湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-3-3等比数列的前n项和课件

1.等比数列前n项和公式2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式

和前n项和公式求出另外两个量.已知量首项、公比与项数首项、末项与公比求和公式Sn=

Sn=

1.3.3等比数列的前n项和1|

等比数列的前n项和1.当公比q>0且q≠1时,设A=

,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数型函数.2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是关于n的正比例函数.2

|

等比数列前n项和的函数特征已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则Sn有如下性质:1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+.2.当k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列;当q≠-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…

是等比数列.3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则

=q;若项数为2n+1,则

=q.4.当q=1时,

=

;当q≠±1时,

=

.3

|

等比数列前n项和的性质1.等比数列的前n项和可以为0吗?可以.比如1,-1,1,-1,1,-1的和.2.数列{an}的前n项和为Sn=an+b(a≠0,a≠1),则数列{an}一定是等比数列吗?不一定.当q≠1时,等比数列的前n项和为Sn=

=

-

qn.可以发现当b=

-1时,数列{an}才为等比数列.知识辨析1.当条件与结论间的联系不明显时,可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.2.求等比数列的前n项和时,若公比q未知,则要分q=1和q≠1两种情况,然后根据前

n项和公式的特点选择合适的公式求解.1等比数列前n项和公式及其应用

典例设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.思路点拨思路一:设Sn=Aqn-A(A≠0)

由S4=1,S8=17,求出A,q

求出Sn.思路二:将S4=1,S8=17代入Sn=

中,求出a1,q

求出Sn.解析

解法一:设数列{an}的公比为q.由S4=1,S8=17,知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0),∴

两式相除,化简得q4=16,∴q=±2.当q=2时,A=

,Sn=

(2n-1);当q=-2时,A=

,Sn=

[(-2)n-1].解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,由S4=1,S8=17,知q≠±1,∴

两式相除并化简,得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.当q=2时,a1=

,Sn=

=

(2n-1);当q=-2时,a1=-

,Sn=

=

[(-2)n-1].1.恰当使用等比数列前n项和的相关性质可以避繁就简,不仅可以使运算简便,还

可以避免对公比q的讨论.解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件,并结

合题设条件寻找使用性质的切入点.2.利用等比数列前n项和的性质答题技巧(1)解决等比数列中高次方程问题时,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用

两式相除,以达到整体消元的目的.(2)在遇到奇数项和与偶数项和时,如果总项数为2n,要优先考虑利用S偶=S奇·q,求公

比q.2等比数列前n项和的性质及其应用

典例

(1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为

(

)A.2

B.4

C.8

D.16(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于

(

)A.80B.30C.26D.16思路点拨

(1)利用

=q直接求解.(2)思路一:由Sn,S3n求出a1,q

求出S4n.思路二:当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列

求出S4n.思路三:易知q≠1,故可由Sn=

推出Sn,S3n,S4n之间的关系

求出S4n.思路四:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q

求出S4n.CB解析

(1)设这个等比数列为{an},其项数为2k(k∈N+),公比为q,则其奇数项之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,偶数项之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q=

=

=2,∴等比数列{an}的所有项之和S2k=

=22k-1=170+85=255,∴22k=256,解得k=4,∴这个等比数列的项数为8.故选C.(2)解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.由已知得,Sn=

=2①,S3n=

=14②,

,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0.∵数列{an}的各项均为正数,∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q=

.∴a1=

=2(

-1),∴S4n=

=

=2×15=30.解法二:易知q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,又Sn=2,S3n=14,∴(S2n-2)2=2×(14-S2n),即

-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵

=

=2,∴S4n-S3n=Sn·23=16,∴S4n=S3n+16=30.解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由解法一知,q≠1,∴S4n=

=

=

+qn·

=Sn+qnS3n.这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,要求S4n,只需求出qn即可.∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q

2n),∴

=1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.解法四:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值,∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1,由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3=

=14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.∵an>0,∴q=2,∴S4=

=2×15=30.1.分组求和法分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn=an+bn的形式的数列求和问

题,其中数列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列.其基本的

解题步骤为:(1)准确拆分,根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和.(2)分组求和,分别求出各个数列的和.(3)得出结论,对拆分后每个数列的和进行组合,解决原数列的求和问题.2.错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法,一般可解决形如一个等差数列和一个等

比数列对应项相乘所得数列的求和问题.这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n

项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.3与等比数列有关的数列求和应用错位相减法的一般步骤:(1)两边同乘公比q,写出Sn与qSn的表达式;(2)对

乘公比前后的两个式子进行错位相减,注意公比q≠1这一前提,如果不能确定公

比q是不是1,应分两种情况讨论.

典例已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),a4=81.(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;(2)若数列

为等差数列,求实数p的值;(3)求数列{an}的前n项和Sn.解析

(1)由an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),得a4=2a3+24-1=81,解得a3=33,同理,得a2=13,a1=5.(2)∵数列

为等差数列,且

-

=

=

=1-

(n≥2,n∈N+),∴1-

是与n无关的常数,∴1+p=0,即p=-1.(3)由(2)知,等差数列

的公差为1,∴

=

+(n-1)=n+1,∴an=(n+1)×2n+1,∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n,记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①,则2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②,①-②,得-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+

-(n+1)×2n+1=-n×2n+1,∴Tn=n×2n+1,∴Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1).解决等差数列与等比数列综合问题的关键在于用好它们的有关知识,理顺两

个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量,即a1,d与b1,q来表示数

列中的所有项,还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化.4等差数列、等比数列的综合应用问题

典例已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),数列{bn}是等比数列(n∈N+),a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若cn=

设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.解析

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由题意得

解得

∴an=2n+1,bn=2n-1.(2)由(1)知,Sn=

=n(n+2),∴cn=

在数列{cn}的前2n项中,所有奇数项的和为1-

+

-

+…+

-

,所有偶数项的和为21+23+25+…+22n-1,∴T2n=

+(21+23+25+…+22n-1)=1-

+

=

-

.

通过数列在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养数列在实际问题中有广泛的应用,在此类问题中,建立数列模型是关键,在建

立数列模型的过程中发展数学建模的核心素养,然后利用数列的通项公式、前n

项和公式、递推公式等知识求解,在解模过程中发展逻辑推理的核心素养.素养解读

例题从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,2021年投入资金1000万元,以后每年投入比上年减少10%.

预测显示,2021年当地旅游业收入为300万元,以后每年收入比上年增加20万元.根

据预测,解答以下问题:(1)从2021年至2030年,该地十年的旅游业收入共计多少万元?(2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入?(参考数据:0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.15009,0.919≈0.13509)典例呈现信息提取①由投入资金的相关信息可建立等比数列模型;②由旅游业收入的相

关信息可建立等差数列模型.解题思路

(1)通过构建的等差数列模型,求等差数列的通项和前n项和,代入求值

即可.以2021年为第1年,设第n年旅游业收入为an万元,则数列{an}是以300为首项,20为

公差的等差数列,设其前n项和为An,故an=300+20(n