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【创新设计】-版高中数学2.3.2空间两点间的距离同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.已知两点M1(-1,0,2),M2(0,3,-1),此两点间的距离为________.解析据空间两点间的距离公式得所求距离为eq\r(12+32+32)=eq\r(19).答案eq\r(19)2.坐标原点O到点A(1,1,1),B(1,2,2),C(2,-3,5),D(3,0,4)的距离中,最小距离是________.解析据空间两点间的距离公式计算出4个距离分别为OA=eq\r(12+12+12)=eq\r(3),OB=eq\r(12+22+22)=eq\r(9)=3,OC=eq\r(22+32+52)=eq\r(38),OD=eq\r(32+02+42)=eq\r(25)=5,即可得最小的是OA=eq\r(3).答案eq\r(3)3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB的中点M,则CM=________.解析由A(3,3,1),B(1,0,5)知AB的中点M为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(3,2),3));∴CM=eq\r(2-02+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)-1))2+3-02)=eq\f(\r(53),2).答案eq\f(\r(53),2)4.在给定的空间直角坐标系中,Z轴上到点P(4,1,2)的距离为eq\r(26)的有________个点.解析设满足条件的点为(0,0,z),代入两点间距离公式:eq\r(0-42+0-12+z-22)=eq\r(26),解得z=5或z=-1,所以满足条件的点为(0,0,5)或(0,0,-1),共2个.答案25.已知点A(1,1,1),点B(3,3,3),点P在x轴上,且PA=PB,则点P坐标为________.解析点P在x轴上,设其坐标为(x,0,0),据空间两点间的距离公式得eq\r(x-12+0-12+0-12)=eq\r(x-32+0-32+0-32),解得x=6,故点P坐标为(6,0,0).答案(6,0,0)6.求证:以A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为顶点的三角形是直角三角形.证明利用两点间距离公式,得AB=eq\r(32+42+82)=eq\r(89);同理,AC=eq\r(75),BC=eq\r(14);所以AC2+BC2=AB2,结论得证.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则OB等于________.解析点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影为B(0,2,3);据空间两点间的距离公式得OB=eq\r(02+22+33)=eq\r(13).答案eq\r(13)8.如图,在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E与AB的中点解析点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(a,2),\f(a,2))),点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(a,2),0)),所以EF=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)=eq\f(\r(2),2)a.答案eq\f(\r(2),2)a9.空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(2,3,-1),B(4,1,-1),C(4,3,-3),则△ABC的形状是________.解析根据两点间的距离公式,得AB=eq\r(22+22+0)=2eq\r(2),AC=eq\r(22+0+22)=2eq\r(2),BC=eq\r(0+22+22)=2eq\r(2),即△ABC为等边三角形.答案等边三角形10.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当A、B两点间距离取得最小值时,x的值为________.解析AB=eq\r(14x2-32x+19),所以当x=eq\f(8,7)时,A,B两点间距离取得最小值.答案eq\f(8,7)11.求证:以A(-4,-1,-9),B(-10,1,-6),C(-2,-4,-3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明AB=eq\r(-4+102+-1-12+-9+62)=7,AC=eq\r(-4+22+-1+42+-9+32)=7,BC=eq\r(-10+22+1+42+-6+32)=7eq\r(2),所以AB2+AC2=BC2且AB=AC.∴△ABC为等腰直角三角形.12.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问(1)在y轴上是否存在点M,满足MA=MB?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标.解(1)设在y轴上存在点M,满足MA=MB.∵M在y轴上,∴可设M(0,y,0),由MA=MB,可得eq\r(32+y2+12)=eq\r(12+y2+32),显然,此式对任意y∈R恒成立.∴y轴上所有的点都满足MA=MB.(2)设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形.由(1)知,y轴上任意一点都满足MA=MB,∴只需MA=AB就可以使△MAB是等边三角形.∵MA=eq\r(3-02+0-y2+1-02)=eq\r(10+y2),AB=eq\r(1-32+0-02+-3-12)=eq\r(20);∴eq\r(10+y2)=eq\r(20),解得y=±eq\r(10)∴y轴上存在点M(0,eq\r(10),0)或(0,-eq\r(10),0),使△MAB为等边三角形.13.(创新拓展)如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且A′N=3NC′,试求MN的长.解以D为原点,DA、DC、DD′分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体的棱长为a,所以B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),D′(0,0,a).由于M为BD′的中点,取A′C′中点O′,所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(a,2),\f(a,2))),O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(a,2),a)).因为A′N=3NC′,所以N为A′C′的四等分,从而N为O′C′的中点,故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),\f(3,4)a,a)).根据空间两点的距离公式,可得 MN=eq\
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