九年级上册数学人教版全册教案

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

【教学目标】多少场？

1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？

的概念及一般形式ax2+bx+c=0(aW0),分清二次3.归纳概念.

项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.提出问题：

2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和

数是不是一元二次方程的解.不同点？

【重点难点】(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程

重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次取一个什么名字？

方程的概念及一般形式ax2+bx+c=O(arO)和一(3)归纳一元二次方程的概念.

元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单①一元二次方程：只含有个未知数，并

问题.且未知数的最高次数是,这样的方

难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项程，叫做一元二次方程.

系数和常数项的识别.②一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=

【教学过程】0(aW0),其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx

一、创设情境，导入新课是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

1.什么是方程？你能举一个方程的例子吗？③一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左

2.下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程

一次方程的概念和一般形式.的解(根).

(I)2x—1；(2)mx+n=0；(3)：+1=0；(4)x2=1三、运用新知，解决问题

例1在下列方程中，属于一元二次方程的是

3.下列哪个实数是方程2x—1=3的解？并给

出方程的解的概念.

(1)4x2=81；(2)2x2—l=3y；(3)%+(=2；

A.OB.lC.2D.3

二、师生互动，探究新知(4)2x2-2x(x+7)=0.

根据题意列方程.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依

1.教材第2页问题1.据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有

提出问题：未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含

(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设有二次项，但是化简后二次项系数为0,这样的方

哪个量为未知数？程不是一元二次方程.

(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量例2以一2为根的一元二次方程是()

关系列方程吗？怎么列方程？A.x2+2x—1=0B.x2—x—2=0

(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请C.x2+x+2=0D.x2+x-2=0

说出整理之后的方程.总结：判断一个数是否为方程的根，可以将这

2.教材第2页问题2.个数代入方程，判断方程左右两边的值是否相等.

提出问题：四、课堂小结，提炼观点

(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元

么？二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么

(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关限制？你能解一元二次方程吗？

系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有五、布置作业，巩固提升

20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛1.必做题：课本第4页习题21.1第1,2,3题.

第1页共63页

2.选做题：课本第4页习题21.1第4,5,6题.一元二次方程的概念

【板书设计】一元二次方程的一般形式

一元二次方程一元二次方程的解(根)

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

【教学目标】教师引导学生观察、分析、探索.

1.理解一元二次方程降次的转化思想.学生小组内交流、探讨知识的发展变化，找出

2.会利用直接开平方法对形如(x+m)2=n(n2规律，升华为理论知识.

0)的一元二次方程进行求解.2.能否求下列方程的解？

3.会用直接开平方法解简单的一元二次方程.(1)(2t+1)2=8；(2)4(x-3)2=225；

【重点难点】(3)9x2-6x+1=0；(4)x2+4x+4=1.

重点：运用开平方法解形如(x+m)2=n(n?0)3.归纳总结——由感性到理性.

的方程，领会降次——转化的数学思想.问题1：你能和同伴交流吗？

难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的降次的实质：.

方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+降次的方法：.

m)2=n(nN0)的方程.降次体现了思想.

【教学过程】问题2：

一、创设情境，导入新课如果方程能化成x2=p或(nx+m)2=p(p20)

多媒体展示问题：的形式，那么可得*=,或nx+m=

印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两

队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同

树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我探索.

总数共多少，两队猴子在一起三、运用新知，解决问题

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是教材第6页练习.

猴子总数的彳的平方，另一队猴子数是12,那么猴教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问

题进行强化、点拨方法、总结规律，对学生存在的

子总数是多少？你能解决这个问题吗？共性问题做好补教.

学生互相讨论、分析理解.四、课堂小结，提炼观点

教师点拨、启发、引导学生分析解题.1.这节课你感受到了什么？

二、师生互动，探究新知2.根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收

获吗？

五、布置作业，巩固提升

教材第16页习题21.2第1题.

【板书设计】

直接开平方法

一元二次方程翳一元一次方程

1.如图，在aABC中，NB=90。，点P从点B思想

开始，沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q

从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移(40)

动，如果AB=6cm,BC=12cm,P,Q都从B点

同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

第2页共63页

第2课时配方法的灵活应用

【教学目标】像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元

1.理解配方法.二次方程的方法，叫做配方法.

2.会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤.

1的一元二次方程.①把原方程化为ax2+bx+c=0(aW0)的形式；

3.会用配方法解简单的一元二次方程.②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数

【重点难点】化为1,并把常数项移到方程右边；

重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

元二次方程.④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个

难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1常数；

的一元二次方程.⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接

【教学过程】开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则

一、复习旧知，导入新课判定此方程无实数解.

问题三、运用新知，解决问题

要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积用配方法解方程：

为16m2,场地的长和宽应各是多少？(1)x2+8x—2=0；(2)x2—5x—6=0；

(1)如何设未知数？根据题目的等量关系如何(3)x2+7=6x.

列出方程？教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问

(2)所列方程和之前我们学习的方程x2+6x+9题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好

=2有何联系与区别？补教.

(3)你能由方程①x2+6x+9=2的解法联想到四、课堂小结，提炼观点

怎样解方程②x2+6x—16=0吗？1.本节课你有何感想，请你畅所欲言.

学生完成问题(1),列出方程.如何解这个方程2.本节课你有何收获，请你与同伴分享.

呢？学生观察问题(2),找到联系与区别，教师可点五、布置作业，巩固提升

拨启发.问题(3),学生思考、讨论.教材第17页习题21.2第2,3题.

二、师生互动，探究新知【板书设计】

我们研究方程x2+6x+7=0的解法：配方法的灵活应用

将方程视为x2+2-x-3=-7,用配方法解一元二次方程的步骤：

配方,得x2+2-x-3+32=32—7,即仅+3产=①将原方程化为ax2+bx+c=0(aK0)的形式

2,②将二次项系数化为1

由此可得x+3=±\尼，③方程两边同时加上一次项系数一半的平方

所以xi=-3+•，X2=-3一小.④把左边化为完全平方式，右边化为常数

教师引导学生观察、分析、发现和提出问题.⑤判断方程解的情况

让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法.

21.2.2公式法

【教学目标】【教学过程】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.一、复习旧知，导入新课

2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次用配方法解下列方程：

方程.(1)6x2—7x+1=0；(2)4x2—3x=52.

【重点难点】总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总

重点：求根公式的推导和公式法的应用.结，教师点评).

难点：一元二次方程求根公式的推导.安排两名学生板书.

第3页共63页

教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程

(3)当b2-4ac<0时，4a/<0,由①可知(x

的基本思路及基本步骤.

二、师生互动，探究新知+/)2<0,因此方程无实数根.

如果一个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c

一般地，式子b2—4ac叫做方程ax2+bx+c=

=0(a#0),你能否用配方法的步骤求出它的两根？

O(aWO)根的判别式，通常用希腊字母表示，

请同学独立完成下面这个问题.

即A=b2—4ac,因此:

问题：已知ax2+bx+c=0(a#0)且b2—4ac^0,

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般

、0一上,-人-b+vb2-4ac

试推导匕的两个根X]=-------------，X2=形式ax2+bx+c=0,当A20时,将a,b,c的值

-b—\/b2-4ac代入式子x=-b可4ac就能得到方程的根;当

2aNd

解：移项，得ax?+bx=-c,A<0时就能得到方程无实数根.

二次项系数化为1,得(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做

X2+pC=—

公式法.

配方，得x2+^x+(^)2=一号+(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个

aZdd实数根.

2

□n,bob-4ac.三、运用新知，解决问题

即(x+五)2=F

教材第11页例2.

因为aWO,所以4a2>0,式子b?-4ac的值有

找四位学生板书，教师巡视及时发现错误及时

以下三种情况：

纠正，对于部分学生给予适当鼓励.

b?—4ac

⑴当b2—4ac>0时，一—>0.四、课堂小结，提炼观点

1.本节课你有何感想，请你畅所欲言.

由①直接开平方，得

2.本节课你有何收获，请你与同伴分享.

,bA/b2—4ac

五、布置作业，巩固提升

2a2-a---，

即一匚喈区教材第17页习题21.2第4,5题.

【板书设计】

方程有两个不等的实数根公式法

-b+,\/b2-4ac—b—Nb2-4ac一>z__j_-rr.jx.jxxn八_u—b±\/b2-4ac

一兀二次万程的求根公式：x=------------

xi=2a'*2=2a

b2—4ac当b2—4ac>0时，方程有两个不等的实数根

(2)当b2—4ac=0时，=0,由①可知,

4a2当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根

方程有两个相等的实数根X|=X2=一^当b?-4ac<0时，方程无实数根

21.2.3因式分解法

【教学目标】【教学过程】

1.了解因式分解法的概念.一、创设情境，导入新课

2.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土

元二次方程.地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形的边长

【重点难点】相等，矩形土地的长为80m,工作人员说，正方形

重点：应用因式分解法解一元二次方程.土地的面积是矩形面积的一半，你能帮助工作人员

难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二计算一下正方形土地的面积吗？

次三项式进行因式分解.引导学生列方程求解，从而引出本节课的课题.

第4页共63页

二、师生互动，探究新知③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方

1.实验发现.程；

⑴如果方程x2—3x+c=0有一个根为1,那么④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原

c=,该方程的另一个根为,该方程方程的解.

可化为(X—1)(x)=0.3.验证.

(2)思考：①x(2x+l)=0；②3x(x+2)=0.教材第14页例3.

问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？学生先自主、再合作，完成解题过程.

(2)你知道方程的解吗？说说你的理由.三、运用新知，解决问题

我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不教材第14页练习.

是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个组织学生练习，教师巡回辅导，对于重点问题

一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分进行强化、点拨方法、总结规律，对于共性问题做

别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解好补教.

法.四、课堂小结，提炼观点

2.探索.1.这节课你感受到了什么？

我们以方程x2=4为例.2.本节课你有什么收获，请你谈一谈.

移项，得x2—4=0,五、布置作业，巩固提升

对x2-4分解因式，得(X+2)(X—2)=0.教材第17页习题21.2第6题.

我们知道：【板书设计】

A•B=0A=0或B=0.因式分解法

，x+2=0或x—2=0.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

即xi=-2,X2=2.①移项，使方程的右边为零；

总结：因式分解法解一元二次方程的一般步②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

骤：③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方

①移项，使方程的右边为零；程；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原

方程的解.

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

【教学目标】系？

1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.教师引出新课并板书课题.

2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决二、师生互动，探究新知

实际问题.1.思考与归纳

3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂从下表中找出两根之和X|+X2与两根之积X[X2

问题的能力.和a,b,c的关系:

【重点难点】两个根X,

两根之和两根之积

重点：一元二次方程根与系数的关系.方程与r2

难点：对根与系数的关系的理解和推导.Nl工]+工2

【教学过程】/+5x+6=0-2-3-56

一、复习旧知，导入新课?-51一6=06-15-6

我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2+一/一8/-9=09-18-9

bx+c=0(a70)的各项系数a,b,c决定的.我们还

知道根是由b--4ac决定其情况的.今天我们来研究

方程的两根的和及两根的积与a,b,c有怎样的关

第5页共63页

4(~~b)2—(b2一4ac)c

3/2—廿一4=02

T4a2-a,

2131

2x—31+1=017T7三、运用新知，解决问题

_3__7_教材第16页练习.

6/+7/-3=0一£T一不~~2

教师让学生尝试独立解决，师生共议.学生独立

教师引导学生先观察表格中前三行，看有什么完成后，小组交流.

共同规律？再观察后三行.四、课堂小结，提炼观点

学生观察、思考、归纳、总结.1.一元二次方程的根与系数有怎样的关系？

归纳：⑴形如x2+px+q=O的一元二次方程2.对本节课你还有什么困惑？

两根的和、积分别与系数有如下关系：五、布置作业，巩固提升

Xl+X2=—P，X1X2=q.必做题：教材第17页第7题.

(2)形如ax2+bx+c=0(aW0)的一元二次方程选做题：已知方程5x2+kx—6=0的一个根是

的两根的和、积分别与系数有如下关系：2,求它的另一个根及k的值.

【板书设计】

一元二次方程的根与系数的关系

2.推理验证

.,bc

验证ax2+bx+c=0(a#0)的两根xi,X2与a,b,l.X|十X2=一1X1X2=]

ad

c的关系.

—b+\/b2-4ac,-b—「b2-4ac

设ax2+bx+c=0(a#0)的两根为xi,X2.2.X|+X2=一---+一------

_.-b+"\/b2-4ac-b-Jb2-4ac

则X产一或一，一或一.—2bb

-2a-af

由此可知

~b+*\/b2-4ac-b-*\/b2-4ac

—b+lb?-4ac,-b-\/b2-4acX|X2=2a2a

xi+X2=-----X------+------ir------=

(-b)2—(b2-4ac)c

-2b_b=4^=a-

~2a~=~a,

—b+~\/b2—4ac-b—*\/b2-4ac

21.3实际问题与一元二次方程

第1课时解决代数问题

【教学目标】【教学过程】

1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，一、创设情境，导入新课

总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送

2.通过学生自主探究，会根据传播问题、百分贺卡72张，则这个小组共多少人？

率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉分析：设这个小组X人，那么每个人要送给除

解题的具体步骤.了他自己以外的人，共送张贺卡，

3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程由此可列方程：.

的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步

符合问题的实际意义为标准.骤有哪些？

【重点难点】总结：(1)审：认真审题，分清题意，弄清已知

重点：利用一元二次方程解决传播问题、百分量和未知量，寻找相等关系；

率问题.(2)设：设未知数，分直接设未知数和间接设未

难点：如何理解传播问题的传播过程和百分率知数，到底选择何种方式设未知数，要以有利于列

问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率出方程为准则；

问题中的数量关系.(3)列：根据题目中的己知量和未知量之间的关

系列出方程；

第6页共63页

(4)解：求出所列方程的解；例2教材第19页探究2变化率问题.

(5)验：检验方程的解，首先检验计算是否正确，提出问题：

然后检验每个解是否符合问题的实际意义，再正确经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较

取舍；大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面

(6)答：对实际问题进行回答.地比较几个对象的变化状况？

提出问题：列一元二次方程解决实际问题的一总结：变化率问题的公式.

般步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步若平均增长(或降低)的百分率为X,增长(或降

骤有哪些相同点和不同点？低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它

二、师生互动，探究新知们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取+,

例1教材第19页探究1传播问题.降低取一).

提出问题：三、运用新知，解决问题

(1)本题中的已知量和未知量分别是什么？完成教材第21〜22页习题21.3第2〜4题.

(2)本题中我们设直接未知数还是间接未知四、课堂小结，提炼观点

数？1.列一元二次方程解决实际问题的一般步骤

(3)本题的数量关系是什么？设每轮传染中平是什么？

均一个人传染x个人，那么①患流感的这个人在第2.列一元二次方程解决实际问题中，最关键的

一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有是哪一步？检验应该要注意什么？

人患了流感.②在第二轮传染中，传染源是3.变化率问题和传播问题有什么规律？

人，这些人中每个人又传染了人，五、布置作业，巩固提升

那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有教材第22页习题21.3第5~7题.

人患流感.【板书设计】

(4)怎么列方程？解决代数问题

(5)方程的解是多少？10和-12都是这个实际贺卡问题

问题的解吗？列一元二次方程解决实际问题的一般步骤

如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少

(6)(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)验；(6)答.

人患了流感？

例1传播问题

请观察式子与

(7)1+x+x(1+x)1+x+x(1+例2变化率问题

x)+x[1+x+x(1+x)]能不能化简？请在课后写出

表示四轮传染、五轮转染后的患病人数的代数式，

并猜测n轮传染后的患病人数.

第2课时：

【教学目标】一、复习旧知，导入新课

1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量1.列一元二次方程解决实际问题的一般步骤

关系，列出一元二次方程解决几何问题.是什么？

2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将审；设；歹U；解；验；答.

图形进行适当变换，使列方程更容易.2.列方程解决实际问题中，最关键的是哪一

3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对步？

方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以3.列方程解决实际问题中，检验需要注意什

是否符合问题的实际意义为标准.么？

【重点难点】二、师生互动，探究新知

重点：通过实际图形问题，培养学生运用一元例1教材第20页探究3.

二次方程分析和解决几何问题的能力.提出问题：

难点：在探究几何问题的过程中，找出数量关(1)“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求什

系，正确地建立一元二次方程.么？应该如何设未知数？如何列方程？

【教学过程】(2)比较各组同学展示的设未知数和列方程的

过程，哪种方法列方程更简单？请选择其中一个方

第7页共63页

程进行解答.两横两竖的彩条进行平移，使得剩余图形形成一个

(3)比较各组同学展示的解答过程，思考设直接长方形，这个长方形的长和宽比较容易表示，可以

未知数或间接未知数，在解题过程中有什么不同？使我们更容易找到数量关系，列出更简单的方程.

检验要注意什么问题？三、运用新知，解决问题

总结：同一个题中，有时设直接未知数和间接教材第22页习题21.3第8题.

未知数都可以，如何选择取决于哪种方式列出的方四、课堂小结，提炼观点

程更简单.同理，同一个题目中的数量关系，有时可1.这节课你感受到了什么？

以直接利用来列方程，也可以转化之后来列方程，2.本节课你有什么收获，请你谈一谈.

如何选择也取决于哪种方法列出的方程简单，所以五、布置作业，巩固提升

设未知数和列方程时，可以比较多种方法，选择列

教材第22页习题21.3第10题.

出的方程比较简单的方法.

【板书设计】

例2教材第22页习题21.3第9题.

解决几何问题

提出问题：

列一元二次方程解决实际问题的一般步骤

本题的图形与例1的图形有什么区别与联系？

审：设；歹U；解；验；答.

本题能否在图形上作一些变换？怎么变？

例1例2

总结：例2的图形可以按照如图所示的方法将

第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质

22.1.1二次函数

【教学目标】

1.通过对实际问题情境的分析，让学生经历二

次函数概念的形成过程，理解二次函数及有关概念.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解

析式，进一步体会建立函数模型的思想.

广场前喷水池喷出的水珠

【重点难点】

重点：二次函数的概念.篮球和水珠在空中走过一条曲线，在曲线的各

难点：寻找、发现实际生活中的二次函数问题,个位置上，篮球(水珠)的竖直高度h与它距离投出

理解变量之间的对应关系.位置(喷头)的水平距离x之间有什么关系？上面问

【教学过程】题中变量之间的关系可以用二次函数来表示(教师

一、创设情境，导入新课引出课题).

二、师生互动，探究新知

教师展示课件，出示问题，引出课题.欣赏下面

两幅图片：1.问题探究

(1)正方体的六个面是全等的正方形，如果正方

体的棱长为x,表面积为y,那么y与x的关系可

以怎样表示？

(2)n边形的对角线条数d与边数n之间有怎样

的关系？

某工厂一种产品现在的年产量是件，计

姚明•次精彩的投球(3)20

划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量

增加x倍，那么两年后这种产品产量y将随计划所

定的x的值而定，y与x之间的关系应怎样表示？

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2.观察思考三、运用新知，解决问题

请观察下面三个式子，它们的变量对应规律可教材第29页练习题第1,2题.

用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？教师让学生思考、板演、纠错，教师巡视指导,

请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.讲评.

(l)y=6x2；