湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-2-2双曲线的简单几何性质练习含答案

3.2.2双曲线的简单几何性质基础过关练题组一根据双曲线的标准方程研究其几何性质1.(2020北京石景山期末)双曲线x24-y2A.32B.54C.72.(2022上海浦东期中)双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是()A.16B.116C.-16D.-3.(多选)(2022广东云浮期末)已知双曲线W:x22+m-yA.m∈(-2,-1)B.若W的顶点坐标为(0,±2),则m=-3C.W的焦点坐标为(±1,0)D.若m=0,则W的渐近线方程为x±2y=0题组二由双曲线的几何性质求其标准方程4.(2021湖南常德二中月考)已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,且经过点(2,2),则该双曲线的标准方程为()A.x24-y2=1B.y2C.x2-y24=1D.y2-5.以椭圆x24+y23=1A.y23-x2=1B.x2-C.x24-y23=1D.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.x2-y2=12B.x2-y2C.x2-y2=2D.x2-y2=27.(2022湖南师大附中期中)已知双曲线C与椭圆x29+y225=1有共同的焦点,且它们的离心率之和为145,题组三双曲线的渐近线8.(2022重庆国维外国语学校期中)已知椭圆x25+y2=1与双曲线x2a2-yA.y=±3xB.y=±3xC.y=±2xD.y=±2x9.(2022广东深圳中学期中)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线分别为正方形OABC的边OA,OC所在的直线(其中O为坐标原点),点B为该双曲线的一个焦点.A.2B.3C.4D.110.(2022山西长治二中期末)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若P为C左支上的一点,满足|PF1|=|F1F2|,且F1到直线PF2的距离为A.y=±73xB.y=±4C.y=±3xD.y=±10311.(2022北京十二中期末)已知双曲线C:x24-y28=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则双曲线C的实轴长为;△题组四双曲线的离心率12.(2022湖南雅礼中学期中)已知双曲线x2a2-y22=1(a>2)A.23C.233或13.(2022广东执信中学期中)点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,F1,F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长满足2|PF1|=|PF2|+|FA.2B.3C.2D.514.(2021湖南衡阳一模)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若A.(1,2)B.(3,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)题组五直线与双曲线的位置关系15.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是()A.(-2,-1)B.(1,2)C.(-2,2)D.(-1,1)16.(2022福建莆田十五中期末)设离心率为e的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,A.k2-e2>1B.e2-k2>1C.k2-e2<1D.e2-k2<117.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1作倾斜角为π6的直线,与双曲线交于A,B两点,则18.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.能力提升练题组一双曲线的几何性质及其应用1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,点P在直线x=c上运动,若∠A1PAA.233B.3222.(多选)(2022湖南邵阳十一中期末)已知双曲线C过点(3,2),且渐近线方程为y=±33x,则下列结论正确的是A.C的方程为x23-yB.C的离心率为3C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点D.直线x-3y-1=0与C有两个公共点3.(2022山东枣庄期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是C的右支上一点,PF1⊥PF2,PF1与y轴交于点M,若|F1O|=2|OM|(OA.y=±2xB.y=±2xC.y=±5xD.y=±3x4.(多选)(2022湖北武昌期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,O为坐标原点,若A.双曲线C的离心率为2B.四边形AMBO的面积为12aC.双曲线C的渐近线方程为y=±2xD.直线MA与直线MB的斜率之积为定值5.(2022湖南怀化期末)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d16.(2022江苏镇江中学期中)设双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值是8,则双曲线C的离心率是,此时,点P题组二直线与双曲线的位置关系7.(2021湖南武冈二中期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线与xA.52B.C.3D.28.(2022湖南名校联合体期末联考)设点P为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任意一点,双曲线E的离心率为3,右焦点与椭圆G:(1)求双曲线E的标准方程;(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于点A,B,O为坐标原点,求证:平行四边形OAPB的面积为定值,并求出此定值.

9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值m1,m2,且满足m(1)求双曲线的离心率;(2)若a=2,过点F1的直线交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O),求|AB|

10.[2021新高考八省(市)联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,(1)若点A的坐标为(-2,3),求双曲线C的方程;(2)设B,F分别为双曲线C的右顶点、左焦点,是否存在常数λ,使得∠AFB=λ∠ABF?如果存在,请求出λ的值;如果不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析基础过关练1.C由双曲线x24-y23=1,得a∴a=2,c=a2+b2=7,∴e=ca2.C双曲线方程可化为x2k+y24=1,易知k<0,所以双曲线的焦点在y轴上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2-k,又因为虚轴长是实轴长的2倍,所以2×4=2-3.BD因为方程表示双曲线,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,A错误;因为W的顶点坐标为(0,±2),所以-m-1=(2)2,解得m=-3,B正确;当m>-1时,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,当m<-2时,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,C错误;当m=0时,双曲线W的标准方程为x22-y2=1,则渐近线方程为y=±22x,即x±2y=0,D正确4.C由题意可设双曲线的标准方程是x2-y24=k(k≠0),将(2,2)代入,可得(2)2-224=k,解得k=1,所以双曲线的标准方程为5.B易知椭圆x24+y23=1∴双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).设双曲线的标准方程为x2a2则a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,则双曲线的标准方程为x2-y23=1.6.B由题意得a2=b2,则c=a2+b2=2a,所以双曲线的焦点坐标为(±因为焦点到渐近线的距离为1,所以2a2=1,解得a=1,则双曲线的标准方程为x2-y2=1.7.答案y24-解析因为双曲线C与椭圆x29+y225=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则c=25-9=4,ca+45=148.D易得椭圆的离心率为5-15=255,故255×ca=2,即ca=5,9.A由题意可知双曲线的两条渐近线互相垂直,则ba×-ba=-1,即a=b,故渐近线方程为y=±x,∵正方形OABC的边长为2,B为双曲线的一个焦点,∴|OB|=22,即c=22,则a2+b2=c2=8,即2a2=8,解得a=2(负值舍去10.C由题意知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+2c,则(2c)2=(a+c)2+(7a)2,得3c2-2ac-8a2=0,3·c2a2-2·ca-8=0,所以ca=2,故a2+b2=4a2,所以ba=3,11.答案4;32解析由双曲线C的方程可知其实轴长为4,右焦点为F(23,0),又因为|PO|=|PF|,所以点P在线段OF的中垂线上,所以点P的横坐标为3,易得双曲线C:x24-y28=1的渐近线方程为y=±2x,所以点P的纵坐标为±6,即△PFO的高为6,所以△PFO的面积为1212.A双曲线的渐近线方程为y=±2ax,因为两条渐近线的夹角为π3,所以直线y=2ax的倾斜角是π6或π3,即2a=tanπ6或2a=tanπ3,解得a=6或a=63,又因为a>2,则a=6,所以c=213.D设点P在双曲线的右支上,F1,F2分别为左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=2a,因为|F1F2|=2c,2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,所以|PF1|=2c-2a,|PF2|=2c-4a,因为∠F1PF2=90°,所以△F1PF2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,即c2-6ac+5a14.D由题意可设过点F1(-c,0)且与双曲线的一条渐近线y=bax平行的直线的方程为y=bax+bca,与另一条渐近线y=-bax的交点为M-c2,bc2a,由MF1·MF2>0得-c2,-bc15.D当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线l只与双曲线的左支或右支有一个交点,∵直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,∴k的取值范围为(-1,1),故选D.16.B当直线l的斜率k不存在时,直线l只与双曲线的一支相交,不满足题意,故k存在,由直线l过右焦点F,可设直线l的方程为y=k(x-c),易求得双曲线的渐近线方程为y=±bax,若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则|k|<ba,故k2<b2a2,即e2规律总结解决直线与双曲线的交点问题,可先把双曲线的渐近线与直线进行对比,然后把问题转化成渐近线的斜率与直线斜率之间的大小关系求解.17.答案3解析依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=33由y=33(设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-13所以|AB|=1+=1+=3.18.解析(1)由条件可知2a=4,ba=32,(2)联立y=k(x-1),x24-y因为l与双曲线交于不同的两点,所以3解得-1<k<1且k≠±32故k的取值范围为-1,-32∪能力提升练1.A设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,∠F2PA1=α,∠F2PA2=β,则∠A1PA2=α-β.依题意不妨设点P在第一象限,坐标为(c,t)(t>0),则tanα=c+at,tanβ=c-at,所以tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=c+at-c-at1+c+at·c-at=2at+b2t.因为t>0,所以t+b2t≥2b,当且仅当t=b时等号成立,则tan(α-β)≤2.AC由题意可设双曲线的方程为x23-y2=λ(λ>0),把(3,2)代入,得93-2=λ,即λ=1,∴双曲线C的方程为x23-y2=1,故A正确;由a2=3,b2=1,得c=a2+b2=2,∴双曲线C的离心率为23=233,故B错误;令x-2=0,得x=2,则ex-2-1=0,故曲线y=ex-2-1过定点(2,0),故C正确;双曲线的渐近线方程为x±3y=0,因为直线x-3y-1=0与双曲线的一条渐近线平行,所以直线x-3y-1=03.B易得F1(-c,0),F2(c,0),因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,因为∠F1OM=90°,∠MF1O=∠F2F1P,所以△MOF1∽△F2PF1,故|PF1||PF2|=|F1O||OM|=2,所以|PF1|=2|PF2|,因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,在Rt△PF2F1中,由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即16a4.ABD设M(x0,y0),则x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,且双曲线C的两条渐近线的方程分别为bx+ay=0和bx-ay=0,不妨设点A在直线bx+ay=0上,于是得|MA|=|bx0+ay0|a2+b2,|MB|=|bx0-ay0|a2+b2,从而得(2c)2=16·|bx0+ay0|a2+b2·|bx0-ay0|a2+b2=16·b2x02-a2y5.答案x23-解析如图,直线CD是双曲线的一条渐近线,其方程为y=bax,即bx-ay=0,且F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,故四边形ACDB是梯形,作EF⊥CD,垂足为E,因为F是AB的中点,所以|EF|=d1+d22=3,又因为|EF|=bca2+b2=b,所以b=3,因为双曲线的离心率为2,所以ca=2,即a26.答案5;-解析如图,设D为双曲线C的左焦点,连接PD,QD,则|QD|=|QF|,|PF|=|PD|+2,设△PQF的周长为l,则l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PD|+|QD|+2,因为|PQ|+|PD|≥|QD|=c2+b2,所以△PQF的周长l≥2c2+b2+2,因为△PQF的周长的最小值是8,所以2c2+b2+2=8,即c2+b2=9,即1+b2+b2=9,所以b=2,所以c=5,所以双曲线C的离心率e=ca=5,其方程为x2-y24=1.当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QD上,易得Q(0,2),D(-5,0),故点P的坐标为-57.D设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则有y0x0+c=1,y0x0-2c=-1,解得x0=c2,y0=32c,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,又因为点A,B在双曲线C上,所以x12a2-y18.解析(1)由题意可得ca=所以双曲线E的标准方程为x2-y2(2)易求得双曲线渐近线方程为y=±2x.设点P坐标为(x0,y0),过点P且与两条渐近线平行的直线分别为l1,l2,A在l1上,且l1的斜率为2,则l1,l2的方程分别为y-y0=2(x-x0),y-y0=-2(x-x0),联立y则A2x0-则B2x又因为渐近线方程为y=±2x,所以sin∠AOB=22所以S▱OAPB2=|OA|2×|OB|2×sin=3(2x0-y0又因为点P在双曲线上