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【创新设计】-版高中数学2.2.2直线与圆的位置关系同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.直线3x+4y-14=0与圆(x-1)2+(y+1)2=4的位置关系是________.解析∵圆心(1,-1)到直线3x+4y-14=0的距离为d=eq\f(|3-4-14|,5)=3>2,∴相离.答案相离2.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为________.解析圆心(2,-1)到直线3x-4y+5=0的距离即为圆的半径,即r=d=eq\f(|6+4+5|,5)=3,∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.答案(x-2)2+(y+1)2=93.圆x2+y2-4x=0在点P(1,eq\r(3))处的切线方程为________.解析∵点(1,eq\r(3))在圆x2+y2-4x=0上,∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又∵圆心为(2,0),∴eq\f(0-\r(3),2-1)·k=-1(k为切线斜率).解得k=eq\f(\r(3),3).∴切线方程为x-eq\r(3)y+2=0.答案x-eq\r(3)y+2=04.直线y=ax+1与圆x2+y2=2的位置关系是________.解析直线y=ax+1恒过定点(0,1),此点在圆x2+y2=2的内部.∴直线与圆的位置关系是相交.答案相交5.直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于________.解析曲线即为(x-3)2+(y-1)2=25,圆心到直线的距离d=eq\r(5),圆的半径r=5,所以弦长的一半为eq\r(r2-d2)=2eq\r(5),弦长为4eq\r(5).答案4eq\r(5)6.(1)求证:直线(a-1)x+(a+3)y-4a=0与圆x2+y2-6x(2)求过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引的切线方程.(1)证明由(a-1)x+(a+3)y-4a=0得a(x+y-4)+(3y-x∴无论a取何值,直线(a-1)x+(a+3)y-4a=0必过两条直线x+y-4=0与3y-x=0的交点A(3,1);圆的方程x2+y2-6x+5=0即为(x-3)2+y2=4,故圆心为C(3,0),半径为r=2;∵AC=eq\r(3-32+1-02)=1,故AC<r,所以点A(3,1)在圆的内部,所以直线(a-1)x+(a+3)y-4a=0与圆x2+y2-6x+5=0相交.(2)解显然x=2为所求切线之一;设另外一条切线方程为y-4=k(x-2),即为kx-y+4-2k=0,由eq\f(|4-2k|,\r(k2+1))=2,解得k=eq\f(3,4),∴切线为3x-4y+10=0.综上,所求切线方程为x=2或3x-4y+10=0.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是________.解析∵圆心在第一象限,与x轴相切,半径为1,∴可设圆心为(a,1)(其中a>0);又圆与直线4x-3y=0相切,∴d=r即eq\f(|4a-3|,5)=1,解得正数a=2;∴圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.答案(x-2)2+(y-1)2=18.如果直线l:y=kx-10与圆x2+y2+mx+2y-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+2y=0对称,则直线l截圆所得的弦长为________.解析∵圆上两点M、N关于直线x+2y=0对称,∴圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(m,2),-1))在直线x+2y=0上,即-eq\f(m,2)-2=0,解得m=-4;∴圆的方程为x2+y2-4x+2y-4=0,即为(x-2)2+(y+1)2=9;又直线l:y=kx-10上两点M、N关于x+2y=0对称,∴直线l的斜率k=2,即直线l方程为y=2x-10;∵圆心(2,-1)到直线l的距离d=eq\f(|4--1-10|,\r(5))=eq\r(5),圆的半径r=3.∴直线l截圆所得的弦长为2eq\r(r2-d2)=2eq\r(9-5)=4.答案49.已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,则实数m的值为________.解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OP⊥OQ,得kOP×kOQ=-1,即eq\f(y1,x1)eq\f(y2,x2)=-1,即x1x2+y1y2=0①另一方面,(x1,y1),(x2,y2)是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2y-3=0,,x2+y2+x-6y+m=0))的解,即x1,x2是方程5x2+10x+4m-27=0②的两个解,∴x1+x2=-2,x1x2=eq\f(4m-27,5)③又P,Q在直线x+2y-3=0上,∴y1y2=eq\f(1,4)(3-x1)(3-x2)=eq\f(1,4)[9-3(x1+x2)+x1x2],将③代入得y1y2=eq\f(m+12,5)④将③④代入①解得:m=3.代入方程②,检验Δ>0成立.∴m=3.答案310.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是________三角形.解析由题意得eq\f(|a·0+b·0+c|,\r(a2+b2))=1,即c2=a2+b2,∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形答案直角11.已知一条直线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-3,-\f(3,2))),且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求此直线的方程.解(1)当斜率k不存在时,过点P的直线方程为x=-3,代入x2+y2=25,得y1=4,y2=-4.∴弦长为|y1-y2|=8,符合题意.(2)当斜率k存在时,设所求方程为y+eq\f(3,2)=k(x+3),即kx-y+3k-eq\f(3,2)=0.由已知,弦心距|OM|=eq\r(52-42)=3∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·0-0+3k-\f(3,2))),\r(k2+1))=3,解得k=-eq\f(3,4).所以此直线方程为y+eq\f(3,2)=-eq\f(3,4)(x+3),即3x+4y+15=0.综上,所求直线方程为x+3=0或3x+4y+15=0.12.一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程.解由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为(a,a-1),半径为r,由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|4a+3a-1+14|,5)=r,,r2=9+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a+4a-1+10,5)))2,))经计算得a=2,r=5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.13.(创新拓展)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设ΔAOB的外接圆为⊙E,(1)若⊙E与直线CD相切,求实数a的值;(2)问是否存在这样的⊙ E,⊙E上到直线CD的距离为3eq\r(2)的点P有且只有三个;若存在,求出⊙E的标准方程;若不存在,请说明理由.解(1)由已知,直线CD方程为y=x+4,圆心Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(a,2))),半径r=eq\f(\r(2),2)a.由⊙E与直线CD相切,得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)-\f(a,2)+4)),\r(2))=eq\f(\r(2),2)a,解得a=4.(2)要使⊙E上到直线CD的距离为3eq\r(2)的点P有且只有三个,只须与CD平行且与CD距离为3eq\r(2)的两条直线
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