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文档简介
天津市蓟州区第三联合区重点达标名校2024届中考数学最后一模试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,以O为圆心的圆与直线交于A、B两点,若△OAB恰为等边三角形,则弧AB的长度为()A. B.π C.π D.π2.下列运算正确的是()A.(a2)3=a5 B. C.(3ab)2=6a2b2 D.a6÷a3=a23.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值范围是()A.a≥1 B.a>1 C.a≥1且a≠4 D.a>1且a≠44.下列计算错误的是()A.a•a=a2 B.2a+a=3a C.(a3)2=a5 D.a3÷a﹣1=a45.如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC的大小是()A.30° B.60° C.90° D.45°6.已知是二元一次方程组的解,则m+3n的值是()A.4 B.6 C.7 D.87.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=32cm,把长方形纸片沿AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,AF=25cm,则AD的长为()A.16cm B.20cm C.24cm D.28cm8.如图1是2019年4月份的日历,现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2),下列表示a,b,c,d之间关系的式子中不正确的是()A.a﹣d=b﹣c B.a+c+2=b+d C.a+b+14=c+d D.a+d=b+c9.正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25,它们重叠的情形如图所示,其中R点在AD上,CD与QR相交于S点,则四边形RBCS的面积为()A.8 B. C. D.10.3点40分,时钟的时针与分针的夹角为()A.140° B.130° C.120° D.110°二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如果抛物线y=(m﹣1)x2的开口向上,那么m的取值范围是__.12.请写出一个开口向下,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的表达式_________13.如果,那么______.14.如图,在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH,联结GC,那么的正切值为___.15.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是x=-2,x=4,则的值为________.16.在某一时刻,测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为26m,那么这根旗杆的高度为_____m.17.如图,□ABCD中,E是BA的中点,连接DE,将△DAE沿DE折叠,使点A落在□ABCD内部的点F处.若∠CBF=25°,则∠FDA的度数为_________.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)先化简,再求值:()÷,其中a=+1.19.(5分)先化简,,其中x=.20.(8分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.证明:△ADF是等腰三角形;若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,21.(10分)在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球,它们的形状、大小完全相同,李强从布袋中随机取出一个小球,记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点M的坐标画树状图列表,写出点M所有可能的坐标;求点在函数的图象上的概率.22.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线,交AC边于点E,交AB边的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若∠F=30°,BF=3,求弧AD的长.23.(12分)(2013年四川绵阳12分)如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交⊙O于E,连接CE.(1)判断CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若E是的中点,⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积.24.(14分)正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是______;(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立,说明理由;(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、C【解析】过点作,∵,∴,,∴为等腰直角三角形,,,∵为等边三角形,∴,∴.∴.故选C.2、B【解析】分析:本题考察幂的乘方,同底数幂的乘法,积的乘方和同底数幂的除法.解析:,故A选项错误;a3·a=a4故B选项正确;(3ab)2=9a2b2故C选项错误;a6÷a3=a3故D选项错误.故选B.3、C【解析】试题分析:分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a的范围即可.解:去分母得:2(2x﹣a)=x﹣2,解得:x=,由题意得:≥1且≠2,解得:a≥1且a≠4,故选C.点睛:此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为1.4、C【解析】
解:A、a•a=a2,正确,不合题意;B、2a+a=3a,正确,不合题意;C、(a3)2=a6,故此选项错误,符合题意;D、a3÷a﹣1=a4,正确,不合题意;故选C.【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;负整数指数幂.5、B【解析】【分析】欲求∠BOC,又已知一圆周角∠BAC,可利用圆周角与圆心角的关系求解.【详解】∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°(同弧所对的圆周角是圆心角的一半),故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.6、D【解析】分析:根据二元一次方程组的解,直接代入构成含有m、n的新方程组,解方程组求出m、n的值,代入即可求解.详解:根据题意,将代入,得:,①+②,得:m+3n=8,故选D.点睛:此题主要考查了二元一次方程组的解,利用代入法求出未知参数是解题关键,比较简单,是常考题型.7、C【解析】
首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA,根据等角对等边证明FC=AF,则DF即可求得,然后在直角△ADF中利用勾股定理求解.【详解】∵长方形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∵∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠DCA,∴FC=AF=25cm,又∵长方形ABCD中,DC=AB=32cm,∴DF=DC-FC=32-25=7cm,在直角△ADF中,AD==24(cm).故选C.【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理,在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键.8、A【解析】
观察日历中的数据,用含a的代数式表示出b,c,d的值,再将其逐一代入四个选项中,即可得出结论.【详解】解:依题意,得:b=a+1,c=a+7,d=a+1.A、∵a﹣d=a﹣(a+1)=﹣1,b﹣c=a+1﹣(a+7)=﹣6,∴a﹣d≠b﹣c,选项A符合题意;B、∵a+c+2=a+(a+7)+2=2a+9,b+d=a+1+(a+1)=2a+9,∴a+c+2=b+d,选项B不符合题意;C、∵a+b+14=a+(a+1)+14=2a+15,c+d=a+7+(a+1)=2a+15,∴a+b+14=c+d,选项C不符合题意;D、∵a+d=a+(a+1)=2a+1,b+c=a+1+(a+7)=2a+1,∴a+d=b+c,选项D不符合题意.故选:A.【点睛】考查了列代数式,利用含a的代数式表示出b,c,d是解题的关键.9、D【解析】
根据正方形的边长,根据勾股定理求出AR,求出△ABR∽△DRS,求出DS,根据面积公式求出即可.【详解】∵正方形ABCD的面积为16,正方形BPQR面积为25,∴正方形ABCD的边长为4,正方形BPQR的边长为5,在Rt△ABR中,AB=4,BR=5,由勾股定理得:AR=3,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠D=∠BRQ=90°,∴∠ABR+∠ARB=90°,∠ARB+∠DRS=90°,∴∠ABR=∠DRS,∵∠A=∠D,∴△ABR∽△DRS,∴,∴,∴DS=,∴∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD-S△ABR-S△RDS=4×4-×4×3-××1=,故选:D.【点睛】本题考查了正方形的性质,相似三角形的性质和判定,能求出△ABR和△RDS的面积是解此题的关键.10、B【解析】
根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数,可得答案.【详解】解:3点40分时针与分针相距4+=份,30°×=130,故选B.【点睛】本题考查了钟面角,确定时针与分针相距的份数是解题关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、m>2【解析】试题分析:根据二次函数的性质可知,当抛物线开口向上时,二次项系数m﹣2>2.解:因为抛物线y=(m﹣2)x2的开口向上,所以m﹣2>2,即m>2,故m的取值范围是m>2.考点:二次函数的性质.12、(答案不唯一)【解析】
根据二次函数的性质,抛物线开口向下a<0,与y轴交点的纵坐标即为常数项,然后写出即可.【详解】∵抛物线开口向下,并且与y轴交于点(0,1)∴二次函数的一般表达式中,a<0,c=1,∴二次函数表达式可以为:(答案不唯一).【点睛】本题考查二次函数的性质,掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.13、;【解析】
先对等式进行转换,再求解.【详解】∵∴3x=5x-5y∴2x=5y∴【点睛】本题考查的是分式,熟练掌握分式是解题的关键.14、【解析】
延长GF与CD交于点D,过点E作交DF于点M,设正方形的边长为,则解直角三角形可得,根据正切的定义即可求得的正切值【详解】延长GF与CD交于点D,过点E作交DF于点M,设正方形的边长为,则,故答案为:【点睛】考查正多边形的性质,锐角三角函数,构造直角三角形是解题的关键.15、-10【解析】
根据根与系数的关系得出-2+4=-m,-2×4=n,求出即可.【详解】∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为x=-2,x=4,∴−2+4=−m,−2×4=n,解得:m=−2,n=−8,∴m+n=−10,故答案为:-10【点睛】此题考查根与系数的关系,掌握运算法则是解题关键16、13【解析】
根据同时同地物高与影长成比列式计算即可得解.【详解】解:设旗杆高度为x米,由题意得,,解得x=13.故答案为13.【点睛】本题考查投影,解题的关键是应用相似三角形.17、50°【解析】
延长BF交CD于G,根据折叠的性质和平行四边形的性质,证明△BCG≌△DAE,从而∠7=∠6=25°,进而可求∠FDA得度数.【详解】延长BF交CD于G由折叠知,BE=CF,∠1=∠2,∠7=∠8,∴∠3=∠4.∵∠1+∠2=∠3+∠4,∴∠1=∠2=∠3=∠4,∵CD∥AB,∴∠3=∠5,∴∠1=∠5,在△BCG和△DAE中∵∠1=∠5,∠C=∠A,BC=AD,∴△BCG≌△DAE,∴∠7=∠6=25°,∴∠8=∠7=25°,∴FDA=50°.故答案为50°.【点睛】本题考查了折叠的性质,平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质.证明△BCG≌△DAE是解答本题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、,.【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.【详解】解:()÷====,当a=+1时,原式==.【点睛】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.19、【解析】
根据分式的化简方法先通分再约分,然后带入求值.【详解】解:当时,.【点睛】此题重点考查学生对分式的化简的应用,掌握分式的化简方法是解题的关键.20、(1)见解析;(2)EC=1.【解析】
(1)由AB=AC,可知∠B=∠C,再由DE⊥BC,可知∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,然后余角的性质可推出∠F=∠BDE,再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA,于是得到结论;(2)根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵FE⊥BC,∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,∴∠F=∠BDE,而∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形;(2)∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,∵∠B=60°,BD=1,∴BE=BD=2,∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AB=AD+BD=6,∴EC=BC﹣BE=1.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点,关键根据相关的性质定理,通过等量代换推出∠F=∠FDA,即可推出结论.21、见解析;.【解析】
(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果;(2)找出点(x,y)在函数y=x+1的图象上的情况,利用概率公式即可求得答案.【详解】画树状图得:共有12种等可能的结果、、、、、、、、、、、;在所有12种等可能结果中,在函数的图象上的有、、这3种结果,点在函数的图象上的概率为.【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率,一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.22、(1)见解析;(2)2π.【解析】
证明:(1)连接OD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥EF,∵OD过O,∴EF是⊙O的切线.(2)∵OD⊥DF,∴∠ODF=90°,∵∠F=30°,∴OF=2OD,即OB+3=2OD,而OB=OD,∴OD=3,∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°,∴的长度=.【点睛】本题考查了切线的判定和性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了弧长公式.23、解:(1)CD与⊙O相切.理由如下:∵AC为∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠BAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.,∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径,∴CD与⊙O相切.(2)如图,连接EB,由AB为直径,得到∠AEB=90°,∴EB∥CD,F为EB的中点.∴OF为△ABE的中位线.∴OF=AE=,即CF=DE=.在Rt△OBF中,根据勾股定理得:EF=FB=DC=.∵E是的中点,∴=,∴AE=EC.∴S弓形AE=S弓形EC.∴S阴影=S△DEC=××=.【解析】(1)CD与圆O相切,理由为:由AC为角平分线得到一对角相等,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行,根据AD垂直于CD,得到OC垂直于CD,即可得证.(2)根据E为弧AC的中点,得到弧AE=弧EC,利用等弧对等弦得到AE=EC,可得出弓形AE与弓形EC面积相等,阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积,求出即可.考点:角平分线定义,等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,三角形中位线定理,勾股定理,扇形面积的计算,转换思想的应用.24、(1)CH=AB.;(2)成立,证明见解析;(3)【解析】
(1)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根据EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H两点都在以BE为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB即可.(2)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根据EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H两点都在以BE为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB即可.(3)首先根据三角形三边的关系,可得CK<AC+AK,据此判断出当C、A、K三点共线时,CK的长最大;然后根据全等三角形判定的方法,判断出△DFK≌△DEH,即可判断出DK=DH,再根据全等三角形判定的方法,判断出△DAK≌△D
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