p-j),P(x,y),入为非零常数.

由|AP|=|0P|=UJP|,得(x-Aa)?+(y-初/=/+)*=(x-：)+(y+j).

从而有ax+by=7(a2+b2),ax-by=^-(a2+b2).

上述两式相乘，得P的轨迹方程为a?/-b2y2=i(fl2+产产

3.已知抛物线C]的顶点(迎一L1),焦点(0一2.1),另一抛物线G的方程为y2-ay+x+2b=0,Q与Q

4

在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C2必过定点，并求该点的坐标.

【答案】过定点，该定点的坐标为—

【解析】

Q中的p=：,方程。一l)2=x(0-l),g[Jy2-2y-x+V2=0.

设交点为(乙,比)，则C工的切线方程为y0-(y+y0)一+x0)+、C=0，

即2仇-l)y-x-2y0-x。+2在=0.

同理可得，心的切线方程为

%y-：a(yo+y)+；(x+xo)-2b=0,

即(2y0-a)y+x-ay0+x0+4b=0.

由题意知二者垂直，从而可得

lx(-l)+2O'o-l)(2yo-a)=0,

整理得

4%-2(a+2)y0+2a-1=0.®

由一和光-ay+x+2b=0,相加得

2y0-x0+V?=000

2光-(a+2)%+2b+在=0,②

①-②x2得2a-l*4b-2V2=0,可得

4b=2a—1—2y/2.③

代入G得方程整理即可得

2y2-2ay+2x+2a—1—2>/2=0,

即2y?+2%-2在-l-2a(y-l)=0,

由方程组口:+解得(在

2r-2^-l=0,_14).

即对任何满足③的a、b,点(握在曲线心上，即G过定点，该定点的坐标为(在一

4.如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线,

设两条垂线的交点为P.过点P作PQ1AB与Q.求证：zPQC=zPQD.

【解析】

如图，连结PA、PB,分别取PA、PB的中点E、F,连结EM、ED、FM、FC,则四边形PEMF为平行四边

形，从而NPEM=NPFM.

由ME=-BP=CF,MF=-AP=DE,MD=MC,

22

所以△DEM三△MFC,即/DEM=/MFC,所以

ZPED=ZDEM-ZPEM=ZMFC-NPFM=NPFM.

乂ZPED=2ZPAD,ZPFC=2/PBC,得NPAD=/PBC.

由于NPQA=/PDA=90°,ZPOB=ZPCB=90°,

则P、Q、A、D和P、Q、B、C分别四点共圆.

故ZPQD=ZPAD,ZPQC=NPBC,所以ZPQC=ZPQD.

5.已知。为坐标原点，N(LO),点M为直线x=-l上的动点，乙WON的平分线与直线MN交于点P,记点P的

轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

(2)过点Q作斜率为k的直线】，若直线［与曲线E恰好有一个公共点，求k的取值范围.

【答案】⑴y2=x(0=x<1)(2)(-u住耳

【解析】

⑴.设易知0<x<1.

因为0P平分乙MON,所以而=警而=VIT包而，所以

r+1=Vl+t2(l-x),①

y-t=V1+12(0—y).②

由①②可得t=若，代入①得到签=+化简即得曲线E的方程为)，2=道0=*<1).

(2).记A(L1),B(L-1)，则kg=1%=-：.

直线/的方程为y+；=%(*+》，与抛物线方程y2=》联立，消去x得

ky2-y+^(k-l)=0

当直线!与抛物线尸二又相切于点T时，zl=1-2k(k-1)=0,解得七,2=专.

当4=七==立时，方=兰卢，切点T在曲线E上；

22

当卜=心==亘时，)'r=—»切点T不在曲线E上.

若直线!与曲线E恰好有一个公共点，则有如£<k<kQA^.k=^f,故所求k的取值范围为u｛阴・

6.已知椭圆C：捺+'=1过点M(02),且右焦点为F(2,0).

(1)求椭圆。的方程;

(2)过点F的直线Z与椭圆C交于4B两点，交y轴于点P.若PA==MBF,求证：m+兀为定值;

(3)在(2)的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点。的对称点，试求三角形QAB面积的最小值.

【答案】⑴9+£=1⑵见解析⑶彳

【解析】

⑴由题意b=2,c=2,所以a?=8,椭圆C的方程为?+?=1。

(2)设A、B、P的坐标分别为(乙,%),(孙，%)，(°」)。

由港=m通知％=言；，%=会

又点A在椭圆C上，则

94

整理得2m，+8m-124-4=0o

由=同理得到

2n2+8几一产+4=0。

由于A、B不重合，即m工n,故m、n是二次方程

2x2+8x-12+4=0

的两根，所以m+n=-4,为定值。

(3)依题意，宜线1的方程为±+工=1,即)，=-=(x-2),与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得

2t2

（2+t2）x2-4t2x+4t2-16=0,

4=161一4（2+尸）（4尸-i6）=32产+128>0,

4^-16

所以，,xX,而

X+X?=MNi-'2=2+R

S^QAB=2,|2t|,|孙—无2।=|t|,一打1

S；QAB="色一万2)2二户以1+戈2)2-4”2]

「16t416t2-64

=L［（2+广尸-2+t）

2.四山。

（2+刃2

=321-（2+t2）J

由已知，点P不在椭圆C的内部，得|t|22,即t2>4,所以Wjg的最小值为32x；=岸，故三角形QAB

面积的最小值为三。

7.如图，已知抛物线y=a*2过点p（-l,1）,过点Q（一：,0）作斜率大于0的直线1交抛物线与M、N两点（点

M在Q、N之间）,过点M作x轴的平行线，交OP于A,交ON于B.APMA与AOAB的面积分别记为又、S2,

比较又与3s2的大小，说明理由.

【答案】5t>35,

【解析】

如图，抛物线y=a产过点P（-l,1）,得a=i，所以抛物线的方程为），=小.

设直线1的方程为y=k（x+》（其中k>0）.由，=M*+2）得2产一2kx-"=0.

2y=x2

设M(x,,yJ,N(x2,y2)»那么有41＜必，A(一外,%)，xt+x2=k,xtx2=-\

又ON的方程为y=p,故凤臂,力），所以|M4|=-y1Tl,|AB|=管+%,

有|A8|-|跖4|=2+2%+%=+*5

yiyi

k+*)•，2+2k+/)•k+*)+X]・k(x?+

y2

222

(2k+2fc)xtx2+(fc(rx+x2)+^k

~yz

(2k2+2%)(一切+(k2+；k)k+

==0

y2

可得MB|=\AM\

由题意知一==*<Xi<0,故),：>=£<：>1-)i>1-

又因为又=：MM|・a-%),S=1UB|y所以又>35>

222v

8.己知圆0：犬2+产=4与曲线c：y=3|x-t|,A(jn,ri),B(s,p知(m,n,s,peN，)为曲线C上的两点,使得

圆。上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k(A>1),求t的值.

【答案】t=;

【解析】

设P(x,y)为圆。上任意一点，则由题意知鬻=k.即PA2=k2p82,

于是(x-m)?+(y—n)2=k2[(x-s)2+(y-p)2],

整理得K+v2--x_次)=(m2+M)-H©+/)

因此点P的轨迹是一个圆.因为P(K)，)为圆上任意一点，

所以此圆与圆。：产+尸=4必为同一个圆，

干昂右-2(『s-m)_--zMp-n)_n(m2+M)-『G2+p2)_.

J，

kJ-U112TI,-—%

整理得k?s-7n=0,k2p-n=0,

所以州+叱工空±由=纣s?+l密产且瑰=k2(s2+p2)=4.

因为s,peN',所以S2>i,p2之1，从而炉=<2.

又因为k>L所以s=p=l,k2=2>m=n=2-

因此将A(2,2),代入y=3|x-t|,得t=*

9.如图，F*、马是双曲线炉-匕=1的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于

4

A、B.又设O为坐标原点，求证：(1)|0川•|。8|=|。8|2；⑵凡、F2、A、B四点在同一个圆上.

【答案】⑴见解析⑵见解析

【解析】

⑴若直线AB的斜率不存在，即切点位于实轴的顶点，则A、B的坐标分别为（I,2）、（1,-2）.这时

|04|=\0B\=v,5=|。&|,结论成立.

若直线AB的斜率存在，可设宜线AB的方程为y=kx+b.

由于AB与双曲线相切，所以关于*的方程如-2（匕-+切2=1有两个相等的实根，

4

即d=Qkb）"-4（l-^2）-（-^2-1）=0.

整理得人=炉+4.

由于A、B的横坐标孙、北是方程产-;(fcx+&)2=0的两个实根，

_产

我们有X/2=f=1.

1-T

注意A、B的坐标分别为(处,2%),(X2,-2X2).

可知|。用=V5|xJ,\OB\=V5|X2|.

因此|OA|•\0B\=Skjxj=5=I0FJ2.

⑵在40月生与中，^AOF.=AF,0B,且幽=鬻，

所以dOA月~/。片B.同理40A5~4。88.

这样，我们有匹=(£4。+20月为)+(WB0+

+LFZBF2LOBFQ

=UB&0+/0&B)+(乙4Go+/.OF2A)

=UB&O+乙410)+(“F2B+Z.0F2A)

=LBF1A+^BF2A.

即四边形片A4B中的一组对角之和等于另一组对角之和，从而对角之和为180。，该四边形内接于圆.

10.已知方程17/一16xy+4y2-34%+16y+13=0在xOy平面上表示一椭圆.试求它的对称中心及对

称轴.

【答案】对称中心为(L0)，对称轴为丫=母至宜0-1)

【解析】

易知点A(L1),B(L-l)均在曲线上.

设椭圆的对称中心为32),则点4(2(1-1,26-1),E'(2a-L2b+i)均在曲线上.

故有17(2a-I)2-16(2a-1)(26-1)+4(2b-1)2-34(2a-1)+16(26-l)+13=0，①

17(2a-I)2-16(2a-1)(2&+1)+4(2b+1)2-34(2a-1)+16(2b+l)+13=0.②

①-②化简得b=2a-2.代入①并化简得4a2-8a+4=0.

解得a=L从而，b=0.故对称中心为(L0).

乂对称轴经过对称中心，故可设对称轴方程为y=k(x-1).

设点A(L1)关于直线y=k(x-1)的对称点为儿(与J。)，则有

'竽=(罟-_，+2k+/

k1)°=产，③

尸尸=一三lr-1

、XQ-1k%=访.

又“在曲线上,则有端-

1716xoyo+4yJ-34x0+16y0+13=0.

将③代入上式并化简得4(8小一13k-8)=0.

k=0不合题意，故8k2-i3k-8=0=k=空尸.

16

因此，对称轴方程为)，=空产5-1).

11.如图，椭圆0+着=l(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的

y2b2

一个顶点时，其倾斜角恰为60。.

(1)求该椭圆的离心率；

(2)设线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记4GDF的面积为又，AOEDCO

坐标原点)的面积为S2•求之的取值范围.

【答案】(l)e=j(2)(9,+oo)

【解析】

⑴依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为60。.设F(-c,0),则*tan60。=V5.将b=

代入a?=炉+©2,得a=2c.所以椭圆的离心率e=-=

a2

(2)由(1)知，椭圆方程可设为W+9=1,设A(XQI),8(X2，%)•依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，

故设直线AB的方程为y=k(x+c),将其代入3x2+4)祥=12c2,整理得

222

(4k+3)/+Sckx+4k2c2_12c=0.

2

则m.i%.+孙=-诉Scir？%+,纥=京6百ck

3ck

因为GD1.4B,所以1p-xk=-Lx0=W.

+3

击厂0品

因为AGFD-AOED,

(4cle2=:de3]/3dc\2

所以皂—lGD|2_ky4kl.mJ*.4H.31_(3cH)2+(3c幻2_glk4+gl*2_q9«

222

V2=lODl=jf=(Ck)=-四='+W>'

所以宜的取值范围是(9,+8).

12.已知双曲线?-9=1,设其实轴端点为儿、4，点P是双曲线上不同于冬、冬的一个动点，直线

P4、PA2分别与直线4=1交于%、“2两点♦证明：以线段为直径的圆必经过定点.

【答案】见解析

【解析】

由已知可设义（一2,0）、去（2,0），双曲线上的动点P的坐标为（右,比）且）b工°，则?一?=1.

因为直线PA,的方程为y=个（x+2）,直线P4的方程为丫=t（x-2）,

Xo+2XQ-2

所以见（L聋）也（L消）

设以线段“工时;为直径的圆C上的任意一点Q（x,y）,那么由顺-M^Q=0得圆C的方程为

（x-l）（x-l）+（y-舞）（y-念）=0.

令y=0,代入上述圆方程，得（X-1尸-2=0.

由上,—"=1可得"二三,因此有（x—1下一2二o,解得犬=三或不=一二.

43Xg-44422

所以，以线段“工时2为直径的圆必经过两定点（一不0）、（；,0）.

13.已知动直线/与圆O：炉+）口=1相切，与椭圆5+W=1■相交于不同的两点A,3.求原点到A3的中

垂线的最大距离.

【答案】；

【解析】

依SS意可设/：y=kx+m（k*0）.

因为直线/与圆。相切，所以，。到直线/的距离为I,即第1=1

J1+1

r

这样的直线必与椭圆交于不同的两点%）,B（X2,y2）,联立?=，

jr+9）--9=0

得（i+9k2）炉+18kmx+（9m：-9）=0,得到/+r2=-攀.

所以AB的中点坐标为（一翼—「京）

A8的中垂线方程为），一虐j=-；（x+瑞化简得x+/cy+^7=0,

I8kmI

O到直线中垂线的距离d=凄.

V1+“

将a=1代入d=算得d=粤,

22

vi+kv1+K*v1+k

由均值不等式，l+9k2>6|k|.故dw;当且仅当同=却寸取等号.

所以，当也|=；,阿=苧时,

原点到AB的中垂线的最大距离为泉

14.如图所示，在平面直角坐标系xOy,设点M(Xo，y°)是椭圆C：9+y2=l上一点，左右焦点分别是耳、F2,

从原点O向圆M：。一40)2+。一yo)2=r2(o<r<D作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q,直线OP、

OQ的斜率分别记为七、k2.

(1)设直线M8、分别与圆交于A、B两点，当依卮|一=27,求点A的轨迹方程;

(2)当g•Q为定值时，求IOPI•|0Q|的最大值.

【答案】(l)(x+O2+y2=4(x>0)(2)：

【解析】

1.由椭圆定义：|MFh+|M&|=2a得2r+gfj+|8马|=2a

所以，\AF1\+\BF1\=2a-2r,又3月|-|B&|=2r,

则IAFJ=a=2，故点A(x,y)的坐标满足方程(x+V3)x+y2=4.

因为0<r<l,则点A(x,y)在椭圆内部，因此

(x+V5)~+y2=48

_2,=*>0或犬<一不.

—+y2=1“

综上，点A的轨迹方程为（x+、，"）'+y2=4（x>0）.

2.令直线OP的方程是），=心笫与圆M相切，则有蟀匚渤=r,

E+i

即（环一产湍-2xoyok1+环一产=0

又直线0Q与圆相切，设直线0Q的方程是），=心为同理有

2

（抬-r）kf-2xoyok2+环一产=。

则心、网是方程3-浮）犬一2与比》+羽一八=0的两实根，因此,

又心♦卜2为定值，设电=C，则

即(c+：)*=1+(c-l)r2

由于M为椭圆上的点，且c为定值，因此必有c=-；,故心•治=一：，此时r=学.

（y=gx

设点P（A，%）,（?（x2,y2）,联立互上2_1，解得

I丁+y-1

2__2__*fcL

小x一工+碉，万v一

同理退=」/,光=鼻，所以，

21+4片1+4片

0P,•0Q,-=（1+44抬+14+k4fk）\'/（1+44*+14+k4f抬\/

4（1+kf）4（1+唠）

=1+4代,1+4后

_4（1+后）.1+161121_25

—1+呜・1+4好,（1+4丁-4,

故|0P|・|0Q|的最大值为三

2

15.若椭圆'+?=1上不同的三点B（4,1）,C（X2）2）到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线

段AC的中垂线友x轴于点T,求直线BT的方程.

【答案】25x-20y=64

【解析】

用a、b、c分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，

则a=5,b=3,c=4,右焦点为F(4,0),且准线方程为x=9,

由^-=£,得45=5-：戈1,CF=5-^x2-

y-Xi&a55

根据等差性质，AF+CF=2BF,而BF=；,即(5-也)+(5-3)=5，

所以+x2=8.①

设线段4c的中点为D，则其坐标为D(4,牛)，

又设点T的坐标为T(xo,0),M4c的中垂线DT的方程为y-空江=一生二(x-4).

因T(xo,0)在此直线上，故有0—3=一00。—4),

2>L力

即“。-4二卢蒋②

U2C*L*2)

又根据A、B在椭圆上,得资=盘(25-好),对=区(25-诏),

所以资一)修=一(51+孙)(石一必)，

据①，即有卢三=一胃.③

再据②③得x0=景即点T的坐标为T(/o),

于是直线BT的方程为25x—2Oy=64.

16.设曲线C：*-16y|=256-161yl所围成的封闭区域为D.

(1)求区域D的面积；

(2)设过点M(0,-16)的直线与曲线C交于两点P、Q,求|PQ|的最大值.

【答案】(1)512(2)16,20-10、”

【解析】

(1)由题设,由256-16例20,因此-16sysl6.

若*-16yl=x2-16y,则当0<y<16时,

|x2-16yl=x2-16y=256-16y,x2=256,

此时x=±16(0=y416),图象时两条直线段.

当-16vyw0时,

|x2-16y|=x2-16y=256+16y,y=|^-8(>>>-8),对应于一段二次函数的图象.

若|小一16丫|=16)，一小，则当0M16时，类似于前面的推导得y=，+8,对应于二次函数图象的一

段：y=\+8(y?8).

当-16wy<0时，

\x2-16y|=16y-x2=256+16y»得到犬=-256,无解.

综上所述，区域D的集合为：D={(x,y)|—16<x<16,77—8<y<7Z+8},

由区域D上函数图象性质，知区域D的面积为S=32x16=512.

(2)设过点”(0,-16)的直线为1,为「求|PQ|的最大值，由区域D的对称性，只需考虑直线1与D在y轴右

侧图像相交部分即可.设过点M(0,-16)的直线1方程为y=kx-16,易知此时1与D相交时有Z<k<co.

17.已知乙、马分别为椭圆C：捺+\=1(a>b>0)的左、右焦点，点在椭圆C上，且弓的

垂心为H(争_3

⑴求椭圆C的方程；

(2)设A为椭圆C的左顶点，过点心的直线Z交椭圆C于D、D两点.记直线AD、AE的斜率分别为七、k2,若

ki+k?=-3求直线2的方程.

【答案】(l)?+?=l(2)y=2(x-l)

【解析】

设片(一c,0),4(c,0).由A且P用的垂心为H(手,一：),得自H1P&.

所以忆*.%为=才--旨-=-1,c2=；.解得/=1.

由点P(§,1)在椭圆C上，得最+/=1•结合。2->=[2=1,解得a2=4,&2=3.

所以椭圆C的方程为立+式=1.

43

(2)由⑴知做一2,0),用(1,0).

若!的斜率不存在，则由对称性，知心+灯=0,不符合要求.

若!的存在，设为k,则1的方程为丫=—1).

y=k（x—1）

由二十日=1得（4小+3）/一8——12=0.①

43

4k2-12

设D（Z，尢），E&2J2），则/+必=4k2+3''/2—4k2+3

所以七+的=含+盘=—+甯

3al+必+4）

（巧+2）（孙+2）

3（乙+%+4）

xtx2+2（4+x2）+4

.b3（Sfc2+161^+12）1.（个2k2+1、1

=k平一42_二+工藐斗工/二+Gl=-（2—=）=一9

k2=因此Z=2,直线!的方程为y=2（、-1）.

又%+-之2，

18.已知椭圆立+匕=1的右顶点为C,A为第一象限内的椭圆周上任意一点，点A关于原点的对称点为B,

S2

过点A作x轴的垂线，与BC交于点D,比较|AC|2与|CD||CB|的大小，并给出证明.

【答案】见解析

【解析】

设则

B（-m,-n）,nz=2-?（0<m<2>/2）.

又C（2、2,0）,故14cl2=（m-2®2+n2=（m_2^+（2—9）=；（2在-m）（10、2-3m）,

\CB\2=（2V2+m）2+n2=（2V2+m）2+（2-y-）=；（2①+m）（10V2+3m）.

由8、D（m,%）、C三点共线知

皿!=—_也浮则：

2m2V2+m>°m+2V2

1"（时2可+瞪渐

=（m-2V2）2+^<（2-^）

=i（m-2V2）2i54^

故ICDIICBI=-（2^-70）（10^+3771）.

4

因此，|4C|2<|CD||CB|.

19.已知椭圆C：捺+、=l(a>b>0),经过点P(3谭)，离心率为%过椭圆C的右焦点作斜率为k的直线I,

与椭圆C交于月、B两点，记PA、PB的斜率分别为七、k2o

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若用+用=0,求实数鼠

【答案】(1)^+匕=1;(2»=：

25165

【解析】

(1)由己知得！■+笔=1,=尤=2=卢=25,产=16.故椭圆方程为亘+m=1.

a225b2a2252516

(2)易知，椭圆右焦点坐标为(3,0).

⑴当0<k<+8时，直线［：y=k(x-3).与椭圆方程联立得(16+25二)/一i50k2x+225k2-400=0.

设.则必+=150=,/2=225-一：；9.又的=上_§,,屋=工L,且

1y1J12

"'-16+25k-**16+25k工xt-3-x2-1

y\=k(xt-3),y2=k(x2-3),故h+k2=——安-560K---=o=>k=-.

’1112sfifi+zsk^Oi-aXxj-a)s

(ii)当k=0时，h=；,k?=一：•则h+的=-gh0,不符合题意.

(iii)当％不存在时，Q色均不存在，不符合题意.

综上，k=l

20.设过原点且斜率为正值的直线与椭圆?+y2=i交于点以F,点4(2,0),5(0,1).求四边形4EBF面积

的最大值.

【答案】2々

【解析】

易知La：4+2y=2.

设直线EF的斜率为k

则G尸:y=kx(k>0).

设F(,x2,kx2Xx1<x2\

由点E、F在椭圆上,知右、力满足方程(1+4炉)K=4.

2

从而，Xx=-2=vT+Ifc7,

由点到直线的距离公式，知点E、F到直线AB的距离分别为

,吊+2依广2|2（-1+4-）

lT4（«—，，一=,.’==，

1、5，5（，+4"2）

,_氏+25-2|_2（工+2女+、'1+4的

2~~1~、，5（1+4"2）

又381=6,则四边形AEBF的面积为

5=:48|(瓦+电)

1片4(1+2fc)

=-xV5x:

2J5(i+W)

c|1+4Jc2+4k

=2Jl+4k2

=11+i7~M2<2.

NE+4k

当且仅当：=4%,即卜=:时，上式等号成立.从而，S取得最大值2在.

21.已知抛物线y2=2px过定点C（l,2）,在抛物线上任取不同于点C的一点A,直线AC与直线y=x+3交

于点P,过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B.

（1）证明：直线AB过定点；

（2）求4ABC面积的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）47?

【解析】

如图.

⑴由抛物线y2=2Px过定点C（L2）,得抛物线方程为严=4x.

设点4(9,yo)(yo*2).

则匕勺一2=筑(万-1)，即y—2=京(》-1),与y=x+3联立解得点P(有，宣)

于是，B(精，宣)

当环=12时,A(3,%),B(3,左2士),J过定点Q(3,2).

、》。一2/

当y"12时，髻黯，

2y0-12

I-=y；京M一半)=y-y。=舒-一羽)

不一®。_2)2

易得，Ug也过定点Q(3,2).

(2)由(1)可设〃g：x-3=m(y-2).

与抛物线方程联立得严-4my+4(2m-3)=0

则%+)2=4m,yty2=4(2m-3))

S“c=7IC<?llyi-y2l=lyi-y2l=，。1一%)2-4%%=4j(m-+2.

当m=l时，4ABC面积的最小值为4代.

22.在平面直角坐标系xOy中，点P(2,1)在椭圆。式+式=1上，不经过坐标原点0的直线1与椭圆C交

63

于A、B两点，且线段AB的中点为D,直线0D的斜率为1.记直线PA、PB的斜率分别为七、自，证明：

用网为定值.

【答案】见解析

【解析】

设A区,％),B(r2,y2).则D偿产,牛).

依题意有k。。=1.

故x，+x2=yx+y2•①

由点A、B在椭圆上得五+左=1,五+过•=1

6363

=>^+^=0=>x1-x2+2(y1-y2)=0.②

联立式①、②解得％=匚空曳1,必=”理.

22

由F+F=l，得‘二>E了/+]=1n3(yf+理)=8+2%)*

故用也心2-1)=)"2-5+「2)+工

Cxj-2)(X3-2)XJXJ-2(XI+X2)+4

3，先一(3，+力)+工3"2-5+「2)+工?定值).

-冷近”。必_2(y1募2yly2-2-25+旷2+4)

23.设椭圆C：\+M=l(a>b〉O)经过点(0,75),离心率为点直线［经过椭圆C的右焦点F,与椭圆C交于

点4、B,A、F、8在直线x=4上的射影依次为D、K、E.

⑴求椭圆C的方程.

(2)联结4E、BD,当直线［的倾斜角变化时，直线4E与BD是否交于定点？若是，求出定点的坐标并给予证明;

否则，说明理由.

【答案】⑴C:-+^=l(2)iV(-,O)

432

【解析】

(I)据椭圆经过点(0,行)知b=、%

则由e=£='""=三=Q=2.

aa2

故椭圆。匚+匕=1.

43

(2)当直线I的斜率不存在时，直线！lx轴，则四边形ABED为矩形.

由对称性，知直线AE与BD交于FK的中点N(=,0).

卜面证明：当直线!的斜率存在时，直线AE与8D交于定点二忘,0).

2

设A(x»%),B(x2,y2),D(4,%)，E(4,y2),lAB-.y=k(x-1).

联立椭圆C的方程，消去y得关于x的方程

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0

8k24^-12

1+x2=---r2rX.X=----.

23+4k12，3+4改2

注意到’2"小一4).

当x=，寸,

S2-X1)3

y=k(x-1)-

24-Xj2

5fc(xx+x2)-2kxtx2-8k

2(4-xj

_-81(3+4[2)-21(41-12)+5%畋2=0,即点N(；,0)在直线AE上.

2

2(4-Xt)(3+4k)

类似地，点N(±0)在直线BD匕

2

从而，当直线!的倾斜角变化时，直线AE与BD交于定点附(：,0).

24.过抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N,F为抛物线的焦点.证明:

(1)|PF|2=IMF||NF|；

(2)zPMF=dPN.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

设P(Xo，To),M(xi，yx),N(X2，W)・易求得切线PM：)\y=p(x+Xi)>

切线PN：y2y=p(x+x2).

因为点P在两条切线上，所以，

)1)0=p(xo+Xi)，y2y0=p(x0+x2).

故点M、N均在直线y()y=p(x+x())上.

于是，iMN-yoy=p(x+x0).

联立「=P("+x。)，

Iy2=2px

=(p(x+x0))'=2P与行

2

=>X+2(xo-y)X+Xg=0.

由韦达定理知

+0=2-Xg),^1^2=-^6,

⑴易知，F('O)

由抛物线的第二定义得

p»

|AfF|=^1+2，IM=X2+2

nIMFIINFI=(Xt+1)(x2+

Jr,、尸

=x1x2+-(r1+x2)+—

p2

=xi+yS~px0+—

=(X。一与了+环=IPFR

因此，\PF\2=\MF\\NF\.

(2)由而=(右一1比),丽=(如一；,%),FN=(x2-;.y2).知

FP-7M=(xo-^yo)-(*i-1-yi)

Pz,、j\

=X。％--Go+XJ+—+yoyi

__„2

PP

=x0Xi--(x0+x1)+—+p(.x0+xj

Jr,、J2

=X0X1+-(X0+X1)+y

=(x0+1)(r1+1)

又IMVI=%+3则

2

FP-FM

C0S^FM=mMF]

_(x°+2)(yi+!)_x°+2

-IFPI&+号)一『「I

类似地，cosz.PFM=

故cos"FM=coszPFJV

=LPFM=LPFN.

结合IPFF=|AfF||iVF|,得dMFP，APFNndMF=dPN

25.如图，已知A、B为椭圆r；式+片=1在左、右顶点，直线I与椭圆r交于点M、N.设AM、BN的斜率

259

分别为七、g且h:k2=l：9o

⑵记ZL4MV、/BMN的面积分别为又、S2,求之一52的最大值。

【答案】(1)见解析：(2)15

【解析】

⑴如图.

引入伸缩变换T：(x,y)-

则椭圆「在变换T下的像为圆：

X2+y2=25.

由丝=-=>如a=p.=1

k?9如w，p29

设M'M与X轴交于点G'.

1^.11_If,__Icl|NT，|_|M，b，||N，5，|_⑶G，||G，N，|_⑶G，|

、,9-kB,Nf—tanzjv，6，<，­|N，4，I一\N>Af\—|G，N，||4，G，|—

因此，点G'(4,0),直线1过定点G.

(2)不妨设F'(4,0).则

，即N，fMrNf一rMfNr~gSsM'N，=5，M，N，=：X

Ho'M'HOW'IsinrM'OW'<-x-x5x5sin900=15

252

当且仅当O'M'1O'V时，上式等号成立.

因此，Sx—S2的最大值为15.

26.己知F为椭圆总+y2=i(a>0)的右焦点，M(m,0)、N(0,n)分别为x轴、y轴上的动点，且满足

MN-NF=0.设点P满足血=20N+PO.

⑴求点P的轨迹C.

(2)过点F任作一直线与轨迹C交于A、B两点，直线OA、0B与直线x=-a分别交于S、T(0为坐标原点),

试判断西•分是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴尸=4"；(2)见解析

【解析】

(1)由题意知F(a,0).

于是，NF=(a,-ri).

又MN=(-m,”)，由MN-NF=0,得n2+am=0.

设点P(x,y).

由丽=2ON+P0=>(m,0)=2(0,n)+(—x,—y)

=m=—x,n=-.

2

代入九2+am=0,得产=4ax.

⑵设八%=1旷+0常悟,％),8伟必).

则L：y=存」0冷，=吃工

>1>2

由｛段―

类似地,

故FS=(-2Q,一券),FT=(-2Q,芟)

=>FS-FT=4a2+—.

y±yi

@=ty+a,

由(2yy=一

y?=4ax=)'-4aty-4a=0=>t24a，

=>FS.FT=4a2+^-=4Q?-4Q2=0(定值)

-4a2

2

27.如图，Pi、6为双曲线C：--y=1的左、右焦点，动点P(x0,州)(切沙在双曲线C的右支上.设/QPF2

4

的平分线与X轴、y轴分别交于点M(m,0)、N.

(1)求机的取值范围；

(2)设过点Q、N的直线/与双曲线C交于。、E两点，求△FzQE面积的最大值.

【答案】(1)(0,&].(2)4闻

【解析】

(1)依题意有Q(-、弓，0),尸2(百,0).

则〉'=差叁(*+、区)

=>%x-(x0+v5)y+v'5y0=0,

/丫=啰(》一百)

=>yox-(x0-v5)y-v'5y0=0.

由点M在/BP&的平分线上知

|y3m-hV5yD|_1yom+、务力|

2

｛只+(X0+<5)、1月+(*07专)，

由一、丐<m<v5,yo>l及方=7%o-1

=>x