高等数学下练习册

高等数学（下）练习册

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西南科技大学城市学院数学教研室编

第七、八章向量、空间解析几何、多元微分法

一、填空题

1、从点A(2,—1,7)沿向量1=8；+9]-12%的方向取一段长|喜|=34,则点3().

2、己知两个力耳=(1,2,3),云=(—2,3,T),则合力R的大小|了|=,合力了的

方向为.

3、设向量N=21+7,万=忘+9，其中向=1,而=2,且若X_L瓦则Z=.

4、已知O4=i+3Z,OB=j+3k,则AA3C得面积是.

5、已知平面n过点(3,1-2)且过直线一=上于=1，则平面7i的方程为

二、选择题

1、方程/+y2+Z?—2x+4y+2z=0表示的曲面是()

A、球面8、椭球面C、柱面。、锥面

2、若直线/：£±。=上±±=三，平面万：4x-2y-2z=3,贝”与"()

-2-73

A、平行3、垂直C、相交而不垂直D、/在平面乃内

1+3y+2z+l=0

3、设直线/为《平面乃为4x-2y+z—2=0,则()

2x-y-10z+3=0

A、/〃乃B、Iu冗C、IL7TD、/n不但/与万不垂直

4、己知向量1=(2,—1,1),求3,E所确定的平面方程为()

A>2x—y+z=0B、x+3y-z=0

C、2x-3y-6z-l=0Da,E不共面无法确定平面

5、球面V+y2+z2=9与平面x+z=l的交线在尤oy面上的投影方程是()

A、2x?+y~—2x—8=0B、y2+2z2-2z-8=0

2x~+y~—2x—8=0

C、x2+y2=9D、4

z=0

三、设a=(l,l,4),b=(1-2,2),求b在a方向上的投影向量.

四、当％为何值时，平面x+Zy-2z-9=0

(1)过点(5,T,-6),(2)与平面2x+4y+3z—3=0垂直.

五、求过点（1,1,1）且与平面5：x-y+z=7和乃2：3x+2y—12z+5=0垂直的平面方程.

六、求直线上x—^2=^v—^3=1z—4与平面2x+y+z=6的交点坐标与夹角.

112

七、求下列各极限

x

1、lim「MS)2、lim(l+sin(xy)]3、lim/孙——

■：4oXm(X'iO)而

1

l-cos(x2+y2),..x+y

4、lim(l+盯)”5、hm------——6、lim----?

XTO+sm(x-+y-)a”x+y

)TO+y—>-H»J

八、求下列偏导数

U2+V2

1、z=]ny]x2+y2,求4*广2、s=，求慧

uv

2

x~

3、“=（1+盯））求复等.4、z=tan—，求、

y

5,z=(x2+y2)arctan—,求等.6、z=J"”,求警.

九、求下列高阶偏导数

1、z=sin2（«x+/?y）,求富.2、z=W，求繇.

4222

3、z=X+y-4xy,求登,等,).

4、〃=》，求需，息,露.

十、设函数"二zarctan土，求证：柒+必+跨=0

ydxdydz~

十一、求下列函数的全微分

1、u=ln(x2+y2+z2),求d".2、z=cotQj),求dz.

3、设Z=A)巾：Y,y2),可微，求dz.

X上,

4、z=.r,求dz.5、z=xy+—,求dz.

4^7y

vHzHz

十二、设之二孙+0/〃）ii--,/(M)可微，求证：x------Fy-=z+xy.

xdxdy

z-x2+y2

十三、设V,求—d上y.

x2+2y2+3z2=20dx

十四、已知e*—z+孙=3,求在点（2,1,0）的全微分.

第八章微分法的应用

一、填空题

1、曲线x=—L,丁=?$=产在/=1处的切线方程是,法平面方

1+zt

程是.

2、若曲线％=/厅=/"=/上一点尸，过该点的切线平行于平面x+2y+z=4,则该点

的坐标为.

3、曲面xyz=/上任意一点的切平面与3个坐标平面围成的四面体体积是.

4,函数"=x+xy+个z在点(1,2,-1)处沿从点(1,2,-1)指向点(2,4,1)方向的方向导数是

5、设“=In。？+,2+Z?),则在点M(],2,-2)处的梯度grad〃是.

二、选择题

1、球面2：/+丫2+22=]4上点初(1,2,3)处的法线方程是()

A、B、

C、。、

2、f(x,y)=x2y+f,则/(x,y)在点P(l,2)处的梯度grad/是()

A、(4,2)B、(4,5)C、(3,5)D、(3,2)

3、设直线/：(x+y+b=Q在平面乃上而平面乃与曲面Z=/+y2相切与点(1厂2,5),

x+oy-z-3=0

则。力的值是()

A、。=-51=-2B、a=5,b=2

Ca=-5,b=2D、a=5,b=-2

4、已知')-/-丁，则/(国丁)在驻点(2,-2)取得()

A、极大值8、极小值C、不取得极值。、是否取得极值无法确定

’22

5、设/(%>)=恒2+)2)3/2，刀〉M，则/(x,y)在点(0,0)

0,x2+y2=0

A、可微8、偏导数存在但不可微C、偏导数不存在D,不连续

三、求曲面3/+y2-z2=27在点(3,1,1)处的切平面与法线方程.

四、试证：曲面五++=(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和

等于a.

五、给定曲线「：x=f,y=6cosf,z=6sinf,求证：存在一个定向量a,使「的切向量成

定角.

六、求函数的极值

1、求z=x2+盯+>2+x-y+l的极值.

2、求由方程/+;/+22一2%+2y-42-10=0所确定函数2=/(乂丁)的极值.

X-+y-+Z--3x=。在点处的切线方程和法平面方程.

七、求曲线《(1514)

2x-3y+5z-4=0

公.xh,卡、丁3zdzu-v

八、设z=arctan—,而x=〃+y,y=〃一u,求证：---1---=-----

ydudvw2+v27

九、求下列条件极值

1、用拉格朗日法求/(x,y,z)=qz在条件x+y+z=l下的极值.

2、在xoy平面上求一点使它到x=0,y=0,&x+2y-16=0三平面的距离平方和最小.

3、求内接于半径为。的球有最大体积的正方体.

十、求曲面f+y2+z?+XZ+yz=2的最高、最低点的坐标.

第九章重积分

一、填空题

1、若。是由|x|+|y|«l所确定的区域，则“"+Zcr=.

D

2、若。是由圆周V+y2=i及坐标轴在第一象限围成的闭区域，利用极坐标计算

2222

3、D:7F<x+y<4/,则jjsinJx+y?dxdy=

D

dxdydz

4、若C:由x=O,y=0*=0,犬+丁+2=1所围成，则

Q(1+x+y+z)”*

5、利用三重积分计算平面-+^+-1(。＞0力＞0,。＞0)和坐标面围成的几何体体积是

abc

二、选择题

1、若R:x2+/<l(x>0,y>0),D：+y~41,则I=JJJl-炉-)广de,12

D

4“Jj2_y2db的大小关系是()

D、

A、/,>12B、/j<12C、1{=12D、4/2不相等

2、设f(x,y)为连续函数，则()

A、工办厂/3'"B、^dy^f[x,y}dx

c、工办j；J(x,y)dxf(x,y)dx

2y

3、设。是平面上以A(l/)，3(—1,1)和C(—1,—1)为顶点的三角形，。是它的第一象限部

分，则”(盯+cosxsiny)如(y=()

D

A、2“cosxsinydxdyB、2JJxydxdy

Di

C、4jj(xy+cosxsiny)dxdyD、0

A

4、若C是由曲面r+y2=2z,及平面Z=2所围成的闭区域，则川'(x2+y2)dy=()

Q

A>4TTB、2兀C>7iD—7c

3

5、

三、画出平面区域，并计算二重积分

1、-y2M0,D：0<.y<sinx,O<x<^.

D

2、11(d+^2)4。,。由y=x,y=%+a,y=3〃(Q>0)共同围成.

D

四、先交换积分顺序再计算:

五、求由曲面Z=/+y2,及2二6-2/一、2所围成的立体体积.

六、求”，六一/一丁,^,其中。由_?+/=&围成.

D

七、利用极坐标计算下列二重积分

1、[Jarctan—t/cr,其中。是由圆周V+V=4,/=1及直线旷=09=尤围成的

DX

第一象限区域.

2、JJln(l+x2+y2)db,其中。是由圆周/+y2=1及X轴，y轴所围成的第一象限闭

D

区域.

八、把下列积分化为极坐标系下的形式并计算积分

1、LN",后子dy2、[：公广,6+川办

九、求锥面2=疗牙被柱面Z2=2X所割下的面积.

十、求由y=V及y=l所围成的均匀薄片（面密度为夕）对X轴的转动惯量.

十一、化下列三重积分为三次积分

1、川*/。,％2）64仪/2,其中。是由平面工=0/=0,2=0,犬+丁+2=1所围成的四面体.

C

2、JjJf(^,y,z)dxdydz,其中Q是由曲面z=x?+)/,>=%2及平面丁=]*=0所围成

的闭区域.

十二、计算下列三重积分

1,flJ(x2+/)Jv,其中。是由锥面z2="，+V)及平面z=5所围成.

Q4

2、jjjZdv,其中■是由锥面Z=j2—f―>及z=P+y2所围成的闭区域.

3、设。是由犬+9422,0424”所确定的闭区域，求J“(x+y+z)dn

十三、利用球坐标计算下列三重积分

1、设物体的体密度夕=+y2+z2,物体Q由V+y2+z2=2z及y20围成，求。的

质量.

2、]JJ(x2+y2+z2)Jv,其中。是半球尤2+y2+z24],Hz>0.

Q

3、JJJZdv,其中Q是由炉+>24z2及/+,2+(2-4)2442所确定.

c

十四、计算三重积分JjJxydv,其中。为柱面F+y2=i及平面2=1*=0,*=0»=0所

C

围成的第一卦限的区域.

十五、jjj(x2+y2)Jv,其中Q是由曲面V+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.

十六、求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面/+丁=。尤内部的那部分面积.

第十章曲线积分和曲面积分

一、填空题

1、若£为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则卜X+/杰=

L

2、设L是单位圆Y+y2=l,则线积分，6冏关/=.

3、设L为椭圆工+匕=1其周长为。，则J(2移+312+4/)4,=

43L

4、设L为正向圆周Y+y2=2在第一象限的部分，则jMy—2Mt=.

L

5、设S为半球面V+y2+z2=1(x20),则“(x+y+z)dS=.

5

二、选择题

1、若L是从点4(3,2,1),到点6(0,0,0)的直线段而，则Jx3dx+3zy2力—dydz=()

22

2、计算椭圆的周长弓+方=1(“乂〉0)),用第一型线积分的式子正确的是()

从却十合/

『八+（今/

C、D、J："%os"+/sin号力

J-aVdx

3、设L为/+y2=1的正向，则，回仪一必：二()

L

A、0B>7iC、2兀O、47

4、用线积分计算平面图形的面积的公式是(其中L平面图形的边界)()

A>xdy-ydxBydx-xdy

2L

C、,xdy-ydxD、

5、下列式子是某一二元函数〃(羽y)在全平面上的全微分的是()

A、xdx-ydyB——~~—dx-----~—dy

2，+y2)2(X2+/)

C、4sinxsin3yfir—3cos3ycos2y办

D、(4x3+5xy3-3y4)<ix+(15x2y2-12xy3+5/1)dy

三、计算下列线积分

1、，xds,L为直线y=x及抛物线y=f围成的边界.

L

2、+y2as,其中L为犬+y2=ax.

L

3、^zds,其中空间曲线「：x=/cos/,y=fsinf,z=，(OW，4l).

r

4、jylx2+y2ds,其中L为圆周/+了2=〃2在直线丁=1及x轴在第一象限内的边界.

四、1、计算线积分，dx—dy+ydz,L为闭折线A8C4,这里A(1,O,O),3(OJ,O),C(0,0,1).

2、求J(20—y)dx+xdy,£是摆线工=々(，-5111，),丁=々(1—(：05，)3>0)的第一拱，其

L

方向是f增加的方向.

3、计算Jy2公，其中错误！不能通过编辑域代码创建对象.是上半圆弧V+y2=/(>1>0)

L

逆时针方向.

五、利用格林公式计算下列积分

1、^(ycosx-x2>,+%2)iZx+(y2+sinx)tfy,其中L是上半圆域x?+y2<cr(y>0)的边

L

界，逆时针方向.

2、产”『Q,其中L为/+/2=1按逆时针方向.

11+厂+厂

六、计算下列各题

1、求变力/=(>+3x,2y-x)沿椭圆4x2+/=4正向一周所做的功.

2、,警二*L：(x—iy+y2=2取逆时针方向.

[x'+y'

七、证明：华坐在半平面y>0内是二元函数的全微分，并求出这个二元函数.

+y

八、计算下列曲面积分

1、JJ(z+2x+—y)dS9其中I:[+]■+a=l(x,y,z20).

2、jj(2x-2x2+2y-{-z)dS,其中E:2x+2y+z=6(x,y,zN0).

九、计算下列各题

1、^z2dxdy,其中E是上半球面/+丁2+22=〃2的上侧.

Z

2、jjx2dydz+y2dzdx+zrdxdy,其中2是/+/+z?=R?在第一卦限部分的上侧.

十、利用高斯公式计算下列曲面积分

1、x2dydz+y2dzdx4-zrdxdy,其中X是曲面z=犬+y?与z=1所围成立体表面外侧.

2^xzrdydz+(x2y-z2)dzdx+(2xy+y2z)dxdy,其中E是上半球面/+y?+z?="

且zNO表面外侧.

H^一、计算曲线积分Jyds和Jydx,其中L为上半圆周/+；/=/顺时针方向的半圆弧.

LL

十二、计算下列对坐标的曲线积分

1、j(x2-y2)^,其中L是由抛物线y=V上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.

2、jydx+xdy,其中L是圆周x=Rcosf,y=Rsinf对应。=0到£=工的一段弧.

L

第十一章无穷级数

一、填空题

(-1)"

1、级数z其中p为常数，若级数绝对收敛，则p的取值范围是

2p+

n=ln'

0c1

2、级数£——a>0为常数），则当a取值范围是_____________时级数收敛.

念1+。

3、若级数£%收敛，那么£100%（收敛或发散）.

〃=1n=100

级数之士]匚的收敛性是

4、

W（—]}n

5、级数产V的收敛区间是

二、选择题

1>下列说法正确的是（）

00

A、若lim““=0,则级数“收敛

—“二|

B、%为任意常数，与有相同的收敛性

〃=1〃=1

C、若级数收敛，£乙发散，则仁（2”“+3匕）发散

/J=1n=\n=\

D、若级数£u„收敛，那么£u；也收敛

n=\n=\

2、下列级数中，收敛的是（）

.（1D（〃+1「寺3"4

n=\(〃-1)(〃+3)

3、下列级数中条件收敛而非绝对收敛的级数是（）

TT

x(-Ifsin-

(1)"(〃+DB勺(T)"y(-D"

C、2D、E—

hnM=1冗

Hf-IY1

4、基级数的收敛域是（）

M«

A、（一1,1）B、(-1,1]C.[-1,1)D,[-1,1]

5、下列基级数中，收敛半径R=’的是

)

2

2n2n

,XxxXXx

A、-----1----y4---1-----1--B、--1----+・・・-!---------------------------F•••

1x32x32小3〃22x42-4-6....(2n)

C、2』+.••+2"

x"+…D、x+2厂+,••+nx”+•••

25+1

三、判断下列级数的敛散性

002

1、^tan

3(〃一1尸2、士篝

n=2

、£00(l3n-ly81

3)〃4、

y(In〃)3

〃=1V4/2+1

四、判断下列级数是否收敛，若收敛,是条件收敛还是绝对收敛

00(-1)"2-4……(2n)

1、Z2、Z(-ir

n=lln(l+n)n=l1-3……(2n-l)

n

8«!2sin—OO0“

3、Y-----------鼠4、卒5

五、求下列嘉级数的收敛区间

oon

X§㈠)"、

1、2、

81

4、xn(a>b>0)

£a〃+b”

七、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数

1、f〃尸81

2、V—x4w

占4〃

〃=1

3、之四”4件/

〃=]

八、将下列函数展开成X的幕级数，并指出展开式成立的区间

2x-53(X2+X8)

1、~~72、

—5x+61—x

3、(l+x)ln(l+x)

第十二、微分方程

一、填空题

1、方程盯，一y=0满足y|皿=4的解为y=

微分方程包=的通解y=

2、

dxl+x~

3、方程y=e2*-＞'满足条件yL=o=o的特解为y=

4、微分方程y'的通解y

5、微分方程＜—3y'+2y=0的通解y=

二、选择题

1、微分方程丐'—yiny=0的通解为（其中C为常数）（）

、xB.y=eCxD.y=eClX+C2

Ay=CeC、y=Ge'+C2

2、微分方程y'sinx=ylny,在初始条件y|.=e下的特解是（)

x=—

2

cXXA-

Ctantan—tan—

A、y=e2By=Ce2C、y=e2D、y=etanx

3、若微分方程P（x,y）公+Q（x,y）办=0是全微分方程，则必有（)

dQdP6M二丝dP_dQ

A、=Vr、一

dx—dydxdySydxdxdy

4、微分方程y"+y'—2y=0的的通解形式为（）

x2vy-Cex+Ce2x

A、y—Cxe~+C2eB、x2

x2xx2x

C、y=Cxe+C2eD、y=Cte-+C2e-

5、微分方程为＜+：/+'=3"'的特解形式为（）

A>y*=aeB>y*={ax+b)e~x

C、y*=(ax2+/?尢+c)e~xD>y*=e

三、求下列微分方程的通解

1、sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0

2^(xy2+x)dx+(y-^y)dy=03、xy'=y+ylx2-y2(x>0)

4、x—=y(iny-Inx)

dx

四、求下列微分方程的通解

1、孙'+y=xex2、(y—x3)dx-2xdy-0

dy二)

4^cosydx+(1+e-r)sinydy=0

dxx+y3ex

五、求下列微分方程的通解

1、eydx+(xey-2y)dy=0

2、(x+y)(dx-dy)-dx+dy3、/-3/=0

4、y"-6y'+9y=05、y,r+6/+13y=0

6、y+4/+29y=0,y(0)=0,/(0)=15

7、yff+2yf+y=xe'8、2y"+5y'=2x+l

六、设函数y=y(x)满足微分方程y"—3y'+2y=2",其图