湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-4点到直线的距离课件

平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=

.2.4点到直线的距离1|

两点间的距离点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=

.2

|点到直线的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是d=

.3|

两条平行直线间的距离1.点P1(0,a),P2(0,b)间的距离是a-b吗?不是.应该是|a-b|.2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离是

吗?不是.直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为

.3.直线外一点与直线上任一点间的距离的最小值是点到直线的距离吗?是.由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短,知结论成立.4.两平行直线间的距离是连接两条平行直线上任意两点间的距离吗?不是.两平行直线间的距离是两平行直线间公垂线段的长.知识辨析利用点到直线的距离公式时,一般先分析确定相应的点和直线,再利用公式

计算求解.当所给条件不能明显确定所需的点和直线时,可考虑待定系数法,有时

要结合几何图形的直观性,综合分析解决问题.1点到直线的距离公式的应用

典例已知某正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在直线l的方程为x+3y-5=0,求:(1)正方形的面积;(2)正方形其他三边所在直线的方程.思路点拨

(1)利用正方形中心到一边的距离为边长的一半求解.(2)根据所求的三边中有一边所在直线与直线l平行,另两边所在直线与直线l垂直,

并结合正方形的中心到四条边的距离相等求解.解析

(1)由

得正方形的中心的坐标为(-1,0),则(-1,0)到直线x+3y-5=0的距离为

=

,∴正方形的边长为

,∴正方形的面积为

=

.(2)设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+C=0(C≠-5).由点(-1,0)到两直线l,l1的距离相等,得

=

,解得C=7或C=-5(舍去),∴l1:x+3y+7=0.又∵正方形另两边所在直线均与l垂直,∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,∴

=

=

,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.1.两条平行直线间的距离的求法(1)直接利用公式求解.(2)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点

到另一条直线的距离.2.两条平行直线间的距离的应用已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般

先设出直线方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间

的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题,然后利用点到

直线的距离公式求解.2平行线间的距离公式的应用

典例

(1)直线l1:3x+4y-5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为

;(2)已知△ABC的两顶点A,B在直线l1:2x-y+3=0上,点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面积为2,则AB边的长为

.思路点拨

(1)l1关于和它平行的直线l对称的直线l2满足条件:①l1∥l2;②l1,l2与直

线l间的距离相等.(2)因为直线l1与l2平行,所以直线l1与l2之间的距离与以AB为底时三角形的高相等,

利用三角形面积公式可得AB边的长.3x+4y+7=0解析

(1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1),由条件知l1与l之间的距离等于l2

与l之间的距离,则

=

,解得d=7或d=-5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0.(2)由直线l1:2x-y+3=0,直线l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,两平行直线间的距离d=

=

,根据三角形的面积公式,得

×

×|AB|=2,解得|AB|=

.与距离有关的最值问题的解题策略(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题.一般地,形如

的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关的最值问题时,可应用数形结合思想,借助两点间的距离公式,将其转化

为点到直线的距离或两平行线之间的距离.(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.3与距离有关的最值问题

典例

(1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则

的最小值为

(C

)A.

B.

C.1

D.

(2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则

的最小值为

.解析

(1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|=

.依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上,则直线l1与l2平行,所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又因为d=

=1,所以

的最小值为1,故选C.