小学数学课程与教学 教案：第8章-小学“图形与几何”的教学

第8章小学“图形与几何”的教学教学目标1.站在高等数学的高观点下，系统理解小学数学“图形与几何”的内容特点、知识结构和思想方法，理解“图形与几何”的课程要求和教学建议。2.根据儿童身心发展和国家教育方针，能够创设教学情境，建立学习内容与生活经验之间的联系，培养有效进行小学“图形与几何”的教学实践能力。3.激发学习兴趣，落实立德树人的根本任务，引导学生积极参与学习活动，着力培养空间观念和推理意识，促进思维发展，激发创新意识，提升教育情怀。教学资源1.平行四边形面积（教学视频）2.阅读《小学教学（数学版）》中的教学案例3.阅读《小学数学教与学》课程解析与教学实践类文章教学内容情境导入学生学习了角的定义，知道了“角是由两条公共端点的射线组成的图形”。教师出示常见平面图形（三角形、平行四边形、梯形等），让学生数一数每个图形中各有几个角。有学生回答，“三角形中没有角，因为三角形的三边是线段，不是射线”。角有哪些常见定义？两条线段能组成角吗？、圆的面积为什么是周长与半径乘积的一半？如何让学生更好地理解用数对描述位置？8.1第一学段“图形与几何”的教学第一学段“图形与几何”包括“图形的认识与测量”一个主题，包括简单立体图形和平面图形的认识、图形的分类、简单图形的拼图、度量单位的统一、长度单位米和厘米的认识、物体长度的估测和测量。8.1.1第一学段“图形与几何”的课程要求《课程标准》分为“图形的认识与测量”一个主题、从“内容要求”和“学业要求”两个方面进行了详细说明。其中，内容要求包括：①通过实物和模型辨认简单的立体图形和平面图形，能对图形分类,会用简单图形拼图；②结合生活实际，体会建立统一度量单位的重要性，认识长度单位米、厘米。能估测一些物体的长度，并进行测量；③在图形认识与测量的过程中，形成初步的空间观念和量感。学业要求包括：①能辨认长方体、正方体、圆柱、球等立体图形，能直观描述这些立体图形的特征；能辨认长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆等平面图形，能直观描述这些平面图形的特征。能根据描述的特征对图形进行简单分类；②会用简单的图形拼图，能在组合图形中说出各组成部分图形的名称；能说出立体图形中某一个面对应的平面图形。形成初步的空间观念；③感悟统一单位的重要性，能恰当地选择长度单位米、厘米描述生活中常见物体的长度，能进行单位之间的换算；能估测一些身边常见物体的长度，并能借助工具测量生活中物体的长度；初步形成量感。第一学段“图形的认识与测量”的知识重点是简单立体图形和平面图形的认识、图形的分类、简单图形的拼图、度量单位的统一、长度单位米和厘米的认识。物体长度估测和实际测量。能力重点是能对图形分类,会用简单图形拼图，能估测一些物体的长度，并进行测量，形成初步空间观念和量感。8.1.2第一学段“图形与几何”的内容理解1.线段与长度在几何学中，将直线上任意两点间的部分叫做线段。线段有长短，可以度量。最基本的长度单位是米。线段公理：两点之间，线段最短（即在连接两点的所有线中线段是最短的，也就是长度最小)。2几何思维水平理论荷兰数学教育家范·希尔（vanHiele）夫妇根据完形心理学的结构理论以及皮亚杰的认知理论，提出几何思维水平理论。采用范·希尔在《StructureandinsightAtheoryofmathematicseducation》中的说法，五个水平从低到高依次称为视觉水平、描述水平、理论水平、形式逻辑水平和逻辑法则本质水平。水平1视觉水平(visual)几何思维处于视觉水平的儿童借助观察各种具体事物的外型轮廓来分辨图形，能学习词汇及辨认或再造出一个与指定图形相同的图形，但无法利用图形的性质或构成要素来分析图形。例1.下列各图形中，哪些是正方形?（A）只有K（B）只有L（C）只有M（D）只有L和M（E）全部都是正方形水平2描述水平(descriptive)几何思维处于描述水平的儿童能够辨别各种图形的特征，能够通过观察图形的构成要素与这些要素之间的关系来分析几何概念。例2.如图，PQRS是一个正方形。对所有正方形而言，下列哪一个关系是正确的?(A)PR与RS的长度相同。(B)QS与PR互相垂直。(C)PS与OR互相垂直。(D)PS与QS的长度相同。(E)∠Q大于∠R。水平3理论水平(theoretical)几何思维处于理论水平的儿童能够了解和运用图形的构成要素，并且能够探索各种几何图形之间的内在属性和各图形之间的包含量系。例3.若已知图形F是一个多边形，下列哪一个叙述是正确的?(A)若图形F是一个长方形，则图形F必定是一个三角形。(B)若图形F不是一个长方形，则图形F必定是一个三角形。(C)图形F不可能同时是一个长方形，又是一个三角形。(D)图形F一定是一个长方形，或者是一个三角形。(E)以上A到D都不正确。水平4形式逻辑水平(formallogic)几何思维处于形式逻辑水平的儿童能够通过抽象的推理来证明几何问题，而且方法可能不只一种，也能知道几何图形的充分条件与必要条件。例4.如图，△ABC是直角三角形，再由△ABC的三边分别向外作三个正三角形，△ACE、△ABF与△BCD。由上述条件，我们可以证明AD、BE与CF共点(相交于一点)。则下列哪一个叙述是正确的?(A)只有在这个图形的直角三角形中，AD、BE与CF才会共点。(B)只有在某些直角三角形中(并非所有的直角三角形)，AD、BE与CF才会共点。(C)在任何一个直角三角形中，AD、BE与CF都会共点。(D)在任何一个三角形中，AD、BE与CF都会共点。(E)在任何一个正三角形中，AD、BE与CF都会共点。水平5逻辑法则本质水平(thenatureoflogicallaws)达到这个水平的学生能够在不同的公理体系中建立定理并且能比较不同的公理系统，同时也能了解抽象的几何概念。例5.在与你过去所学的几何学有所不同的F-几何学中，每一直线被定义为恰好只包含二点。如图所示，若有P、Q、R和S四个点，则可构成六条直线，即{P，Q}、{P，R}、{P，S}、{Q，R}、{Q，S}与{R，S}。在F-几何学中，是这样定义"相交"与"平行”这两个术语的。——两条直线{P，Q}和{P，R}相交在P点，因为{P，Q}与{P，R}有相同点P。——两条直线{P，Q}和{R，S}互相平行，因为{P，Q}与{R，S}没有相同点。由以上的信息可知，下面哪一个叙述是正确的?(A){P，R}和{Q，S}相交。(B){P，R}和{Q，S}平行。(C){Q，R}和{R，S}平行。(D){P，S}和{Q，R}相交。(E)以上A到D都不正确。8.1.3第一学段“图形与几何”的教学建议该学段学生大致处于范·希尔几何思维水平的第一阶段——视觉水平，即大多数学生能够借助观察各种具体事物的外型轮廓来分辨图形，能辨认或再造出一个与指定图形相同的图形，但无法利用图形的性质或构成要素来分析图形。第一，在具体活动中感知和认识图形，经历实物到图形的抽象过程，形成初步的空间观念。例如，教师引导学生从多个角度观察礼盒，学生可以有不同的结果。有学生从顶部看，看到的是正方形；有学生从侧面看，看到的是长方形；有学生从整体看，看到的是长方体。学生在这样的活动中，经历了从实物到图形的抽象过程，慢慢建立图形的概念。第二，经历统一测量单位和选择适当单位进行测量等过程，在实际测量和估测活动中发展空间观念和量感。8.2第二学段“图形与几何”的教学第二学段“图形与几何”包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。8.2.1第二学段“图形与几何”的课程要求《课程标准》分为“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。学段内容要求学业要求图形的认识与测量①结合实例认识线段、射线和直线；体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间距离；会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；了解同一平面内两条直线的位置关系。②结合生活情境认识角，知道角的大小关系；会用量角器量角，会用量角器或三角板画角。③认识长度单位千米，知道分米、毫米；认识面积单位平方厘米、平方分米和平方米。能进行简单的单位换算；能恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，会进行测量。④认识三角形和四边形，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类。⑤结合实例认识周长和面积；探索并掌握长方形、正方形的周长和面积的计算公式。⑥能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。⑦在图形认识与测量的过程中，增强空间观念和量感。①能说出线段、射线和直线的共性与区别；知道两点间所有连线中线段最短，能在具体情境中运用“两点之间线段最短”解决简单问题；能辨认同一平面内两条直线是否平行或垂直；能辨认从不同角度观察简单物体所对应的照片或直观图。形成空间观念和初步的几何直观。②会比较角的大小；能说出直角、锐角、钝角的特征，能辨认平角和周角；会用量角器测量角的大小，能用直尺和量角器画出指定度数的角；会用三角板画30°、45°、60°、90°的角。③会根据角的特征对三角形分类，认识直角三角形、锐角三角形和钝角三角形；能根据边的相等关系，认识等腰三角形和等边三角形。能说出长方形、正方形、平行四边形、梯形的特征；能说出图形之间的共性与区别；形成空间观念和初步的几何直观。④能描述长度单位千米、分米、毫米，能进行长度单位之间的换算；能在真实情境中选择合适的长度单位。能通过具体事例描述面积单位平方厘米、平方分米、平方米；能进行面积单位之间的换算。⑤经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长，知道什么是图形的周长；会测量三角形、长方形和正方形的周长；会计算长方形、正方形的周长和面积。⑥在解决图形周长、面积的实际问题过程中，逐步积累操作的经验，形成量感和初步的几何直观。图形的位置与运动①结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。②在感受图形的位置与运动的过程中，形成空间观念和初步的几何直观。①能在实际情境中，辨认出生活中的平移、旋转和轴对称现象，直观感知平移、旋转和轴对称的特征，能利用平移或旋转解释现实生活中的现象，形成空间观念。第二学段“图形的认识与测量”的知识重点是线段、射线和直线的认识、角的初步认识、角的度量、分米毫米和千米的认识、平方厘米和平方分米的认识、三角形和四边形的认识、长方形和正方形的周长和面积公式的推导。能力重点是会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，会用量角器量角，能进行简单的长度和面积单位换算，能恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类，探索并掌握长方形、正方形的周长和面积的计算公式，在图形认识与测量的过程中，增强空间观念和量感。第二学段“图形的位置与运动”的知识重点是平移、旋转、轴对称现象的感知。能力重点是能在实际情境中，辨认出生活中的平移、旋转和轴对称现象，直观感知平移、旋转和轴对称的特征，能利用平移或旋转解释现实生活中的现象，形成空间观念。8.2.2第二学段“图形与几何”的内容理解1.角角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的平面图形叫做角（Angle）。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的平面图形叫做角。但在大多数情况下，特别是在特定几何图形中，角的两条边都是线段，而不是直线。只不过两条线段在非公共端点的一段可以无限延伸，这样可以看作射线，而不影响角的大小2.三角形三条线段首尾连接形成的图形叫做三角形。三角形的分类有两种：按边分为，等腰三角形和非等腰三角形，前者至少有两边相等，后者各边不等，其中前者又可分为一般等腰三角形和等边三角形（三边相等，三个内角为60°）；按最大内角来分，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。结论1三角形的内角和为180°。结论2三角形的任意两边之和大于第三边。8.2.3第二学段“图形与几何”的教学建议该学段学生大致处于范•希尔几何思维水平的第二阶段——描述水平，本学段的教学要结合中段年级学生的心理特点和认知规律，始终关注学生空间观念、量感和几何直观的形成与发展。第一，从观察现实生活中的物体出发，逐渐抽象出几何图形，帮助学生建立几何图形的直观概念。第二，从现实情境出发，建立周长和面积的概念，归纳发现长正方形的周长和面积公式，发展几何直观和推理意识。第三，图形的位置与运动的教学要从熟悉情境中让学生认识平移、旋转和轴对称现象，感悟图形的运动特征，发展空间观念。例如，组织学生收集日常生活中常见的图形，观察是否有轴对称图形。如果有轴对称图形，尝试画出对称轴，在课堂中展示和交流。在交流的基础上，教师可以鼓励学生设计轴对称图形，交流图形所表达的含义。还可以让学生欣赏中国剪纸艺术中蕴含的轴对称图形，感悟中华优秀传统文化中的数学元素8.3第三学段“图形与几何”的教学第三学段“图形与几何”包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。8.3.1第三学段“图形与几何”的课程要求“图形与几何”是义务教育小学数学课程第三学段的重要内容。《课程标准》分为“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题、从“内容要求”和“学业要求”两个方面对“图形与几何”进行了详细说明。学段内容要求学业要求图形的认识与测量①知道三角形任意两边之和大于第三边；知道三角形内角和是180°。②认识圆和扇形，会用圆规画圆；认识圆周率；探索圆的周长和面积计算公式，能解决简单的实际问题。③知道面积单位千米气公顷；探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式；会估计不规则图形的面积。④通过实例了解体积（或容积）的意义，知道体积（或容积）的度量单位，能进行单位之间的换算；体验不规则物体体积的测量方法。⑤认识长方体、正方体和圆柱，了解这些图形的展开图，探索并掌握这些图形的体积和表面积的计算公式，认识圆锥并探索其体积的计算公式，能用这些公式解决简单的实际问题。⑥对于简单物体，能辨认不同方向（前面、侧面、上面）的形状图。⑦在图形认识与测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。①探索并说明三角形任意两边之和大于第三边的道理；通过对图形的操作，感知三角形内角和是180°，能根据已知两个角的度数求出第三个角的度数。②会计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能用相应公式解决实际问题。③会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与其直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。④认识长方体、正方体和圆柱，能说出这些图形的特征，能辨认这些图形的展开图，会计算这些图形的体积和表面积；认识圆锥，能说出圆锥的特征，会计算圆锥的体积；能用相应公式解决简单的实际问题，形成空间观念和初步的应用意识。⑤能说出面积单位平方千米、公顷和体积单位立方米、立方分米、立方厘米，以及容积单位升、毫升，能进行单位换算，能选择合适单位描述实际问题。⑥对于简单物体，能辨认不同方向（前面、侧面、上面）的形状图,能把观察的方向与相应形状图对应起来，形成空间观念。图形的位置与运动①能根据参照点的方向和距离确定物体的位置；会在实际情境中，描述简单的路线图。②能用有序数对（限于自然数）表示点的位置，理解有序数对与方格纸上点的对应关系。③了解比例尺，能利用方格纸按比例将简单图形放大或缩小。④能在方格纸上进行简单图形的平移和旋转；认识轴对称图形和对称轴，能在方格纸上补全简单的轴对称图形。⑤能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。①能根据指定参照点的具体方向和距离描述物体所处位置；能在熟悉的情境中，描述简单的路线图,形成几何直观。②能在方格纸上用有序数对（限于自然数）确定点的位置，理解有序数对与对应点的关系,形成空间观念。③认识比例尺，能说出比例尺的意义；在实际情境中，会按给定比例进行图上距离与实际距离的换算；能在方格纸上，按给定比例画出简单图形放大或缩小后的图形，形成空间观念和推理意识。④能在方格纸上描述图形的位置，能辨别和想象简单图形平移、旋转后的图形，画出简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形，以及旋转90°后的图形；能借助方格纸，了解图形平移、旋转的变化特征。知道轴对称图形的对称轴,能在方格纸上补全轴对称图形，形成推理意识。⑤对给定的简单图形，能用平移、旋转和轴对称的方法，在方格纸上设计图案，并能说出设计图案与简单图形的关系。第三学段“图形的认识与测量”的知识重点是三角形任意两边之和大于第三边、三角形内角和、圆和扇形的认识，圆规画圆、圆周率的认识、圆的周长和面积计算公式、面积单位千米气公顷的认识、平行四边形、三角形和梯形面积计算公式、体积（或容积）的意义及度量单位、认识长方体、正方体和圆柱体积和表面积的计算公式、简单立体图形的三视图。能力重点是会用圆规画圆；探索圆的周长和面积计算公式，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会估计不规则图形的面积，能进行体积单位之间的换算，探索并掌握长方体、正方体和圆柱的体积和表面积的计算公式，能辨认不同方向（前面、侧面、上面）的形状，能解决简单的实际问题。在图形认识与测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。第三学段“图形的位置与运动”的知识重点是物体位置的确定、有序数对（限于自然数）表示点的位置、有序数对与方格纸上点的对应关系、比例尺的认识、简单图形放大或缩小、简单图形的平移和旋转、轴对称图形和对称轴的认识。能力重点是能根据参照点的方向和距离确定物体的位置，能用有序数对（限于自然数）表示点的位置，理解有序数对与方格纸上点的对应关系，能利用方格纸按比例将简单图形放大或缩小，能在方格纸上进行简单图形的平移和旋转，能在方格纸上补全简单的轴对称图形，能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。8.3.2第三学段“图形与几何”的内容理解1.四边形四边形的基本性质有：（1）四边形的内角和为360°；（2）顺次连接四边形各边中点形成平行四边形。平行四边形的基本性质：（1）对边平行，对边相等；（2）对角相等，邻角互补；（3）对角线相互平分；（4）一条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。平行四边形的面积公式不只一个，常用的是“面积＝底×高”。并由此得到，三角形的面积公式不只一个，常用的是“面积＝第×高÷2”。梯形的面积公式常用的是“面积＝（上底+下底）×高÷2”。长方形的基本性质：（1）四个内角为直角；（2）对边相等；（3）对角线相等且相互平分；（4）长方形是中心对称图形，对角线交点为对称中心；（5）长方形为轴对称图形，共有四条对称轴。2.圆平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。连接圆上任意两点的线段叫做弦，以A、B为端点的弦记作弦AB。过圆心的弦叫做直径，圆上任意两点之间的部分叫做圆弧。圆的周长和直径的比值是一个常数，叫做圆周