苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-1-2椭圆的几何性质课件

知识点

椭圆的几何性质3.1.2

椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长为2a,短轴长为2b离心率e=

(0<e<1)知识拓展1.椭圆的通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径,通径长为

.2.焦半径:椭圆上的任一点P(x0,y0)与焦点F1或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径.记r1=

PF1,r2=PF2,则①当焦点在x轴上时,r1=a+ex0,r2=a-ex0;②当焦点在y轴上时,r1=a+ey0,r2=a-ey0.3.焦点弦:过焦点的直线与椭圆相交形成的弦.焦点弦中通径最短.4.最大角:已知椭圆C:

+

=1(a>b>0),F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,P是椭圆上的动点,当P为C的上(下)顶点时,∠F1PF2最大且∠APB最大.知识辨析1.椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点吗?2.若椭圆的中心在原点,顶点在坐标轴上,则一定能根据椭圆顶点的坐标判断椭圆焦点的位置

吗?3.椭圆的离心率e决定着椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆,这种说法正确吗?一语破的1.不一定是.椭圆的顶点是椭圆与其对称轴的交点.若椭圆的方程是标准方程,则此时椭圆的

对称轴是坐标轴,顶点可看作椭圆与坐标轴的交点.2.不一定.当椭圆的中心在原点时,若只知道椭圆的一个顶点坐标,或一条坐标轴上的两个顶

点坐标,无法判断焦点的位置;若知道不在同一条坐标轴上的两个顶点的坐标,则可判断焦点

位置.3.正确.由e=

=

可知,e越大,

越小,椭圆越扁;e越小,

越大,椭圆越圆.

1.已知椭圆方程,确定椭圆的几何性质的步骤(1)将所给方程化成标准形式;(2)判断焦点所在的坐标轴;(3)确定a,b,由a2=b2+c2求出c,从而确定相关性质.2.利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,通常用待定系数法:(1)与椭圆

+

=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为

+

=k1(k1>0,a>b>0)或

+

=k2(k2>0,a>b>0).(2)与椭圆

+

=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为

+

=1(a2>b2>k).定点1椭圆的几何性质及其应用 关键能力定点破典例(1)求两个顶点分别为(3,0),(-3,0),离心率为

的椭圆的标准方程;(2)过点(

,-

),且与椭圆

+

=1有相同焦点的椭圆的标准方程.解析

(1)若焦点在x轴上,则a=3,由

=

,得c=2

,∴b2=a2-c2=1,∴椭圆的标准方程为

+y2=1;若焦点在y轴上,则b=3,将

=

代入b2=a2-c2中,得a2-

a2=9,∴a2=81,∴椭圆的标准方程为

+

=1.故椭圆的标准方程为

+y2=1或

+

=1.(2)解法一:设所求椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0),由题意得c=

=4,又椭圆过点(

,-

),所以由椭圆的定义知2a=

+

=4

,所以a=2

,故b2=a2-c2=4.所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.解法二:设所求椭圆的方程为

+

=1(k<9),把点(

,-

)代入,得

+

=1,解得k=5或k=21(舍).所以所求椭圆的标准方程为

+

=1.

求椭圆离心率的两种方法(1)若已知a,c,则可直接利用e=

求解;若已知a,b(或b,c),可由a2=b2+c2求出c(或a),再代入e=

求解;(2)若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,由a2=b2+c2转化为关于a,c的齐次方程

或不等式,然后两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,解得e的值或范围,最

后结合0<e<1得出结果.定点2椭圆离心率的求解典例(1)若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,求椭圆的离心率;(2)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0),点F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,在椭圆C上存在点P,且P在以原点O为圆心,

c为半径的圆上,求椭圆离心率的取值范围.解析

(1)不妨设该椭圆的焦点在x轴上,根据题意得椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成等

边三角形,如图,则∠BF1F2=60°,tan∠BF1F2=

=

=

,所以b=

c,由a2=b2+c2=3c2+c2=4c2,得e2=

=

,因为0<e<1,所以e=

.(2)因为P在以原点为圆心,

c为半径的圆上,所以b≤

c≤a,又

c≤a⇒e≤

,b≤

c⇒

≤3⇒

≤3⇒

≤2⇒e≥

,所以

≤e≤

.故椭圆离心率的取值范围是

.与椭圆有关的最值问题的常用解法(1)利用定义将其转化为几何问题,解题时可结合椭圆的几何性质、平面几何中的定理、性

质等进行求解.特别地,椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值

为a+c,最小值为a-c.(2)利用换元法将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围.定点3与椭圆有关的最值问题典例已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e=

,长轴长为4,过点F的直线l与椭圆交于M,N两点(非长轴端点).(1)求椭圆C的方程;(2)已知点Q(0,2),求线段MQ长度的取值范围;(3)延长MO交椭圆C于点P,求△MNP的面积的最大值.思路点拨

(1)利用长轴长及离心率求出a,c,再利用b2=a2-c2求出b2,从而求得椭圆方程.(2)设点

M(x0,y0),利用两点间距离公式,结合点在椭圆上及变量的范围,即可求得MQ长度的范围.(3)设

直线l的方程为x=my+

,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与椭圆的方程,利用根与系数的关系表示出线段MN的长,结合点到直线的距离,表示出三角形的面积,最后根据基本不等式求面积的最

大值.解析

(1)由题意得2a=4,∴a=2.又∵e=

=

,∴c=

,∴b2=a2-c2=1.∴椭圆C的方程为

+y2=1.(2)设M(x0,y0),则

+

=1,y0∈[-1,0)∪(0,1],∴MQ=

=

=

,y0∈[-1,0)∪(0,1].结合二次函数的性质可知,线段MQ长度的取值范围是[1,2

)∪

.(3)设直线l的方程为x=my+

,M(x1,y1),N(x2,y2),联立

消去x,得(4+m2)y2+2

my-1=0.易知Δ>0,y1+y2=

,y1y2=

,∴MN=

=

.又原点O到直线l的距离d=

,∴P到直线l的距离为2d=

,∴S△MNP=

MN·2d=

.令

=t,则m2=t2-1,t≥1,则S△MNP=

=

≤

=2,当且仅当t=

时,取等号.所以△MNP的面积的最大值是2.1.解决定点问题,需要注意两个方面(1)抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以从斜率不存在或斜率为0的特殊情况

入手找出定点,为解题指明方向.(2)抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,其实质就是求解直线方程中参数之间

的关系,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线方程为y=kx+b,则直线恒过点(0,b),若直线方

程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0).2.定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,解决定值问题的常用方法:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.定点4与椭圆有关的定点、定值问题典例已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的右焦点和上顶点均在直线x+y-

=0上.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点A(2,1),若过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM和直线AN的斜率

分别为k1和k2,求证:k1+k2为定值.思路点拨

(1)求出直线与坐标轴的交点坐标,可得椭圆的右焦点和上顶点坐标,进而得c,b,再

由a2=b2+c2求出a2,从而得椭圆方程.(2)设直线方程为y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),将直线方程与椭

圆方程联立,结合根与系数的关系计算k1+k2即可.解析

(1)对于x+y-

=0,当x=0时,y=

,当y=0时,x=

,因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线x+y-

=0上,所以b=

,c=

,所以a2=b2+c2=6,所以椭圆的方程为

+

=1.(2)证明:易知B(3,0)在椭圆外,因为过点B(3,0)的直线