高中数 2.2.2直线与圆的位置关系同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学2.2.2直线与圆的位置关系同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．直线3x＋4y－14＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是________．解析∵圆心(1，－1)到直线3x＋4y－14＝0的距离为d＝eq\f(|3－4－14|,5)＝3＞2，∴相离．答案相离2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为________．解析圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离即为圆的半径，即r＝d＝eq\f(|6＋4＋5|,5)＝3，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝93．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为________．解析∵点(1，eq\r(3))在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1(k为切线斜率)．解得k＝eq\f(\r(3),3).∴切线方程为x－eq\r(3)y＋2＝0.答案x－eq\r(3)y＋2＝04．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．解析直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，此点在圆x2＋y2＝2的内部．∴直线与圆的位置关系是相交．答案相交5．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．解析曲线即为(x－3)2＋(y－1)2＝25，圆心到直线的距离d＝eq\r(5)，圆的半径r＝5，所以弦长的一半为eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5)，弦长为4eq\r(5).答案4eq\r(5)6．(1)求证：直线(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0与圆x2＋y2－6x(2)求过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引的切线方程．(1)证明由(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0得a(x＋y－4)＋(3y－x∴无论a取何值，直线(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0必过两条直线x＋y－4＝0与3y－x＝0的交点A(3,1)；圆的方程x2＋y2－6x＋5＝0即为(x－3)2＋y2＝4，故圆心为C(3,0)，半径为r＝2；∵AC＝eq\r(3－32＋1－02)＝1，故AC＜r，所以点A(3,1)在圆的内部，所以直线(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相交．(2)解显然x＝2为所求切线之一；设另外一条切线方程为y－4＝k(x－2)，即为kx－y＋4－2k＝0，由eq\f(|4－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，∴切线为3x－4y＋10＝0.综上，所求切线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析∵圆心在第一象限，与x轴相切，半径为1，∴可设圆心为(a,1)(其中a＞0)；又圆与直线4x－3y＝0相切，∴d＝r即eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得正数a＝2；∴圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案(x－2)2＋(y－1)2＝18．如果直线l：y＝kx－10与圆x2＋y2＋mx＋2y－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x＋2y＝0对称，则直线l截圆所得的弦长为________．解析∵圆上两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，∴圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，－1))在直线x＋2y＝0上，即－eq\f(m,2)－2＝0，解得m＝－4；∴圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－4＝0，即为(x－2)2＋(y＋1)2＝9；又直线l：y＝kx－10上两点M、N关于x＋2y＝0对称，∴直线l的斜率k＝2，即直线l方程为y＝2x－10；∵圆心(2，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|4－－1－10|,\r(5))＝eq\r(5)，圆的半径r＝3.∴直线l截圆所得的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－5)＝4.答案49．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，则实数m的值为________．解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得kOP×kOQ＝－1，即eq\f(y1,x1)eq\f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0①另一方面，(x1，y1)，(x2，y2)是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0，,x2＋y2＋x－6y＋m＝0))的解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个解，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝eq\f(4m－27,5)③又P，Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝eq\f(1,4)(3－x1)(3－x2)＝eq\f(1,4)[9－3(x1＋x2)＋x1x2]，将③代入得y1y2＝eq\f(m＋12,5)④将③④代入①解得：m＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立．∴m＝3.答案310．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是________三角形．解析由题意得eq\f(|a·0＋b·0＋c|,\r(a2＋b2))＝1，即c2＝a2＋b2，∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形答案直角11．已知一条直线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，且被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此直线的方程．解(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．(2)当斜率k存在时，设所求方程为y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq\f(3,2)＝0.由已知，弦心距|OM|＝eq\r(52－42)＝3∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·0－0＋3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4).所以此直线方程为y＋eq\f(3,2)＝－eq\f(3,4)(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.综上，所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.12．一个圆的圆心在直线x－y－1＝0上，与直线4x＋3y＋14＝0相切，在3x＋4y＋10＝0上截得弦长为6，求圆的方程．解由圆心在直线x－y－1＝0上，可设圆心为(a，a－1)，半径为r，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|4a＋3a－1＋14|,5)＝r，,r2＝9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋4a－1＋10,5)))2，))经计算得a＝2，r＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.13．(创新拓展)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设ΔAOB的外接圆为⊙E，(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；(2)问是否存在这样的⊙ E，⊙E上到直线CD的距离为3eq\r(2)的点P有且只有三个；若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，请说明理由．解(1)由已知，直线CD方程为y＝x＋4，圆心Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)))，半径r＝eq\f(\r(2),2)a.由⊙E与直线CD相切，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)＋4)),\r(2))＝eq\f(\r(2),2)a，解得a＝4.(2)要使⊙E上到直线CD的距离为3eq\r(2)的点P有且只有三个，只须与CD平行且与CD距离为3eq\r(2)的两条直线