高中数学选修第一册：2 . 2 直线方程

2.2直线方程

【题组一点斜式方程】

1.（2020•江苏建邺.高一期中）已知直线/过点（0,3）且与直线x+y-1=0垂直，贝U的方程是（）

A.x+y-3=0B.x—y+3=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

【答案】B

【解析】因为直线/与直线x+y—1=。垂直，所以勺=1.

所以直线/的方程为y=X+3,即x-y+3=0,故选B.

2.（2020•云南高一期末）过点（—1,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）

A.2x+y-l=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D,x-2y+l=0

【答案】A

【解析】因为所求直线垂直于直线X-2y+3=o,又直线X-2y+3=o的斜率为

2

所以所求直线的斜率左=—2,所以直线方程为y—3=—2（%+1）,即2x+y—1=0.故选：A

3.（2020•林芝市第二高级中学高二期中（文））过点4（3,3）且垂直于直线4x+2y—7=。的直线方程为

1cr1513

A.y=—x+2B.y=—2x+7C.y=-x+—D.y=—x+一

22222

【答案】D

113

【解析】过点43,3）且垂直于直线4x+2y—7=0的直线斜率为一，代入过的点得到y=—x+—.

2.22

故答案为D.

4.（2020・全国高二单元测试）过点（1,-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（）

A.x-2y-7=0B.2x+y+l=0C.2%-y-5=0D,x+2y+5=0

【答案】D

【解析】由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0,

直线过点（1,-3）,代入x+2y+c=0可得l-6+c=0,解得c=5,

.•.所求直线方程为x+2y+5=0,故选D.

【题组二斜截式方程】

1.（2019•大通回族土族自治县第一完全中学高二期中）直线2x-3y+6=0的斜率为左，在》轴上的截距

为。，则有（）

22

A.k=—，b=2B.k=­，b=2

33

一22

C.k=—,b=—2D.k=----,6=—2

33

【答案】A

22

【解析】由直线方程2x—3y+6=0化为斜截式：y=§x+2.可得斜率左=],在》轴上的截距为6=2.

故选：A.

2.（2018・新疆高二学业考试）直线/的斜率是-2,在》轴上的截矩是4,则直线/的方程是（）

A.y=2九一4B.y=3x+3C.y=-2x+4D.y=-2x-4

【答案】C

【解析】由题意直线的斜率为-2,在》轴上的截距为4,则直线的斜截式方程为：y=-2尤+4.故选：C.

3.（2019•江苏昆山.高二期中）过点P（-2,3）且与直线3x—4y+l=0垂直的直线方程为.

【答案】4x+3y—1=。

34

【解析】由题意直线3x—4y+l=0的斜率为1,故所求直线的斜率左=一§,

4

所以所求直线方程为y—3=-§（%+2）即4x+3y—1=0.故答案为：4x+3y—1=0.

4.（2020•甘肃省岷县第一中学高二月考（文））过点4（2,3）且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为

【答案】x-2y+4=0

【解析】直线2x+y-5=0的斜率为一2,所以所求直线斜率为-2,直线方程为y-3=-2（x-2）,整理得

x-2y+4=0

【题组三两点式方程】

1.（2020.江苏省南通中学高一期中）若直线过点（百,-3）和点（0,-4）,则该直线的方程为（）

A.y=^-x-4B.y—^-x+4

•3-3

C.y=y[3x-6D,y=?x+2

【答案】A

【解析】（法一）因为直线过点（百,-3）和点（O,T）,

所以直线的方程为一>/=-整理得y=^x-4；

y-（-4）x-0-3

（法二）因为直线过点（、行3）和点（0,—4）,所以直线的斜率为左二坐，

所以直线的方程为y+4=^x,整理得y=4;故选：A.

【题组四截距式方程】

1.（2019•伊美区第二中学高二月考（理））设直线5x+3y-15=0在左轴上截距为a,在》轴上的截距为。，

则（）

A.a=5,b=3B.a=3,b=5C.a=-3,b=5D.a=-3,b=-5

【答案】B

【解析】由直线5x+3y-15=。令y=0,x=3令x=0,y=5即a=3力=5故选B

2.（2020.景东彝族自治县第一中学高一月考）过点P（3,4）在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多

少条（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】当截距为。时，是直线OP,只有一条，

当截距大于0时，设截距分别为仇则直线方程为二+2=1,..•直线过点p（3,4）,

ab

343434

・・・—+—二1①，・・・a>01>0,・・・一>0,—〉0,结合①可得，—<1,—<1,・・・〃>3*>4,

ababab

又・・・〃/为整数，.・.QN4,b>5,

A-ir\

由①解得人=’7=4+—？a—3为12的因数，

a—3ci—3

/.n-3=l,2,3,4,6,12，对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16,10,8,7,6,5,

对应的直线又有6条，上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D.

3.(2020•福建高三其他(文))“直线/：y=Ax+2左-1在坐标轴上截距相等”是“左=-1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

1_?k

【解析】由题知：左W0，由x=0得y=2左一1；由y=0得，x=--------.

k

1一2左1

因为在坐标轴上的截距相等，所以2左-1=-解得上=—或左=—1.

k2

所以直线l：y^kx+2k-l在坐标轴上截距相等”是“左=-1”的必要不充分条件.故选：B.

4.(2020•黑龙江爱民牡丹江一中高一期末)经过点河(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是()

A.x+y=2B.x+y=lC.%+丁=2或,=》口.x=l或y=l

【答案】C

【解析】当直线过原点时，斜率为1,由点斜式求得直线的方程是y-l=x-l,即丫=*；

当直线不过原点时，设直线的方程是：-+2=1,把点M(l,1)代入方程得a=2,直线的方程是x+y=2.

aa

综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2故选C.

5.(2020•定远县育才学校高一期末)已知直线ax+3my+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2,则直线

的斜率为()

12

A.1B.—C.----D.2

33

【答案】D

2a?a

【解析】令x=0,得y=-——，令y=0,得x=-2,因为在两坐标轴上的截距之和为2,所以----+(-2)=2,所

3m3m

以a=-6m,原直线化为-6mx+3my-12m=0,所以k=2,故选D.

【题组五一般式方程】

1.(2019•四川德阳.高一期末(理))已知"BC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求

(1)过点A且平行于BC边的直线的方程；

(2)BC边的中线所在直线的方程.

【答案】(1)3x-4y-19=0(2)lx-y-11=0

A_no

【解析】(1)"BC中，(1,-4),B(6,6),C(-2,0),故3C的斜率为=—,

6+24

3

故过点A且平行于3c边的直线的方程为y+4=—（x-1）,即3x-4y-19=0.

4

（2）的中点为。（2,3）,由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为上三=3，

3+42-1

即7x-y-11=0.

2.（2020.赤峰二中高一月考（文））已知AABC的三个顶点坐标分别为4-2,7）,5（2,4）,。（5,—1）.

（1）求边A5上的中线所在直线的一般式方程；

（2）求边A3上的高所在直线的一般式方程.

【答案】（1）x+5y=0（2）x+2y-3=0

【解析】（1）•••A（—2,7）,5（2,4）；A5的中点为0（0,0）,

•••边AB的中线CO的斜率为左=一：，

边A5上的中线CO的一般式方程为x+5y=0

=2,

（2）VA（-2,-4）,B（2,4）kAB=

故边上的高所在直线斜率为k=--,

2

由点斜式得y+l=——（X—5）,

二边A3上的高所在直线的一般式方程为x+2y-3=0

3.（2020•江苏江阴。高一期中）已知直线/过点（2,3）,且在x轴上的截距是在》轴上截距的两倍，则直线

/的方程为一

【答案］3%_2y=0或x+2y—8=0

【解析】若/在坐标轴的截距均为0,即/过原点，满足题意

3

此时/方程为：y=-x,即3x—2y=0

当/在坐标轴截距不为0时，设其在》轴截距为6

则/方程为：三+；=1，代入（2,3）,解得：b=4

2bb''

方程为：x+2y-8=0

综上，直线/方程为：3x—2y=0或1+2丁-8=0

本题正确结果：3%—2y=0或x+2y-8=。

【题组六直线方程综合运用】

1.（2020•四川金牛成都外国语学校高一期末（理））已知直线依-y+2左-1=0恒过定点A,点A也在直

12

线mx+〃y+l=。上，其中根、〃均为正数，则一+一的最小值为（）

mn

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】西—y+2左—1=0变形为左（x+2）=y+l,所以过定点（—2,—1）,代入直线得2机+〃=1

12、/、n4m/-n4n7

一+—=—+—（2加+〃）=4H—+>4+2V4=8,当且仅当一=时等号成立，取得最小值8

mnn）mnmn

2.（2020•景东彝族自治县第一中学高一月考）已知实数。涉满足。+力=1,则直线改+3y+b=0必过定

点，这个定点的坐标为（）

A。■B.（黑）C.D,

【答案】D

【解析】Va-^2b=l,•直线〃x+3y+0=0,（1-2/7）x+3y+/?=0,即。（l-2x）+（x+3y）=0.

1

x=—

l-2x=02直线必过点（L-L.本题选择D选项.

x+3y-0r26

3.（2020•包头市田家炳中学高二期中）直线Ax-y+1=3左，当左变动时，所有直线都通过定点.

【答案】（3,1）

【解析】由Ax—y+l=3左，得左（x—3）=y—l,

x—3=0

对于任意上eR,式子恒成立，则有〈，八,解出％=3,丁=1,故答案为:（3,1）.

。一1=0

4.（2020・吉林长春.高一期中）直线丁=辰-2左+3必过定点，该定点为.

【答案】（2、3）

［解析］,=而_2左+3变形为左（％_2）=y_3,令％_2=0,、_3=0得定点（2,3）

5.（2019•山东省北镇中学高一期末）设直线/的方程为（a+l）x+y+2—a=0（xeR）.

⑴若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数。的取值范围；

(3)若/与％轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交点为从求AAOB(o为坐标原点)面积的最小值.

【答案】(1)3工+丁=0或%+丁+2=0；(2)(-00,—1](3)6.

【解析】(1)若2—a=0,解得a=2,化为3x+y=0.

若a+l=L解得a=0,可得直线/的方程为:x+y+2=0.

综上所述，直线/的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)y=—(a+l)x+a—2,

-(a+l)>0

♦../不经过第二象限,I7，解得aW-L

6i-2<0

.♦•实数。的取值范围是(一8,—11

(3)令％=0,解得了=。—2<0,解得。<2;

/7—2

令y=o,解得x=---->0,解得a>2或a<—1.

a+1

a<2

因止匕<，解得av-l.

a>2或a<-1

11Ia—21t\9

S~--2----——a+1H-------6—3