函数的应用必考题型分类训练-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）-高考数学备考复习重点

专题05函数的应用必考题型分类训练

O1二年高考真题练】

一.选择题（共3小题）

1.（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用

五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L

=5+/gV.己知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为

（）（1%3"L259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【分析】把乙=4.9代入L=5+/gV中，直接求解即可.

【解答】解：在L=5+/gV中，£=4.9,所以4.9=5+-%即”=-0.1,

解得V=1001=---=——--=——-——七0.8,

1O0-11/1-259

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.

故选：C.

【点评】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

2.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水

平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：加〃）.24〃降雨量的等级划分如下：

等级24〃降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0〜99.9

..........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200/wm高为300mm的圆锥形雨量器.若

一次降雨过程中，该雨量器收集的24/7的雨水高度是150叩”（如图所示），则这24/?降

雨量的等级是（）

【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径，求出圆

锥的体积，求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案.

【解答】解：圆锥的体积为vqsh[r2jTh，

因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，

所以圆锥内积水部分的半径为4•x---x200=50TOn,

将r=50,/»=150代入公式可得V=125000H(皿/),

图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，

平底上积水的体积为V=Sh,且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，

所以S=7T・@X200)2=10000兀(加2),

则平地上积水的厚度h=125000兀(mm),

10000K0

因为10<12.5<25,

由题意可知，这一天的雨水属于中雨.

故选：B.

【点评】本题考查了空间几何体在实际生活中的应用，解题的关键是掌握锥体和柱体体积公

式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

3.(2021•天津)设芯R,函数/(x)'，若函数/(x)在

x-2(a+l)x+a+5

区间(0,+8)内恰有6个零点，则,Z的取值范围是()

旦](红

A.(2,U(5,11]B.(工,2]U11]

424424

1]

C.(2,U[,3)D.(工,2)U[H,3)

4444

【分析】分x<“，X》”两种情况讨论，当XV”时，且[时，于(X)有4个零点,

9<x式红，F(x)有5个零点，旦〈X(卫，/(X)有6个零点，当x>“时，gp2<a

4飞44个4

WS,7(x)有两个零点，当-2a+5<0时，即a>互，/'(x)有1个零点，当a=2时，/Xx)

22

有一个零点，综合两种情况，即可求解.

【解答】解：•.了(x)在区间(0,+8)内恰有6个零点

又•••二次函数最多有两个零点，

・••当xVa时，f(x)=0至少有四个根，

V/(x)=cos(2wc-2na)=COS[2TT(jr-a)],

...令f(x)=0,即2兀(x-a)=^-+k兀kez,

.k1

,,x=yq+a，

X'/xe(0,+8),

即-2a-^<k<

a'

①当xVa时，-5W-4,f(x)有4个零点，即工(行<9,

24

-6W_2aq<-5,f(X)有5个零点，即旦《《马

-7W_2a-/<-6,…)有6个零点，即¥《<苧

②当时，f(x)=7-2(q+1)x+a2+5,

/.△=b2-4ac=4(〃+l)2-4(6?2+5)=8〃-16=0,解得〃=2,

当a<2时，△<(),f(x)无零点，

当a=2时，△=0,f(x)有1个零点，

当a>2时，f(a)-2aCa+l)+J+5=-2a+5,

'：f(x)的对称轴x=a+l,即f(a)在对称轴的左边,

...当-2a+520时，即2<aW8,f(x)有两个零点，

2

当-2a+5<0时，即a>^-,f(x)有1个零点，

2

综合①②可得，若函数/(X)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则需满足:

4%44%49<a4也

:或.H或<44,

_/

2<a4.a〉1^a=2a<2

解得ae(2,9u(5,111.

424

故选：A.

【点评】本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强,

属于难题.

二.填空题（共3小题）

-X2+2,X41,

4.（2022♦浙江）己知函数八x）=11则/V（上））=_迢_；若当

x+--1,x>1,228

x

切时，lW/（x）W3,则b-a的最大值是3+JQ.

【分析】直接由分段函数解析式求/（/（1））;画出函数的图象，数形结合得答案.

2

-X2+2,x41

【解答】解：•••函数/（x）=|1，.寸（工）=-2+2=工，

xJ-1,x>1244

：./-（/（A））=/（工）=Z+A-

244728

作出函数/（X）的图象如图：

由图可知，若当切时，W3,则人-”的最大值是2依质-（-1）=3+\忌

故答案为：2L3+V3.

28

【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题.

a2x-1x<0

5.（2022•上海）若函数f（x）=（x+ax>0,为奇函数，求参数〃的值为1.

0x=0

【分析】由题意，利用奇函数的定义可得/（-X）=-/（X），故有/（-1）=-f（1），

由此求得a的值.

a2x-1x<0

【解答】解：：函数/（x）=（x+ax>0-为奇函数，=-/（%），

0x=0

'.f(-1)=-/(1),-a2-1=-(a+1),BPa(a-1)=0,求得a=0或a=1.

'-1,x<0

当a=0时，f(x)=<0,x=0,不是奇函数，故aWO：

x,x>0

'x-1,x<0

当a=l时，/(x)=，0,x=0,是奇函数，故满足条件，

x+1,x>0

综上，a—I,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.

6.(2022•天津)设a6R,对任意实数x,记/(x)—min[\x\-2,x2-ax+3a-5}.若/(x)

至少有3个零点，则实数a的取值范围为[10,+8).

【分析】设g(x)-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，

可得出A2O,求出a的取值范围，然后对实数”的取值范围进行分类讨论，根据题意可得

出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围.

【解答】解：设g(x)=^-ax+3a-5,h(x)=W-2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函数/(尤)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，

贝必=/-4(3a-5)

解得0・2或4》10.

①当a=2时，g(x)—x2-2x+l,作出函数g(x)、h(x)的图象如图所示:

此时函数/(x)只有两个零点，不满足题意；

②当aV2时，设函数g(x)的两个零点分别为xi、X2(xi<%2),

要使得函数/(%)至少有3个零点，则X2W-2,

，包<-2

所以，{2"，解得460;

g(-2)=5a-l>0

③当a=10时，g(x)=7-10x+25,作出函数g(x)、h(x)的图象如图所示:

由图可知，函数/(x)的零点个数为3,满足题意；

④当〃>10时;设函数g(X)的两个零点分别为A3、X4(X3<X4),

要使得函数/(X)至少有3个零点，则X3》2,

'且>2

可得｛2，解得。>4,此时a>10.

g(2)=a-l>0

综上所述，实数。的取值范围是［10,+8).

故答案为：［10,+°°).

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题.

三.解答题(共3小题)

7.(2021•上海)已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05

亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%.

(1)求今年起的前20个季度的总营业额；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

【分析】(1)由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项小=1.1,公差4

=0.05,再利用等差数列的前n项和公式求解即可.

(2)解法一：假设今年第一季度往后的第〃(〃6N*)季度的利润首次超过该季度营业额的

18%,则0.16X(1+4%)n>(1.1+0.05M)78%,令f(〃)=0.16X(1+4%)n-(1.1+0.05〃)

•18%,(”€N*),递推作差可得当1W”W9时，f(〃)递减；当”210时，/(〃)递增，

注意到/(I)<0,所以若/(〃)>0,则只需考虑"210的情况即可，再验证出/(24)<

0,/(25)>0,即可得到利润首次超过该季度营业额的18%的时间.

解法二：设今年第一季度往后的第〃(〃WN*)季度的利润与该季度营业额的比为劭，则土生

an

=1・04(1.05+0.05n)=］+()04(1-/6_),所以数列｛〃“｝满足〃1>白2>〃3>〃4=〃5V

1.1+0.05n22+n

a6Va7V...，再由425，〃26的值即可判断出结果.

【解答】解：(1)由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，

则首项m=l.l,公差d=0.05,

.•.520=20(71+20120-1)(/=20X1.1+10X19X0.05=31.5,

2

即营业额前20季度的和为31.5亿元.

(2)解法一：假设今年第一季度往后的第n季度的利润首次超过该季度营业额的

18%,

则0.16X(1+4%)n>(1.1+0.05/1)78%,

令f(〃)=0.16X(1+4%)n-(1.1+0.05〃)78%,(nGN*),

即要解了(〃)>0,

则当“22时，/(〃)-/<»-1)=0.0064•(1+4%)-0.009,

令/(〃)-/(n-1)>0,解得：“210,

即当1W〃W9时，f(M)递减：当〃210时，/(〃)递增，

由于/(I)<0,因此/(〃)>0的解只能在〃》10时取得，

经检验,f(24)<0,f(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%.

解法二：设今年第一季度往后的第〃(neN*)季度的利润与该季度营业额的比为如，

则211+1=L。411.U5+H.05n.l=।g4_1.04_[+0.04(1-26),

an1.1+0.05n22+n22+n

数列｛“”｝满足a\>a2>a3>a4=a5<a6<ai<...，

注意到，425=0.178…，426=0.181…，

.•.今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%.

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的

计算能力，是中档题.

8.(2022•上海)已知函数/(X)的定义域为R,现有两种对/(x)变换的操作：牛变换：

/(x)-fCx-t)；3变换：\f(x+t)-/(x)I，其中f为大于。的常数.

(1)设/(、)=2*,f=l,g(x)为-x)做甲变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设f(x)=7,h(x)为/(x)做3变换后的结果，解不等式：f(x)(x)；

(3)设f(x)在(-8,0)上单调递增，f(x)先做<p变换后得到u(x),u(x)再做3

变换后得到h\(x)；/(x)先做3变换后得到v(x),v(x)再做<p变换后得到hi(x).若

加(x)=h2(x)恒成立，证明：函数/(x)在R上单调递增.

【分析】(1)推导出g(x)=/(x)-/(x-1)—2X-2V1-2X'—2,由此能求出x.

(2)推导出/引(x+f)2-/=|2比+尸|,当xW-主时，F(x)(x)恒成立；当X>-主

22

时，2fx+Pw/,由此能求出/(x)(x)的解集.

(3)先求出u(x)=f(x)-f(x-z),从而h\(x)=\f(x+r)-f(x)-[f(x)-f(x

-r)]b先求出v(x)=\f(x+f)-f(x)\,从而hi(x)=|/(x+f)-f(x)|-\f(x)-/

(x-/)I，由h\(x)=hi(x),得/(x+f)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\=\f(x+r)-f

(x)|-[f(x)-fCx-t)I，再由/(x)在(-8,o)上单调递增，能证明函数/(x)在

R上单调递增.

【解答】解：(1)v/(x)=2A,r=l,g(x)为/(x)做<p变换后的结果，g(x)=2,

・・・gG)=/(x)-f(x-l)=2'-2厂1=2=1=2,

解得x=2.

(2)V/(x)=/,h(x)为/(x)做3变换后的结果，/(x)2/z(x),

工/冽(x+r)2-/|=|2及+尸|,

当xW-主时，f(x)2/z(x)恒成立；

2

当x>-主时，2a+於</,

2

解得(1+72)t，或xW(1-V2)t，

综上，不等式：/(x)27?(x)的解集为(-8,(1-&)r]U[(1+V2)6+8).

(3)证明：f(X)先做(p变换后得到〃(X),U(X)再做3变换后得到加(X),

.'.u(x)—f(x)-/(x-f),hi(x)—\f(x+r)-f(x)-\f(x)-f(x-t)]|,

f(x)先做3变换后得到V(x),v(x)再做<p变换后得到hi(x),

v(x)=\f(x+力-f(x)I，hi(x)=\f(x+r)-f(x)I-\f(x)-f(x-z)|,

V/zi(x)=h2(x),/(x)在(-8,o)上单调递增，

：.\fCx+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)H=|/(x+Z)-f(x)I-1/(x)-f(x-t)I，

f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)

f(x+t)-f(x)>0对f>0恒成立，

.f(x)>f(x-t)

...函数/(x)在R上单调递增.

【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性

质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

9.(2022•乙卷)已知函数/(x)=ln(1+x)+axe'x.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.

【分析】(1)将。=1代入，对函数/(x)求导，求出，(0)及/(0),由点斜式得答案；

(2)对函数/(无)求导，分〃，0及〃V0讨论，当时容易判断不合题意，当〃V0时，

^g(x)=R-(---2)>利用导数判断g(X)的性质，进而判断得到函数f(X)的单调性

ex

并结合零点存在性定理即可得解.

【解答】解：(1)当a=l时，/(x)=/〃(1+x)+此汽则f，(x)=^+e-x_xe-x,

1+x

：.f(0)=1+1=2,

又f(0)=0,

.•.所求切线方程为y=2x；

(2)钎(x”JSQ，

x

1+xe

若a20,当-l<x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增，则f(x)<f(0)=0,不合题

息；

故aVO，f，(x)亘<1-/))，令g(x)=]+且(1-』)一,注意到

1+xexex

_/八_i//\_a(X-1+V2)(X-1-V2)

g⑴-1，g(0)T+a，g(x)=-------------------------------------'

e

令g’G)VO,解得或又>1侦,令/(X)>o,m1-V2<x<1W2,

・・・g(x)在(-1,1-V2),(1W2,Q)单调递减，在(1-&,1/)单调递增，

且x>l时，g(x)>0,

①若g(0)=1+〃20,当x>0时，g(x)>0,f(x)单调递增，不合题意；

②若g(0)=l+〃V0,g(0)g(1)<0,则存在刈€(0,1),使得g(xo)=0,

且当届(0,xo)时，g(无)Vg(xo)=0,f(x)单调递减，则/(xo)<f(0)=0,

当x>l时，/(x)>ln(1+x)+tz>0,fCe'a-1)>0,则由零点存在性定理可知/(x)在

(xo,ea-1)上存在一个根，

当时，g(X)<0,/(X)单调递减，f(1-V^)〉f(0)=0,

当时，f(x)<ln(1+x)-ae<0,f(eae-1)<0,则由零点存在性定理

可知/(X)在(6短-1,1-加)上存在一个根.

综上，实数a的取值范围为(-8,-1).

【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类

讨论思想及运算求解能力，属于难题.

◎【二年自主招生练】

一.选择题(共5小题)

1.(2022•上海自主招生)/(x)=|x+l|+|x|-|x-2|,/(/(x))+1=0根的个数为()

A.1B.2C.3D.0

【分析】根据绝对值的意义，求出/G)的表达式，利用换元法转化为两个函数交点个数问

题进行求解即可.

【解答】解：当xW-1时，f(x)=-(x+1)-x+(x-2)=-x-3,

当-1<x<0时，f(x)=x+1-x+(x-2)=x-1,

当0<xW2时，f(x)=x+l+x+(x-2)=3x-l,

当x>2时，f(x)=x+l+x-(x-2)=x+3,

作出了(x)的图象如图：

设t—f(x),

由/(f)+1=0,得/'(f)=-1,

得t—0或r=-2,

当f=0时，f(x)=0,有两个根，

当f=-2时，/(x)=-2,有1个根，

综上『"(X))+1=0的根的个数为3个，

故选：C.

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据绝对值的意义求出函数/(x)的表达式，利

用换元法转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键，是中档题.

2.(2021•北京自主招生)恰有一个实数x使得4-依-1=0成立，则实数。的取值范围

为()

B.(-co,3%)c.D.(-8,警)

A.(_8,版)

2

【分析】首先分析x=0不是方程的根，故将其转化为a=x21，继而转化为与

X

f(x)=x2」的图像仅有一个交点，对函数/(x)求导研究其单调性即可.

X

【解答】解：观察可知x=0不是方程的根，故对原方程转化为2=乂2」，

X

故转化为y=a与f(x)仅有一个交点，

X

构造f(xAx?」，f'(x)=2x+-y)令，(X)>°，解得x>J；—

xX2-V2

故函数/(X)在(-8,单调递减，在,0),(0,+8)单调递增,

-V2

艮F车

-V22

当Rf-8时，f(x)--+OO,xf+8时，f(x)+8,

月.x-*0时，f(x)f+8,xf()+时，f(%)f-0°,

故要使得y=〃与/(x)仅有一个交点，

即a的取值范围是(-8,卓)

故选:B.

【点评】本题主要考查利用导函数研究函数单调性及极值，属于中档题.

3.(2022•上海自主招生)使3上"+(x-3)sin(工-3)+kcos(x-3)=0有唯一的解的人

有()

A.不存在B.1个C.2个D.无穷多个

【分析】令3-x=r,则3"+tsinf+kcosr=0,构造函数/(t)=3川+fsim+fax>sr,且reR,得出

f(t)为偶函数，根据偶函数的对称性，假设有f(fi)=0,必有/(-“)=0,与题设矛盾,

则只有f(0)=0,即可得出答案.

【解答】解：令3-x=f,则3"+fsin/+&cos/=0,设/(f)=3I,I+Zsin/+Z:cosr,且/eR,

则/'(-f)=3「"+(-/)sin(-t)+kcos(-/)=3w+/sin/+^cosr=/(t),

:.f(t)为偶函数，则f函数G)的图象关于)，轴对称，

由偶函数的对称性，若/(f)=0的零点不为f=0,则有/'(力)—0,必有/'(-n)=0,不

满足了。)=0的唯一性，

•••只能是/(0)=0,即3l3+0+kcos0=0,解得％=7,故%只有唯——个，

故选：B.

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，根据函数的性质，考查转化思想，函数思想

的应用，属于中档题.

4.(2022•山西自主招生)己知定义在R上的函数/(%)满足如下条件：①函数/(x)的

图象关于y轴对称；②对于任意xeR,f(x)=f(2-x)；③当xe［0,1］时、f(x)

④g(x)=/(4x).若过点(-1,0)的直线/与函数g(x)的图象在JtG［0,2］上恰有8

个交点，则直线/斜率4的取值范围是()

A.(0,*)B,(0,看)C.(0,1)D.(0,苧)

【分析】结合①②可知/(X)是周期为2的函数，再结合④可知g(x)是周期为工的函数，

2

结合③作出g(x)在［0,2］上的图像，然后利用数形结合即可求解.

【解答】解：因为函数/(X)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，即/(-x)=f

(x),

又因为对于任意x€R,f(x)=/(2-x),所以f(x)=f(2-x)=/(-x),

从而/(x)=f(x+2),即/(x)是周期为2的函数，

因为g(x)=/(4x),则g(x)图像是f(x)的图像的横坐标缩短为原来的工得到，

4

故g(%)也是偶函数，且周期为2X2=JL,

42

结合当x(0,1］时，f(x)=|>x，可作出g(x)在［0,2］的图像以及直线/的图像，如下图

过点(-1,0)的直线/与函数g(x)的图象在［0,2］上恰有8个交点,

则只需0<%<«AM=K-,

11

即直线/斜率k的取值范围是（0,且）.

11

故选：A.

【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期性及图象的伸缩变化，也考查了数形结合思想，关

键点是作出图象，属于中档题.

5.（2021•北京自主招生）已知国为高斯函数，市+即+/］=x解的组数为（）

A.30B.40C.50D.60

【分析】由题意可知［三］，［二］,［三］GZ,所以［•1］+［•1］+［三］=*=三+三+二-二_,即有

23523523530

｛三｝+｛三｝+｛三｝=工，分｛与、｛三｝、｛与的可能取值求解即可.

23530235

【解答】解：因为守守鼾Z,则疣Z.

因此［三］+［三］+［三］=x=_l+2_+三-

23523530

所以{三}+{_1}+{3}=JL,

23530

因为｛三｝的可能取值为0和工;｛3｝的可能取值为o,工，2；｛马的可能取值为o,1,2,

22333555

—3,，-4.，

55

因此旦的可能取值有2X3X5=30种要能性，

30

考虑30（2+电+£）=15a+10Z?+6c,其中a,b,cGZ.

235

因为2,3,5两两互质，容易得到15a+106+6c三15a+106+6c三灰，〃od）3,15a+10Z?+6c

三c（w«M5）.

因此方程解的组数为30.

故选：A.

【点评】本题考查函数与方程思想，也考查了推理能力，属于难题.

二.填空题（共8小题）

6.（2022•北京自主招生）函数y=7-x和y=coslOKx在第1、4象限内有17个交点.

【分析】求出余弦函数的周期与最小值，二次函数的零点与最小值，然后判断函数y=7-x

和y=cosl0mr在第1、4象限内的交点个数.

【解答】解：函数y=7-x的零点为x=0,x=l,对称轴为x=L,最小值为二；

24

y=coslOTtr的周期为工，最小值为7,最大值为1,

5

［0,1］内，函数)，=COS10TLX有5个周期，图象与y=/-X的图象，有10个交点.

x>l时，x=.l立⑸时y=l,两个函数没有交点，在(1,上内，两个函

222

数的图象有7个交点.

所以函数y=7-x和y=cosl0nx在第1、4象限内有17个交点.

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，是中档题.

7.(2022•上海自主招生)sin(2022TCX)=/实根个数为4044.

【分析】设f(x)=sin(2022iu),g(x)=/,求出f(x)的周期，由f(x)的最大值为

1,A-G［-1,1］,时，OWg(x)W1,利用/(x)的周期，得出两者图象交点的个数，从而

得出答案.

【解答】解：设/(x)=sin(2022TLT),g(x)=/,

：.g(-1)=g(1)=1,x>l或x<-1时，g(x)>1,f(x)Wl,两者无交点，

：.f(x)=sin(2022TCX)的周期为_=_J_,在［0,1］上有1011个周期，在［-

2022H1011

1,0)上有1011个周期，

/(-1)=sin(-2022n)=0,/(I)=sin(2022n)=0,x=-1在/(x)增区间上，x=

1在/(x)增区间上，

因此在［-1,1］上的每个区间［-1+工一，-1+±L)(&€N*,AW2021)上，

10111011

f(x)与g(x)的图象都是两个交点，共4044个交点，即原方程有4044个解.

故答案为：4044.

【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题.

8.(2022•山西自主招生)为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区

进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，。为圆心，半径为一个单位，

现规划在△0C£>区域种花，在△08。区域养殖观赏鱼，若NA0C=NC0。，且使四边形

OCOB面积最大，则cos乙40C=「I.

-8一

A

【分析】设N40C=NC0D=a（0<a<2L）,表示出四边形0CDB面积S,然后利用导

2

数研究函数的单调性，确定函数取最值的条件，即可得到答案.

【解答】解：设/AOC=NCOO=a（0<a<—）,

2

因为OC=OB=OO=1,

所以四边形OCDB的面积S=-1-xIXIXsinCl+^-XIXIXsin（2兀-2a）=

（sin2a+sina>

1

S'=~2'（2cos2a+cosa）=5（4cosa+cosa-1>

令S'=o,解得cosa=漏-1或=是二1,

BijnV33-1

即a=arccos----------，

o

又cosa在（0,-ZL）上单调递减，

2

所以当aC（0,arcc。/^二即cosaw（立常二1,1）时，S单调递减，

当a€（arccos叵二上，―）,即cosae（0,翌21）时，S单调递增，

828

所以当cos/AOC=恁-l时,四边形OCDB的面积最大.

8

故答案为：运」.

8

【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析

清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数

计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运

算能力，属于中档题.

9.（2022•北京自主招生）已知Y1-X2=4X3-3X，则该方程所有实根个数与所有实根乘积

的比值为12.

【分析】采用三角换元，々x=cos。(0G[O,n]),代入题干中的式子解得心可得x,写出

比值，再由三角函数的恒等变换求解.

【解答】解：令x=cos。(ee[O,TT1),

则原方程.化为J]_cos：8=4cos0~3cos09

即sin0=2cos30+2cos30-cos0-2cos0=2cos30-cos0-2(1-cos20)cos0

=cos0(2COS20-1)-2sin20cos0=cos0cos20-sin0sin20=cos(26+0)=cos30,

TT

即sine=cos3*得cos(""^""一®)=cos30，

,­■ee[O,TT],­•--^-ee[f，-y]，30€[0,3兀],

30:^-8或38=^-0+2兀或38=8-5+2兀或38=-(5-8)■

解得gJL或e=且L或8=空或0=工(舍).

8844

3兀

・•・方程4l-x2二4x3-3x的全部解为X=CQs-^■或co』/或

可得所求值为一-一台2一万厂=一-——3

兀兀、,兀、

COS-^-COSg-COS-COS-^-COSvT%)cos(兀丁)

3612

=12.

兀兀冗nn兀

cos-^-sirr^-cos^-sirr^-cos^-sirry

故答案为：12.

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查换元法的应用，训练了三角函数的化简求

值，是中档题.

10.(2022•山西自主招生)已知4#0,*>0,若f(x)=b|ox+6|-|a2x+庐1-2必有两零点

XI,X2,且Xl+R2V0,则包的取值范围是_(0,—)_.

b3

,2

【分析】由/'(x)=0,得2x+ll=l2-x+ll+2,V0,作出y=|比+1|,y=|4+l|+2的图象,

ab2

数形结合得到无解；r>l,不可能有2个交点；-々<一上，依+1|=|4+1|+2,

t2t

由此能求出结果.

【解答】解：由/'(x)=0,得b\ax+b\-\(^x+b1\-2/=0,

(1)(2)

如图（1）,f〈0,大致作出y=n+1|,y=|Px+l|+2的图象，

此时若有两个交点，则必有尸<f,解得f>l,与f<0矛盾，舍;

(2);>0,

①?>6--L>-1,不可能有2个交点；

t2t

②f=l,t2=t,—_—>不可能有两个交点；

如图(2)-_1_<」，|/A-+l|=k2x+l|+2,

t2t

当|/x+l|=|Px+l|+2,

当xO」■时，y=|/x+l|=-tx-1,

t

当工=_」-时，y=—.i,

t2t

a：；-l<2时，^-<t<P

此时若有两个交点，且X1+X2V0,

(o

-tXi-l=txi+1+2

则11，解得＜

9

+=++

tx2ltX212

Vxi+JC2<0,

3

h：」__]二2时，同处也不可能.

c：工_]>2时，0<7<』，

t3

"tx<+l=txi+l+2

此时若有2个交点，则I

-tX2-l=_t乂2-]+2

Rl+JC2=0,

综上，o＜旦〈2.

b3

故答案为：（0,1）.

3

【点评】本题考查两数比值的取值范围的求法，考查函数性质、函数图象等基础知识，考查

数形结合思想、运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题.

11.（2022•南京自主招生）方程XI+X2+X3+3X4+3X5+5X6=7的非负整数解个数为81.

【分析】讨论六个字母的取值，通过分类讨论，分别求解即可.

【解答】解：方程XI+%2+X3+3X4+3X5+5X6=7的非负整数解，

令a=xi+%2+与，b—x4+x5＞c=x6,可知c6{0,1},b€{0,1,2},a€{0,1,2,3,4,5,

6,7},

又a+3h+5c=l,

a—1,xi,xi,A3可取{3,3,1；4,2,1；7,0,0；2,5,0；3,4,0；1,6,0；1,5,

1；2,3,2],非负整数解个数为3+6+3+6+6+6+3+3=36组；

a=6,非负整数解个数为0组；

。=5,非负整数解个数为0组；

a=4,xi、％2、X3,取值为：0,0,4；0,1,3；0,2,2；1,1,2四种类型，X6为0,X4,

X5为0,1,

非负整数解个数为2X（3+6+3+3）=30组；

〃=3,非负整数解个数为0组；

a—2,xi、％2、X3,取值为：0,0,2；0,1,1；X6为1,%4.X5为0,0,

非负整数解个数为3+3=6组；

a=\,xi、我、X3,取值为：0,0,1；0,1,0；1,0,0；X6为0,X4,X5为0,2；2,0,

1,1;

非负整数解个数为3X3=9组；

a=0,非负整数解个数为0组；

共有：36+30+6+9=81.

另解：XI+%2+X3+3X4+3X5+5X6=7,

即为(xi+1)+(X2+1)+(X3+1)+3(X4+1)+3(%5+1)+5(X6+1)=21,

设yi=xi+l,y2—x2+hy3=x3+l,>4=x4+l,”=X5+1,y6=x6+l,

yi+)2+)3=zi,y4+”=z2,y6=z3,

可得ZI+3Z2+5Z3=21,其中zi23,Z222,Z32l,

由列举法可得(zi,z2,z3)可为(4,4,1)、(5,2,2)、(7,3,1)、(10,2,1),

所以原方程的非负整数解的个数为C2cl+C2cl+c2cl+C2cl=9+6+30+36=81.

33416291

故答案为：81.

【点评】本题考查不定方程解的公式问题，排列组合的实际应用，是难题.

12.(2021•北京自主招生)方程94/=心的正整数解(y,力d)的组数为无穷.

【分析】考虑到2"+2"=2"+i,«=0(mod3),n=0(modA),n=-1(mod5),取〃

=60k+24即可.

【解答】解:因为2"+2"=2"i,取〃=604+24,依N,

此时(220H8)3+(215H6)4=(2⑵+5)5,蛇N,

故方程=的正整数解(y,f,d)的组数为无穷，

故答案为：无穷.

【点评】本题考查方程根的求解，涉及公式2"+2"=2"+1的应用，属于难题.

13.(2021•北京自主招生)若XI,X2>->X7为非负整数,则方程X1+JC2+…+X7=XWX7的解

有85组.

【分析】易知X1=X2=”=X7=O是满足条件的一组解，故考虑非零情形，设0VXIWX2W…

WX7,得到X1=X2=X3=X4=1,进而将命题转化为X5X6X7=4+X5+X6+X7,得到X5W2,

分类讨论即可得到答案.

【解答】解：显然Xl=A2=-=；t7=0是满足条件的一组解，且只要XI,…，力中有0,

则剩余的必须全为0,

下面只考虑用，X2,X7为非零的情形：

不妨设OVxi则X1X2…X7〈7X