高二数学：4-1 数列的概念与简单表示法1（人教A版选择性必修第二册）（解析版）

课时同步练

4.1数列的概念与简单表示法（1）

一、单选题

1.己知数列｛4｝中，4,=2n+5,则%=（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】C

【解析】由已知得q=2x3+5=11.

故选C.

2.有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在

正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】对①，数列其通项公式对=（一1严，也可以是为=（-1）2,故①错误；

对②，数列的项与〃具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，

故②错误；

对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；

对④，由数列的定义知命题正确.

故选B.

3.己知数列-1,0,一，…，三一，…中，则2是其（）

98n272

A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项

【答案】B

〃一25

【解析】令——=一，化为：5层-72〃+144=0,

n272

解得〃=12,或榕/（舍去）.

故选B.

4.数列｛4｝的通项公式。“=2〃（〃€^1*）不满足下列递推公式的是（）

A.4=%_1+2（〃..2）B.%=2%_|-。"_2（九・3）

C.2(a”—2)=(a”—.2)D.an=2aH_((n..2)

【答案】D

【解析】将4=2〃代入四个选项得：

A.2/7—2(M—1)+2成立；

B.2“=2x2(”—1)—2("-2)成立；

C.2(2〃-2)=2(〃-1)[2〃一2(〃一1)]成立；

D.2〃=2x2〃不恒成立。

故选D

5.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为()

A.%=〃B.an=n+1C.a“=〃+2D.an=2n

【答案】B

【解析】A项4=n的前四项为1、2、3、4，与题意不符;

B项=〃+1的前四项为2、3、4、5，与题意相符；

C项4=〃+2的前四项为3、4、5、6,与题意不符；

D项勺=2〃的前四项为2、4、6、8，与题意不符；综上所述，

故选B

6.数列2,5,11,20,x,47…中的x等于()

A.28B.32C.33D.27

【答案】B

【解析】因为数列的前几项为2,5,11,20,x,47,

其中5—2=1x3,11—5=2x3,20—11=3x3,

可得20=4x3,解得x=32,

故选B.

7.数列-LL—……的一个通项公式是()

24816

1R(-1)"「(-1严D(-1)"

A.——

2”2"2"2"+,

【答案】B

【解析】所给的数列每一项的分子都是1,分母等于2",每一项的符号为（-1）

故此数列的一个通项公式是（一1），也可以通过将带入选项，验证选项，得到答案.

2"24816

故选B.

8.已知数列0,右,20,JTL..,则26是这个数列的（）

A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项

【答案】B

【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为4=J亚斤，

J3〃-1=2时.〃=7，为数列第七项，

故选B.

9.已知数列｛%｝对任意的p,qwN*满足与+«=%,+4,且4=-6,那么/等于（）

A.-165B.-33C.-30D.-21

【答案】C

【解析】•・•对任意的p,qCW,满足即M=ap+〃g,・•卬=夕=九时,有。2-=2%.

又〃2=-6,.・・〃8=244=4他=-24,故00=42+。8=-30.

故选C

10.数列｛4｝的通项公式是％=-1+4〃+21,（neN*）,这个数列第几项起各项都为负数？（）

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

【答案】C

【解析】由题，令%=—〃2+4〃+21<0.即（〃—7）（〃+3）>0.r.〃>7或〃<一3

ri®N*，：.n>7

数列从第8项起各项都为负,

故选C

11.已知q=1,an=n（.an+l-an）（“wN*），则数列｛6,｝的通项公式是（）

M-LI2

A.2n-lB.（之尸C.nD.n

n

【答案】C

［解析］由a“=〃（%+i-%），得：（〃+1）%=na“+］,=%

.♦・［巴4为常数列，即%=色=1,故4=〃，

InJn1

故选C

12.已知数列｛a.｝,q=苍生=y,a“=a“_］-4”2（〃一3），那么的。珀等于（）

A.x-yB.y-xc.-xD.-y

【答案】A

【解析】由已知得：

a3=a2-at=y-x,a4=a3-a2=-x,a5=a4-a3=-y,a6=a5-a4=x-y,

a,=a6-a5=x,as=ay-a6=y,4zg=«8-a7=y-x=a3,

故数列｛a,,｝为周期数列，周期为6,

•e•“2016=%35x6+6=4=%一，

故选A

二、填空题

13.已知数列｛%｝的通项公式为4=嬴石，那么再是这数列的第项.

【答案】9

11°

【解析】令:~—=-＞即/+2〃—99=0,解得〃=9或—11（舍去），

则击是这数列的第9项，

故填9.

14.数列—2,―,―,—W,…的一个通项公式为.

315356399

/1、〃2〃

【答案】㈠）而而而

【解析】数列中的每一项是一负一正交替出现，所以通项有(-1)”,

22x142x262x3

因为-T=...-;-=-，-=一二

31x3153x5355x7

/1\n2〃

所以"f(")(2西

故填(可(2-3+1)・

2a”,0叫；，

15.已知数列｛4｝满足。，向则q(w

C.1,

2a“T,]<a“<1，

4

【答案】y

3124

【解析】丫4=g，a,24—1=—,iZj2a2—>tz42a3—>>'-%

4

得到%=4，故数列为周期为4的周期数列，：.400c=%x249+4=q=1。

4

故填一

5

16.根据下列5个图形及相应点的个数变化规律.试猜测第6个图形中有个点.

【答案】31

【解析】观察图像得第一图1个点，第二图3=lx2+l个点，第三图7=2x3+l个点，第四图13

=3x4+1个点，第五图21=4x5+1个点，所以猜想第〃个图有(n-1)〃+1个点，

故4=(6-l)x6+l=31,

故填31.

2«

17.已知正项数列｛斯｝,满足斯+1=弓=」，则为与斯+i的大小关系是________.

2+an

【答案】为+15

【解析】：4用=弃」

2+%

2a-an

：.an..-an--一-——an=———

2+42+a.

•.•数列｛%｝为正项数列

,a,用一凡<°，即勺+1<%・

故填a,+i<%.

18.设数列｛%｝中，4=2,%+|=凡+〃+1,则通项an=.

【答案】」——^+1

2

[解析]:弓=2,a.=%+〃+1a,=a,i+(〃_l)+l,tz„_!=£Z,;_2+(n-2)+l,

a”_2=4-3+(〃—3)+1,…，。3=4+2+1,4=。1+1+1，a\—2=1+1

将以上各式相加得：a„=[(〃-1)+(〃—2)+(“-3)H--F2+1]+〃+1

(〃一—1)+1](〃一n(n+i]

222

故填」——^+1

2

三、解答题

19.已知数列｛aj满足a,.=%+i+2%,且《0=341,《2=1365,求a”，al3.

【解析】•••凡+2=/+1+2对，二当〃=10时，%2=41+2。10,

即1365=%+2x341,解得a”=683,

当〃=11时，a,3=«|2+2«n,即《3=1365+2x683,解得。仃2731

综上：q[=683,=2731

20.根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前5项，并由此归纳出它的通项公式.

(1)4=2,4+]=3%+2；

〃+2

(2)q=1,

【解析】(1),/at=2,an+i=3a„+2,

45

:.af=2=3-1,4=8=32—1,4=26=33—1,a4=80=3-1,a5=242=3-l,

所以，数歹U{%}的通项公式为q=3"—l(〃eN*)；

1〃+2

(2)va,=l,a=-a.

ll+]n+ln

23r456

/.4=—,%=—，W=2=—,a=—,&=o3=一.

2■22A252

所以，数列｛4｝的通项公式为勺=等

21.在数列｛凡｝中，已知a“=一一—,(n>2,rteN*).

an-\

⑴求证:%+2=%；

(2)若q=4,求4o的值；

(3)若。］=I,求4+4+4+“4+%+。6+%的值.

____1____1_

【解析】(1)