湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理检测卷含答案

第4章计数原理(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算C44+C5A.C72 B.C65 C.2.北斗七星自古是人们辨别方向、判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为()A.1021 B.1121 C.11423.已知x-13xn的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等,A.-8 B.8 C.4 D.-44.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目,派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点——“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点,每个景点至少有一名工作人员前往,其中工作人员甲、乙需要到同一景点调研,则不同的人员分配方案种数为()A.18 B.36 C.54 D.725.x-1x(1-x)4的展开式中xA.3 B.4 C.5 D.66.2021年4月24日是第六个“中国航天日”,今年的主题是“扬帆起航,逐梦九天”.为了制作一期展示我国近年来航天成就的展板,某校科普小组的6名同学计划分“神舟飞天”“嫦娥奔月”“火星探测”3个展区制作展板,每人只负责一个展区,每个展区至少有一人负责,则不同的任务分配方案有()A.990种 B.630种 C.540种 D.480种7.2020年4月22日是第51个世界地球日,今年的活动主题是“珍爱地球,人与自然和谐共生”.某校5名大学生到A,B,C三个社区做宣传,每个社区至少分配一人,每人只能去一个社区宣传.若甲、乙要求去同一个社区且不去A社区,则不同的安排方案共有()A.20种 B.24种 C.30种 D.36种8.以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个,则这2个三角形不共面的情况种数为()A.1480 B.1468 C.1516 D.1492二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列等式正确的是()A.Cnm=m+1n+1Cn+1C.Anm=nAn-1m-1 10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是()A.若任意选择三门课程,则选法种数为35B.若物理和化学至少选一门,则选法种数为30C.若物理和历史不能同时选,则选法种数为30D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为2011.关于(x-1)2021及其二项展开式,下列说法正确的是()A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021B.该二项展开式中第8项为-C20217x1C.当x=100时,(x-1)2021除以100的余数是9D.该二项展开式中不含有理项12.下列说法正确的是()A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类,不同的选法共有64种B.用1,2,3三个数字可以组成9个三位奇数C.从集合A={a,b,c,d}中任取2个元素组成集合B,则集合B中含有元素b的概率为1D.两个男生和两个女生随机排成一列,则两个女生不相邻的概率是1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知3x-2xn的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则n=14.现有甲、乙等5名教师要带3个兴趣小组外出学习,要求每个兴趣小组都有带队教师,且带队教师至多2人,但甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有种.(用数字作答)

15.在(x2-x-2)5的展开式中,x3的系数为.

16.A,B,C,D,E五个人站成一排,A和C分别站在B的两边(可以与B相邻,也可以与B不相邻)的不同站法共有种.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B,C三个智力竞赛项目,每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数.(1)甲、乙报同一项目,丙不报A项目;(2)甲不报A项目,且B,C项目报名的人数相同.18.(12分)设(x+1)(2x2-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a11(1)求a6的值;(2)求a0+22a2+24a4+…+210a10的值.19.(12分)已知3x-2xn(n∈N+)的展开式中第2项与第(1)求n的值;(2)求展开式中各二项式系数的和以及各项系数的和;(3)求展开式中系数绝对值最大的项.20.(12分)2020年1月29日,宁德市援鄂医疗队首批8名医护人员抵达武汉,投入疫情防控和治疗工作,其中3人安排到重症科室,其余5人安排到呼吸、感染、检验三个科室.(1)从8名医护人员中选出3人到重症科室,共有多少种不同的选法?(2)将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室,要求每个科室至少有1人,共有多少种不同的安排方法?(3)抗击疫情胜利后,8名医护人员站成一排合影留念,A,B两人要站在相邻位置,且不站在队伍两端,共有多少种不同的站位方法?21.(12分)在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的安排顺序?(2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序?(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的安排顺序?22.(12分)从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,用这四个数字组成无重复数字的四位数,所有这些四位数构成集合M.(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数;(2)求集合M中含有数字0的元素的个数;(3)从集合M中随机选择一个元素,求这个元素能被5整除的概率.答案与解析1.A因为Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1,所以C44+C54+C64=C2.B玉衡和天权都没有被选中的概率为C52C72=1021,所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1-3.D由条件可知Cn5=Cn7,所以n=12,x-13x12的展开式的通项为Tr+1=C12rx12-r·-13xr=-134.B若甲、乙到同一景点调研(无其他人),则有C32A33=18种方法,若甲、乙与另一人到同一景点调研(三人一起),则有C31A35.Cx-1x(1-x)4=x(1-x)4-1x(1-x)4,x(1-x)4的展开式的通项为Tr+1=xC4r(-x)r=C4r(-1)rxr+1,-1x(1-x)4的展开式的通项为Tk+1=-1xC4k(-x)k=-C4k(-1)kx6.C分成三类:①一组1人,一组2人,一组3人,不同的分配方案有C61C52C33A33=360(种);②一组4人,其他两组各1人,不同的分配方案有C64·C21C11A22·A7.B分2步进行分析:(1)安排甲和乙,有2种方法;(2)安排剩余的三人,可分为两类,①三个社区各安排一个,有A33种方法,②安排在其他两个社区,有C32A22种方法.故共有2(A8.B长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任意三个均不共线,故任取三个均可构成1个三角形,共有C83=56(个),从中任选两个,共有C562=1540种情况.长方体有六个面,六个对角面,每个面(对角面)的四个顶点共确定4个不同的三角形,故随机取出2个,则这2个三角形不共面的情况共有1540-12×C42=19.BCm+1n+1Cn+1m=m+1n+1·(n+1)!m!(n+1-m)!=m+1n-m+1·n!m!(n-m)!=m+1n-m+1Cnm≠Cnm,故A错误.An+1m+1-Anm=(n+1)!(10.ACD对于A,选法种数为C73=35,故A正确.对于B,若物理和化学选一门,其余两门从剩余的五门中选,有C21C52=20种选法;若物理和化学都选,剩下一门从剩余的五门中选,有C22C51=5种选法.故共有20+5=25种选法,故B错误.对于C,物理和历史同时选,有C22C51=5种选法,故不同时选的选法种数为35-5=30,故C正确.对于D,只选物理,不选化学,则历史也不选,有C42=6种选法;只选化学,不选物理,有C52=1011.BC偶数项的二项式系数之和为22020,故A错误;展开式中第8项为T7+1=C20217(x)2014·(-1)7=-C20217x1007,故B正确;当x=100时,(x-1)2021=(10-1)2021=C20210·102021-C20211·102020+…-C20212019·102+C20212020·101-C20212021=100(C20210·102019-C20211·102018+…-C20212019·100)+C20212020·101-1,∵C20212020·101-1=20209=20200+9,除以100的余数是9,∴当x=100时,(x-1)2021除以100的余数是9,故C正确;(x-1)2021的展开式的通项为Tr+1=C2021r·(x)2021-r(-1)12.CD对于A,第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类,有3种选法,同理,其他的3位同学也都各有3种选法,则不同的选法共有3×3×3×3=81(种),故A错误;对于B,个位数字可以放1,3,十位数字和百位数字都可以放1,2,3,所以可以组成2×3×3=18个三位奇数,故B错误;对于C,从集合A中任取2个元素可得到集合B的个数为C42,含有元素b的个数为C31,其概率P=C31C对于D,两个女生和两个男生随机排成一列,总的排法有A44=24(两个女生不相邻的排法有A22A32=12(种),所以两个女生不相邻的概率P=1224=1213.答案12;-1760解析由二项式系数的性质可得n2+1=7,得n=12.3x-2x12的展开式的通项为Tr+1=C12rx12-r3-214.答案54解析若甲教师和乙教师不带同一组,则共有C31C21A33=36种不同方案;若甲教师和乙教师带同一组,则共有15.答案120解析(x2-x-2)5=(x+1)5(x-2)5,(x+1)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r,(x-2)5的展开式的通项为Tt+1=C5tx5-t(-2)t,∴x3的系数为C52C55(-2)5+C5316.答案40解析按A和C中间人数分三种情况:(1)A和C中间站1人,必是B,则3人捆绑,与其他2人全排列,共有A22A33=12(种);(2)A和C中间站2人,一人是B,再选一人,最后一人在最左或最右,故共有C21A22A22×2=16(种);(3)A和C中间站317.解析(1)把甲、乙看成一个整体.甲、乙在三个项目中任选一个,有C31=3种选法;(2丁在三个项目中任选一个,有C31=3种选法;(3丙在除A项目外的项目中任选一个,有C21=2种选法.(4故共有3×3×2=18种报名方法.(5分)(2)若B,C项目各有一人,有C32C21若B,C项目各有两人,有C42C22所以报名方法共有6+6=12(种).(10分)18.解析(1)由题意知a6是(x+1)(2x2-1)5的展开式中x6的系数.(2x2-1)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x2)5-r(-1)r令10-2r=5,得r=52,舍去;令10-2r=6,得r=2.(4分故a6=(-1)2×23×C52=80.(6(2)令x=2,得3×75=a0+2a1+22a2+…+211a11,①(8分)令x=-2,得-75=a0-2a1+22a2-…-211a11,②(10分)由①+②2得a0+22a2+24a4+…+210a10=3×75-719.解析(1)由题意得Cn1∶Cn2=1∶3,n∈N+,(2)由(1)得原式为3x所以展开式中各二项式系数的和为27=128.(4分)令x=1,得展开式中各项系数的和为3×1-217(3)3x-2x7的展开式的通项为Tr+1=C7r(3x)7-r-2xr=设第(r+1)项的系数的绝对值最大,设f(r)=C7r×37-r×2r,即C7r×解得115≤r≤165,又r∈N+,故展开式中系数绝对值最大的项为T4=C73×37-3×(-2)3x7-3×32=-2220.解析(1)由题意得共有C83=56种不同的选法.(2(2)5个人按3,1,1分成3组,共有C53=10种分法,再分到三个科室,有A33=6种方法,此时共有10×6=605个人按2,2,1分成3组,共有C52C32A22=15种分法,再分到三个科室,有A3故共有60+90=150种不同的安排方法.(7分)(3)将A,B两人看成一个整体,且A,B不在两端,共有5A22=10种方法,(9剩下6人全排列,有A66=720种方法,(11则共有10×720=7200种不同的站位方法.(12分)21.解析(1)分两步:第一步,将4个舞蹈节目捆绑,与6个演唱节目全排列,有A77=5040种方法;(2第二步,将4个舞蹈节目全排列,有A44=24根据分步乘法计数原理,共有5040