新课标2025版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第1讲数学文化学案文新人教A版

PAGE1-第1讲数学文化渗透数学的美[典型例题](1)(2024·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例)，闻名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人满意上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至颈项下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm(2)(2024·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．【解析】(1)不妨设此人咽喉至肚脐的长度为xcm，则eq\f(26,x)≈0.618，得x≈42，故此人身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B.(2)依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．留意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故题中的半正多面体的棱长为eq\r(2)－1.【答案】(1)B(2)26eq\r(2)－1eq\a\vs4\al()数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容．数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美．纵观数学领域的一切公式、公理和定理，无不是对客观世界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映．[对点训练]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成改变根源的哲理，呈现了一种相互转化，相对统一的形式美．依据太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)解析：选B.函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18)，故选B.渗透古代名家(学派)的探讨[典型例题](1)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上探讨数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，依据点或小石子能排列的形态对数进行分类．如图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．依据图形的构成，记此数列的第2017项为a2017，则a2017－5＝()A．2023×2017 B．2023×2016C．1008×2023 D．2017×1008(2)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到随意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．【解析】(1)视察梯形数的前几项，得5＝2＋3＝a1，9＝2＋3＋4＝a2，14＝2＋3＋4＋5＝a3，…an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝eq\f(（n＋1）（2＋n＋2）,2)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n＋4)，由此可得a2017＝eq\f(1,2)×2018×2021＝1009×2021.所以a2017－5＝(1008＋1)(2023－2)－5＝1008×2023.(2)由题意，得S6＝6×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝eq\f(3\r(3),2).【答案】(1)C(2)eq\f(3\r(3),2)eq\a\vs4\al()本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的探讨故事为背景，本例(2)以我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景，分别考查了数列问题和圆内接正六边形的面积问题．其中毕达哥拉斯学派的“形数”问题，备受命题者的青睐，已成为高考命题的热点问题．[对点训练]1．(2024·长沙市统一模拟考试)我国南北朝时期的数学家、天文学家——祖暅，提出了闻名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”是高，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所载，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示三视图对应的几何体满意“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A．8－eq\f(4π,3) B．8－πC．8－eq\f(2π,3) D．4－eq\f(π,2)解析：选B.题中三视图对应的几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为2的半圆柱后剩余的部分，三视图对应的几何体的体积V＝23－eq\f(1,2)×π×12×2＝8－π，由祖暅原理得不规则几何体的体积为8－π，故选B.2．(2024·江西七校第一次联考)意大利闻名数学家斐波那契在探讨兔子繁殖问题时，发觉有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则a2017a2019－aeq\o\al(2,2018)等于()A．1 B．－1C．2017 D．－2017解析：选A.因为a1a3－aeq\o\al(2,2)＝1×2－1＝1，a2a4－aeq\o\al(2,3)＝1×3－22＝－1，a3a5－aeq\o\al(2,4)＝2×5－32＝1，a4a6－aeq\o\al(2,5)＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－aeq\o\al(2,n＋1)＝(－1)n＋1，所以a2017a2019－aeq\o\al(2,2018)＝(－1)2017＋1＝1，故选A.

渗透古代数学名著[典型例题](1)(2024·湖南省五市十校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学学问起到了很大的作用．如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入a的值为4，则输出的m的值为()A．19 B．35C．67 D．131(2)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与闻名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．把以上这段文字用数学公式表示，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为4eq\r(2)＋2eq\r(5)的△ABC满意sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)＋1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)－1)，试用上面给出的数学公式计算△ABC的面积为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)【解析】(1)由题意，执行程序框图，可得a＝4，m＝5，i＝1，m＝7，满意条件i≤4，执行循环体，i＝2，m＝11，满意条件i≤4，执行循环体，i＝3，m＝19，满意条件i≤4，执行循环体，i＝4，m＝35，满意条件i≤4，执行循环体，i＝5，m＝67，此时，不满意条件i≤4，退出循环体，输出m的值为67，故选C.(2)因为sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)＋1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)－1)，则由正弦定理得a∶b∶c＝(eq\r(2)＋1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)－1)．设a＝(eq\r(2)＋1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)－1)x，又周长为4eq\r(2)＋2eq\r(5)，所以4eq\r(2)＋2eq\r(5)＝(eq\r(2)＋1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)－1)x，解得x＝2.所以S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(42×（\r(2)－1）2×（\r(2)＋1）2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22×（\r(2)＋1）2＋22×（\r(2)－1）2－20,2)))\s\up12(2))))＝eq\r(3).故选A.【答案】(1)C(2)Aeq\a\vs4\al()中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之等宏大的数学家，以及《九章算术》等经典的数学传世之作，这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库，继新课程改革以来，高考题中出现了一些以古代名著为命题背景的试题，涉及的有《九章算术》、《数书九章》、《算法统宗》等．从某种意义上讲，这些试题的价值事实上已远远超出了试题本身．[对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝eq\f(1,12)×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为()A．3 B．3.1C．3.14 D．3.2解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得，体积为V＝πr2h.由题意知V＝eq\f(1,12)×(2πr)2×h，所以πr2h＝eq\f(1,12)×(2πr)2×h，解得π＝3.故选A.2．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，如图所示，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，则cos(α－β)的值为()A.eq\f(5,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(2,3) D．0解析：选A.设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为eq\f(2,3)，则cosα－sinα＝eq\f(2,3)，①sinβ－cosβ＝eq\f(2,3).②由题意可得α＋β＝eq\f(π,2)，所以cosα＝sinβ，sinα＝cosβ.①×②，可得eq\f(4,9)＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝eq\f(5,9).故选A.一、选择题1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A．104人 B．108人C．112人 D．120人解析：选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108.故选B.2．如图，半径为1的圆形古币内有一阴影区域，在圆内随机撒一大把豆子，共n颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m颗，则阴影区域的面积约为()A.eq\f(m,n) B.eq\f(n,m)C.eq\f(mπ,n) D.eq\f(nπ,m)解析：选C.设阴影区域的面积为S，由几何概型概率计算公式可得eq\f(S,π×12)＝eq\f(S,π)＝eq\f(m,n)，所以S＝eq\f(mπ,n)，故选C.3．将元代闻名数学家朱世杰的《四元玉鉴》中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用x表示壶中原有酒的量，可知最终输出的x＝0，则一起先输入的x的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(15,16)C．4 D.eq\f(7,8)解析：选D.这是一道函数与程序框图相结合的题，当i＝1时，酒量为2x－1；当i＝2时，酒量为2(2x－1)－1＝4x－3；当i＝3时，酒量为2(4x－3)－1＝8x－7；当i＝4时，酒量为0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故选D.4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于说明中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经验过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第20项为()A．180 B．200C．128 D．162解析：选B.依据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列．可得从第11项到20项为60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此数列第20项为200.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从其次天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人其次天至少走了()A．96里 B．48里C．72里 D．24里解析：选A.依据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为eq\f(1,2)的等比数列．设第一天走a1里，则其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)],1－\f(1,2))≥378，则a1≥192.则其次天至少走96里．故选A.6．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自诞生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，依据图示可知，孩子已经诞生的天数是()A．336 B．510C．1326 D．3603解析：选B.由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.7.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”(如图)，四个全等的直角三角形(朱实)，可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形(黄实)．若直角三角形中一条较长的直角边长为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,25) D.eq\f(25,73)解析：选C.因为直角三角形中一条较长的直角边长为8，直角三角形的面积为24，所以可得另外一条直角边长为6，所以小正方形的边长为8－6＝2，则“黄实”区域的面积为22＝4，因为大正方形的面积为82＋62＝100，所以小球落在“黄实”区域的概率为eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，故选C.8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标记着中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq\f(7,2)平方米，则cos∠AOB＝()A.eq\f(1,25) B.eq\f(3,25)C.eq\f(1,5) D.eq\f(7,25)解析：选D.如图，依题意AB＝6，设CD＝x(x>0)，则eq\f(1,2)(6x＋x2)＝eq\f(7,2)，解得x＝1.设OA＝y，则(y－1)2＋9＝y2，解得y＝5.由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(25＋25－36,2×5×5)＝eq\f(7,25)，故选D.9．(2024·昆明市质量检测)数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项起先，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S2019＝F2021－1 B．S2019＝F2021＋2C．S2019＝F2020－1 D．S2019＝F2020＋2解析：选A.依据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为()A.eq\f(39,2) B.eq\f(75,2)C．39 D.eq\f(601,8)解析：选B.设下底面的长为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)≤x<9))，则下底面的宽为eq\f(18－2x,2)＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝eq\f(1,6)×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋eq\f(17x,2)＋eq\f(39,2)，故当x＝eq\f(9,2)时，体积取得最大值，最大值为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)×eq\f(17,2)＋eq\f(39,2)＝eq\f(75,2).故选B.11．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形态一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V＝eq\f(1,3)πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高)()A．2寸 B．3寸C．4寸 D．5寸解析：选A.由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为eq\f(1,2)×(12＋6)＝9(寸)，则盆中水的体积为eq\f(1,3)π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为eq\f(342π,π×122)≈2(寸)，故选A.12．(2024·江西玉山一中期中)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图．在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选A.如图，作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD.因为PQ⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR为△PBD中BD边上的高．设AB＝BD＝CD＝1，则eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3)).又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，故选A.13．杨辉三角又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元11世纪首先运用“贾宪三角”进行高次开方运算，而1261年杨辉在《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于杨辉三角．该表由若干行数字组成，从其次行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最终一行仅有一个数，则这个数是()A．2017×22016 B．2018×22015C．2017×22015 D．2018×22016解析：选B.由题意，最终一行为第2017行，且第1行的最终一个数为2×2－1，第2行的最终一个数为3×20，第3行的最终一个数为4×21…第n行的最终一个数为(n＋1)×2n－2，则第2017行仅有的一个数为2018×22015，故选B.14．(2024·蓉城名校第一次联考)高斯是德国闻名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析：选D.依据题意可得函数y＝{x}在x轴正半轴的图象如图所示，函数y＝1－kx为过定点P(0，1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根且k为正实数，则直线y＝1－kx应在PA，PB之间以及恰好在PA处，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).故选D.二、填空题15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，非常奇妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽视不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝eq\f(41,4)，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2＝41π.答案：41π16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲解并描述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“