高中数 2.3.2空间两点间的距离同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学2.3.2空间两点间的距离同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．已知两点M1(－1,0,2)，M2(0,3，－1)，此两点间的距离为________．解析据空间两点间的距离公式得所求距离为eq\r(12＋32＋32)＝eq\r(19).答案eq\r(19)2．坐标原点O到点A(1,1,1)，B(1,2,2)，C(2，－3,5)，D(3,0,4)的距离中，最小距离是________．解析据空间两点间的距离公式计算出4个距离分别为OA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，OB＝eq\r(12＋22＋22)＝eq\r(9)＝3，OC＝eq\r(22＋32＋52)＝eq\r(38)，OD＝eq\r(32＋02＋42)＝eq\r(25)＝5，即可得最小的是OA＝eq\r(3).答案eq\r(3)3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点M，则CM＝________.解析由A(3,3,1)，B(1,0,5)知AB的中点M为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))；∴CM＝eq\r(2－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－02)＝eq\f(\r(53),2).答案eq\f(\r(53),2)4．在给定的空间直角坐标系中，Z轴上到点P(4,1,2)的距离为eq\r(26)的有________个点．解析设满足条件的点为(0,0，z)，代入两点间距离公式：eq\r(0－42＋0－12＋z－22)＝eq\r(26)，解得z＝5或z＝－1，所以满足条件的点为(0,0,5)或(0,0，－1)，共2个．答案25．已知点A(1,1,1)，点B(3,3,3)，点P在x轴上，且PA＝PB，则点P坐标为________．解析点P在x轴上，设其坐标为(x,0,0)，据空间两点间的距离公式得eq\r(x－12＋0－12＋0－12)＝eq\r(x－32＋0－32＋0－32)，解得x＝6，故点P坐标为(6,0,0)．答案(6,0,0)6．求证：以A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为顶点的三角形是直角三角形．证明利用两点间距离公式，得AB＝eq\r(32＋42＋82)＝eq\r(89)；同理，AC＝eq\r(75)，BC＝eq\r(14)；所以AC2＋BC2＝AB2，结论得证．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________．解析点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影为B(0,2,3)；据空间两点间的距离公式得OB＝eq\r(02＋22＋33)＝eq\r(13).答案eq\r(13)8．如图，在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E与AB的中点解析点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，所以EF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.答案eq\f(\r(2),2)a9．空间直角坐标系O－xyz中，已知点A(2,3，－1)，B(4,1，－1)，C(4,3，－3)，则△ABC的形状是________．解析根据两点间的距离公式，得AB＝eq\r(22＋22＋0)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(22＋0＋22)＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(0＋22＋22)＝2eq\r(2)，即△ABC为等边三角形．答案等边三角形10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当A、B两点间距离取得最小值时，x的值为________．解析AB＝eq\r(14x2－32x＋19)，所以当x＝eq\f(8,7)时，A，B两点间距离取得最小值．答案eq\f(8,7)11．求证：以A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．证明AB＝eq\r(－4＋102＋－1－12＋－9＋62)＝7，AC＝eq\r(－4＋22＋－1＋42＋－9＋32)＝7，BC＝eq\r(－10＋22＋1＋42＋－6＋32)＝7eq\r(2)，所以AB2＋AC2＝BC2且AB＝AC.∴△ABC为等腰直角三角形．12．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问(1)在y轴上是否存在点M，满足MA＝MB?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解(1)设在y轴上存在点M，满足MA＝MB.∵M在y轴上，∴可设M(0，y,0)，由MA＝MB，可得eq\r(32＋y2＋12)＝eq\r(12＋y2＋32)，显然，此式对任意y∈R恒成立．∴y轴上所有的点都满足MA＝MB.(2)设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)知，y轴上任意一点都满足MA＝MB，∴只需MA＝AB就可以使△MAB是等边三角形．∵MA＝eq\r(3－02＋0－y2＋1－02)＝eq\r(10＋y2)，AB＝eq\r(1－32＋0－02＋－3－12)＝eq\r(20)；∴eq\r(10＋y2)＝eq\r(20)，解得y＝±eq\r(10)∴y轴上存在点M(0，eq\r(10)，0)或(0，－eq\r(10)，0)，使△MAB为等边三角形．13．(创新拓展)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．解以D为原点，DA、DC、DD′分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，a)).因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分，从而N为O′C′的中点，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3,4)a，a)).根据空间两点的距离公式，可得 MN＝eq\