2024-2025学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值教案 新人教A版必修第一册

2024-2025学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大（小）值教案新人教A版必修第一册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容为高中数学新人教A版必修第一册第三章“函数的概念与性质”中的3.2.1节“单调性与最大（小）值”。教学内容涉及单调性的定义、判定与性质，以及函数最大（小）值的求解方法。具体包括：函数单调性的定义，利用导数判断函数单调性，单调性质的应用，以及利用单调性求解函数的最大（小）值问题。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念、图像及其基本性质，了解导数的基本概念和运算。在此基础上，本节课将引导学生进一步理解函数的单调性，并结合导数知识分析函数的单调性，从而解决实际问题，如求解函数的最大（小）值，为后续深入学习函数的极值、最值问题打下基础。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算四个方面展开。通过对函数单调性与最大（小）值的学习，旨在提升学生的以下能力：

1.数学抽象：使学生能够从具体实例中抽象出函数单调性的概念，理解单调性对函数图像和性质的影响，培养学生从具体到抽象的思维能力。

2.逻辑推理：引导学生运用导数知识进行逻辑推理，分析并证明函数的单调性，培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。

3.数学建模：通过实际问题的引入，让学生运用单调性及最大（小）值的理论，建立数学模型，解决现实问题，提高学生将数学知识应用于实际情境的能力。

4.数学运算：培养学生熟练运用导数公式和性质，进行函数单调性判断及最大（小）值求解的计算能力，提高学生的数学运算素养。三、学习者分析1.学生已经掌握了函数的基本概念、图像、性质，以及导数的基本概念和运算。他们能够利用导数求解函数在某一点的切线斜率，了解导数与函数单调性的关系，这些知识为学习函数单调性与最大（小）值奠定了基础。

2.在学习兴趣方面，学生对数学问题的探究和解决具有一定的热情，对于能够应用于实际生活的数学知识表现出较高的兴趣。就能力而言，学生的逻辑思维能力、问题解决能力和运算能力参差不齐，部分学生对抽象概念的理解和逻辑推理能力较强，而部分学生则在这些方面存在一定困难。在学习风格上，有些学生习惯于通过具体实例理解抽象概念，而有些学生则更倾向于通过公式和定理进行逻辑推导。

3.学生在学习本节课内容时可能遇到的困难和挑战包括：对函数单调性定义的深入理解，尤其是如何从导数的角度理解单调性；在应用单调性解决实际问题时，可能难以建立数学模型；对于求解函数最大（小）值的问题，可能会在运用导数方法和分析过程中遇到运算上的困难。此外，不同学生的学习风格和能力差异可能导致在理解抽象概念和逻辑推理方面存在不同程度的障碍。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：针对函数单调性与最大（小）值的基本概念和性质，采用讲授法进行教学，为学生提供清晰、系统的知识框架。通过生动的语言和实际案例，激发学生对抽象概念的认知兴趣。

2.讨论法：针对函数单调性的判定和应用，组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和解决问题的能力。在讨论过程中，教师适时引导，帮助学生深入理解单调性的内涵及其在实际问题中的应用。

3.实验法：利用计算机软件（如GeoGebra、Mathematica等）进行函数图像的绘制和导数的计算，让学生通过实验观察函数单调性与导数之间的关系，培养学生的观察能力和动手操作能力。

教学手段：

1.多媒体设备：运用多媒体设备展示函数图像、动画和实际案例，使抽象的数学概念形象化、直观化，提高学生的学习兴趣和认知效果。

2.教学软件：利用教学软件（如PPT、SmartNotebook等）制作课件，将教学内容以丰富的形式呈现给学生，提高课堂教学的趣味性和互动性。

3.在线平台：利用学校或班级的在线学习平台，分享教学资源，布置预习和复习任务，使学生在课外时间能够自主学习，提高学习效率。

具体实施：

1.课堂导入：通过多媒体设备展示生活中的实例，如气温变化、股票价格等，引导学生从实际情境中感知函数单调性的概念。

2.知识讲解：运用讲授法，结合多媒体课件，讲解函数单调性的定义、判定方法及其与导数的关系。在此过程中，穿插提问和讨论，引导学生积极参与课堂。

3.案例分析：组织学生进行小组讨论，分析具体函数案例，探讨如何利用单调性求解最大（小）值问题。教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.实践操作：布置上机实验任务，让学生利用教学软件和计算机绘制函数图像，观察函数单调性与导数的关系，并求解最大（小）值问题。

5.总结反馈：通过在线平台分享课堂笔记、习题和拓展资源，布置课后作业，要求学生在规定时间内完成并提交。教师对学生的作业进行批改和反馈，帮助学生巩固所学知识。

6.课后辅导：针对学生在学习过程中遇到的困难和挑战，开展课后辅导，为学生提供个性化指导，提高学习效果。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线学习平台，发布预习资料，包括PPT、教学视频和预习指导文档，明确预习目标和要求，即理解函数单调性的定义及其与导数的关系。

设计预习问题：围绕“函数单调性与导数的关系”，设计具有启发性的问题，如“如何通过导数判断函数的单调性？”引导学生自主思考。

监控预习进度：通过平台的数据分析和学生的反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读资料，初步理解函数单调性的概念。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录下自己的理解和疑问。

提交预习成果：学生将预习笔记、思维导图和问题通过平台提交，以便教师了解学生的预习情况。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

信息技术手段：利用在线平台，实现资源共享和进度监控。

作用与目的：

帮助学生提前接触单调性概念，为课堂深入学习打下基础。

培养学生的自主学习能力和对抽象概念的理解能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过生活案例（如股票价格波动）引入函数单调性的概念，激发学生兴趣。

讲解知识点：详细讲解单调性的定义、判定方法和应用，结合具体函数实例帮助学生理解。

组织课堂活动：设计小组讨论和实验活动，让学生在实践中掌握单调性的判断和应用。

解答疑问：针对学生的疑问，进行个别指导和集体解答。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，思考教师提出的问题，积极参与课堂讨论。

参与课堂活动：在小组讨论和实验中，积极实践，体验单调性在实际问题中的应用。

提问与讨论：对于不理解的问题，勇敢提问，与同学和教师进行讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生深入理解单调性知识。

实践活动法：通过实验和讨论，培养学生的动手能力和问题解决能力。

合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

作用与目的：

加深学生对函数单调性知识点的理解，掌握判断和应用技能。

通过实践活动，培养学生的实际操作能力和团队合作意识。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据课堂内容，布置相关的习题和实际应用题，巩固学习效果。

提供拓展资源：分享与单调性相关的拓展阅读材料和在线资源，供学生深入学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进。

学生活动：

完成作业：认真完成作业，巩固课堂所学知识。

拓展学习：利用拓展资源，进行深入学习，拓宽知识视野。

反思总结：对自己的学习过程和作业完成情况进行反思，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生进行自我评价和反思。

作用与目的：

巩固学生对函数单调性的理解和应用能力。

通过拓展学习，提升学生的学术素养和自主学习能力。

通过反思总结，帮助学生建立自我监控和自我提升的习惯。六、拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-函数单调性在经济学中的应用：探究价格弹性与市场需求之间的关系。

-导数与函数极值、最值的关系：深入理解导数在求解函数极值、最值问题中的重要作用。

-实际案例解析：分析生活中的实际问题，如气温变化、物体运动等，探讨函数单调性与实际情境的联系。

2.课后自主学习和探究：

知识点一：函数单调性的判定与应用

-学生可以通过课后阅读教材和相关资料，进一步巩固函数单调性的判定方法，如导数的符号判断法。

-结合实际案例，学生可以尝试运用所学的单调性知识解决简单的问题，如分析某商品价格调整对市场需求的影响。

知识点二：导数与函数极值、最值的关系

-鼓励学生通过自主学习，深入理解导数在求解函数极值、最值问题中的关键作用。

-学生可以尝试利用导数求解一些具体函数的极值、最值问题，并与图像相结合，直观感受极值、最值点的特点。

知识点三：实际案例的数学建模

-学生可以结合实际案例，尝试建立数学模型，运用所学函数单调性、极值、最值知识解决实际问题。

-通过数学建模，学生可以培养将现实问题转化为数学问题的能力，提高数学应用意识。

知识点四：跨学科研究

-鼓励学生将数学知识与其他学科相结合，如物理学中的运动问题、经济学中的供需分析等，探讨函数单调性的跨学科应用。

-学生可以通过阅读相关书籍、论文，了解函数单调性在其他学科领域的研究进展和应用实例。

具体实施建议：

1.针对每个知识点，教师可以提供相关的阅读材料和案例，引导学生进行课后自主学习。

2.学生在自主学习和探究过程中，可以结合教材、网络资源和实际案例，进行深入研究。

3.教师鼓励学生将所学知识与实际生活、跨学科研究相结合，提高学生的数学应用能力和创新意识。

4.学生在完成拓展学习后，可以通过撰写学习心得、研究报告等形式，分享自己的学习成果。

5.教师定期组织学生进行交流、讨论，促进知识的共享和互补，提高学生的学术素养。七、教学反思在讲授“函数的单调性与最大（小）值”这一部分内容时，我深刻感受到学生对数学概念理解的挑战，同时也发现了学生在实际应用中所展现的潜力。函数的单调性是一个抽象的概念，学生需要通过具体的实例和图像来逐渐形成对这一概念的认识。在课堂教学中，我通过引入生活案例和运用多媒体展示函数图像，帮助学生直观地理解单调性的含义。同时，通过设计小组讨论和实验活动，让学生在实践中掌握单调性的判断和应用，这有助于学生对抽象概念的理解和内化。

然而，我也注意到学生在运用导数判断函数单调性时，对于导数的符号变化与函数单调性之间的逻辑关系还不够清晰。为了帮助学生更好地理解这一关系，我在课后提供了相关的拓展阅读材料，并鼓励学生通过自主学习，深入理解导数在求解函数极值、最值问题中的关键作用。同时，我也意识到在教学中需要更加注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，因此在课堂教学中，我更加注重启发式教学，引导学生主动思考、探索和发现，培养学生的数学思维和创新能力。

在课后拓展应用环节，我布置了与课堂内容相关的习题和实际应用题，鼓励学生将所学知识应用于解决实际问题。同时，我也提供了与单调性相关的拓展阅读材料和在线资源，供学生深入学习。在批改作业和反馈过程中，我发现部分学生在解决实际问题时存在一定的困难，特别是在建立数学模型和运用所学知识进行分析方面。为了帮助学生克服这些困难，我在课后辅导中进行了个别指导和集体解答，鼓励学生进行自主学习和探究，提高他们的数学应用能力。八、作业布置与反馈1.作业布置：

-基础题：计算给定函数的导数，并判断其单调性。

-提高题：分析实际情境中的函数单调性，如气温变化、股票价格波动等，并建立数学模型求解最大（小）值问题。

-拓展题：研究函数单调性与极值、最值之间的关系，尝试证明相关定理或推导公式。

2.作业反馈：

-及时批改作业，针对学生的完成情况进行评价，指出存在的问题，如计算错误、逻辑不严密等。

-给出改进建议，指导学生如何进行修改和提高，如加强基础运算、优化解题思路等。

-对于优秀作业，给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

-组织作业讲评课，针对共性问题进行集中讲解和讨论，帮助学生深化理解。

3.作业评价：

-评价学生的作业完成情况，关注学生的知识掌握程度和运用能力。

-评价学生的思维过程和问题解决策略，关注学生的思维品质和创新意识。

-评价学生的合作精神和团队意识，关注学生的综合素质和人际交往能力。

4.作业改进：

-针对学生的作业反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

-针对学生的学习需求，提供个性化的辅导和指导，以促进学生的个性化发展。

-鼓励学生进行自我评价和反思，培养学生的自我监控和自我提升能力。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=3x^2-6x+2的单调区间。

解答：首先求导数f'(x)=6x-6，令f'(x)=0，解得x=1。当x<1时，f'(x)<0，所以f(x)在(-∞,1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增。所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1)，单调递增区间为(1,+∞)。

例题2：求函数g(x)=x^3-3x^2-144x+432的极大值和极小值。

解答：首先求导数g'(x)=3x^2-6x-144，令g'(x)=0，解得x1=-12,x2=8。当x<-12时，g'(x)>0，所以g(x)单调递增；当-12<x<8时，g'(x)<0，所以g(x)单调递减；当x>8时，g'(x)>0，所以g(x)单调递增。所以g(x)在x=-12处取得极大值g(-12)=3312，在x=8处取得极小值g(8)=-1152。

例题3：已知函数h(x)=ax^3-3x^2+12x-8(a>0)在x=2处取得极大值，求a的值。

解答：首先求导数h'(x)=3ax^2-6x+12，令h'(x)=0，解得x=2或x=-2。因为a>0，所以当x=-2时，h'(x)=12a>0，所以h(x)在x=-2处单调递增；当x=2时，h'(x)=-12a<0，所以h(x)在x=2处单调递减。因为h(x)在x=2处取得极大值，所以h'(2)=0，解得a=1。

例题4：已知函数f(x)=x^3-3x^2-144x+432，求f(x)的单调递增区间。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-6x-144，令f'(x)=0，解得x1=-12,x2=8。当x<-12或x>8时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,-12)和(8,+∞)上单调递增。因为当x=-12时，f'(x)=0，所以f(x)在x=-12处取得极大值，故f(x)的单调递增区间为(-∞,-12)和(8,+∞)。

例题5：已知函数f(x)=ax^3-3x