湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-2-1-1-2-2等差数列与一次函数课件

1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,

那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差.2.求公差d时,可以用d=an-an-1(n≥2,n∈N+)或d=an+1-an来求.3.2M

=a+b⇔a,M,b成等差数列,即两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数.4.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中的四个量a1,an,n,d,只要知道任意三个量,

就可以求出第四个量.1.2等差数列1.2.1等差数列及其通项公式1.2.2等差数列与一次函数1|等差数列相关概念的理解若数列{an}是公差为d的等差数列,则1.当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.2.

=d(m,n∈N+且n≠m).3.an=am+(n-m)d(n,m∈N+).4.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an=

2ap.5.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….6.ak,

,ak+2m,…(k,m∈N+)成公差为md的等差数列.7.{c+an}是公差为d的等差数列;{c·an}是公差为cd的等差数列;{an+an+k}是公差为2

d的等差数列;{pan+qbn}是公差为pd+qd'的等差数列(其中c,k,p,q为常数,k∈N+,d'是2

|

等差数列的性质等差数列{bn}的公差).1.公差为d的等差数列{an}的图象由直线上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成,

这些点均匀分布在直线y=dx+(a1-d)上.当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等

差数列{an}递增;当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0

时,y=a1为水平方向的直线,数列为常数列.2.任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b,f(2)=2k+b,……,f(n)=nk+b构成

一个等差数列{nk+b},其首项为k+b,公差为k.3|

等差数列与一次函数的关系1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是

等差数列吗?不一定.差都是同一个常数时才是等差数列.2.等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列?是.改变了首项,公差不变.3.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列?是.公差为原来的2倍.4.若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3,…也是等差数

列吗?不一定.反例:设两数列分别为1,3,5,…和4,6,8,…,显然1,4,3,6,5,8,…不是等差数列.知识辨析1.定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)⇔数列{an}是等差数列.2.定义变形法:验证数列的通项an是否满足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+).3.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔数列{an}为等差数列.4.通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数且p≠0)⇔数列{an}为

等差数列.其中定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的直接依据,通项公式

法不能作为证明方法.1等差数列的判定(证明)

典例1已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),证明数列{an}为等差数列.思路点拨先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再利用等差中项法证明.证明

由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,两式相减并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N+).由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,因此an是an-1与an+1的等差中项,故数列{an}为等差数列.

典例2已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N+),且a3=95.(1)求a1,a2的值;(2)是否存在一个实数t,使得bn=

(an+t)(n∈N+),且{bn}为等差数列?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.思路点拨

(1)利用递推关系,逐项求解.(2)思路一:利用等差数列的定义,计算bn-bn-

1(n≥2),若存在t使bn-bn-1为常数,则{bn}为等差数列,否则不存在.思路二:假设存在t

使{bn}为等差数列,利用b1,b2,b3的关系求出t的值验证即可.解析

(1)当n=3时,a3=3a2+26=95,∴a2=23.当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5.(2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N+),∴当n≥2时,bn-bn-1=

(an+t)-

(an-1+t)=

(an+t-3an-1-3t)=

(3n-1-2t)=1-

.要使{bn}为等差数列,则bn-bn-1为常数,即1+2t=0,解得t=-

.∴存在t=-

,使{bn}为等差数列.解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,①由(1)及题意知,a1=5,a2=23,a3=95,∴b1=

(5+t),b2=

(23+t),b3=

(95+t),代入①,得

(23+t)=

(5+t)+

(95+t),解得t=-

,此时bn=

.经检验,bn+1-bn=

-

=

-

=

an+1-

×

-

an+

×

=1,是常数.故存在t=-

,使得{bn}是以1为公差的等差数列.名师点拨

(1)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n

≥2,n∈N+)无法确定等差数列{an}的公差.(2)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列

是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.1.求等差数列通项公式的一般思路(1)方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d即可.(2)利用变形公式求解:①an=kn+b(n∈N+,k,b为常数);②an=am+(n-m)d(n,m∈N+);③d=

(m≠n,n,m∈N+);④

=

(m≠n,p≠q,m,n,p,q∈N+).2.设等差数列中项的方法(1)通项公式法,即an=a1+(n-1)d.(2)对称设法.若所给等差数列有2n(n∈N+)项,则可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a2等差数列的通项公式及其应用+3d,…,a+(2n-1)d,数列的公差为2d;若所给等差数列有(2n+1)(n∈N+)项,则可设为a

-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,数列的公差为d.3.当已知数列不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列求通项公式.将递推关

系式转化为等差数列的常见形式如下:(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.(2)转化为

-

=常数,则数列

是等差数列.(3)转化为

-

=常数,则数列

是等差数列,其中c为常数.(4)转化为

-

=常数,则数列{

}是等差数列.(5)转化为

-

=常数,则数列{

}是等差数列.

典例

(1)在公差为d的等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则其通项公式为an=

;(2)已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式.思路点拨

(1)思路一:由已知列方程组

求出a1,d

求出{an}的通项公式.思路二:利用an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求出d

求出{an}的通项公式.(2)将递推公式的两边同时除以3n+1,通过观察发现数列

为等差数列,求其通项公式后易得数列{an}的通项公式.2n(n∈N+)解析

(1)解法一:由题意可得

解得

∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N+).解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d=

=2,∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N+).(2)由an+1=3an+3n,两边同时除以3n+1,得

=

+

,即

-

=

.由等差数列的定义知,数列

是以

=

为首项,

为公差的等差数列,∴

=

+(n-1)×

=

,故an=n·3n-1(n∈N+).运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用,但使用

时要注意性质的限制条件,若不能用性质,则化基本量求解.3等差数列性质的应用

典例在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.解析

设等差数列{an}的公差为d.解法一:由a1+a4+a7=15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1=5-3d.①由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,②将①代入②,得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.当d=2时,a1=-1,所以an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+;当d=-2时,a1=11,所以an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N+.综上,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+.解法二:因为a1+a7=