湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-3-1 1-3-2等比数列与指数函数课件

1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,

那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的公比.2.等比数列中的每一项都不为0,因此公比q≠0.3.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之

比都是同一个常数,那么此数列不是等比数列.1.3.1等比数列及其通项公式1.3等比数列1.3.2等比数列与指数函数1|

等比数列的概念1.等比数列的通项公式an=a1qn-1涉及四个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个量,就

能求出第四个量.2.等比数列{an}的通项公式an=a1

(q≠0)可以推广为an=amqn-m(q≠0),即已知等比数列的任意两项,都可以求出数列的任何一项.2

|

等比数列的通项公式1.“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,当a,b同号时,a,b的等比中

项有两个,且它们互为相反数.2.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项

与后一项的等比中项.3|

等比中项1.在等比数列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则akal=aman.特别地,若m+n=2r(m,n,r

∈N+),则aman=

.2.若数列{an}是公比为q(q>0)且各项均为正数的等比数列,则数列{logban}(b>0且b

≠1)是公差为logbq的等差数列;若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{

}(b>0且b≠1)是公比为bd的等比数列.3.在公比为q(q≠-1)的等比数列{an}中,依次取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或

)的等比数列.4.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列

是公比为

的等比数列,数列{

}是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为

|q|的等比数列.4|等比数列的性质5.若数列{an}是公比为q的等比数列,则在数列{an}中,每隔k(k∈N+)项取出一项,按

原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.6.在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.7.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与

也都是等比数列,公比分别为pq和

.1.等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=

·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).(2)任意指数型函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,……,

f(n)=kan,……构成等比数列{kan},其首项为ka,公比为a.2.等比数列的单调性5|等比数列与指数函数a1的正负a1>0a1<0q的范围0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于一个常数,这个数列是

等比数列吗?不一定.当这个常数为同一个常数时才是等比数列.2.存在既是等差数列,又是等比数列的数列吗?存在.当数列为非零常数列时,它既是等差数列又是等比数列,常数列0,0,0,…是等

差数列,不是等比数列.3.2和8的等比中项是4吗?不是.应该是±4,可以说4是2和8的等比中项.4.若等比数列{an}的首项为正,则该数列的所有奇数项都是正数吗?是.设等比数列{an}的公比为q,则其奇数项为a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N+),因此当a1>

0时,a2n-1>0.等比数列{an}的所有奇数项、偶数项的符号分别相同.知识辨析1.定义法:若数列{an}满足

=q(q为常数且不为零)或

=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.2.等比中项法:对于数列{an},若

=anan+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.3.通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=cqn(c≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据.1等比数列的判定(证明)

典例已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.解析

(1)因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1-4,解得a1=3.(2)证明:因为Sn=2an+n-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-5,所以Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)(n≥2),即an=2an-1-1(n≥2),所以an-1=2(an-1-1)(n≥2),又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),易知b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.1.在解决等比数列问题的过程中常需要设未知量,为了尽量减少未知量的个数,常

采用对称设法:当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称依次设项即

可.如三个数成等比数列,可设为

,a,aq.当项数n为偶数且公比大于0时,先设中间两个数为

和aq,再以公比为q2向两边对称依次设项即可.如四个数成等比数列,可设为

,

,aq,aq3.2.构造等比数列求通项公式当已知数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的

等比数列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型:2等比数列的通项公式及其应用(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化为an+1-

=c

,当a1-

≠0时,数列

为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2-a1

≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列.(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化为an+1-

=c

或将递推公式两边同除以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化为an+1-

=c

+dn,即(2)型.

典例1在数列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.思路点拨思路一:引入参数λ,使an+1+λ=3(an+λ),则数列{an+λ}为等比数列.思路

二:通过观察递推公式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式.解析

解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ,又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1).∵a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2),两式相减,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,∴{an+1-an}是首项为4,公比为3的等比数列,∴an+1-an=4×3n-1.∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1.解题模板

构造法求数列的通项公式:在条件中出现an+1=kan+b时,往往构造等比

数列{an+λ},方法是把an+1+λ=k(an+λ)与an+1=kan+b对照,求出λ后再求解.

典例2在数列{an}中,已知a1=

,an+1=

an+

,求数列{an}的通项公式.思路点拨根据递推公式的特征,用待定系数法构造等比数列求解.解析

令an+1-A×

=

,得an+1=

an+

×

.根据已知条件得

=1,即A=3,所以an+1-3×

=

.又a1-3×

=-

≠0,所以

是首项为-

,公比为

的等比数列,所以an-3×

=-

×

,所以an=3×

-2×

.方法归纳

形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的递推公式,除利用待定系数

法直接化为等比数列外,也可以两边同除以qn得

=

·

+k,进而化为等比数列,还可以两边同除以pn得

=

+k

,再利用累加法求出

,进而求得an.1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方

法,则需建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的

有关性质来求解,那么会起到化繁为简的效果.2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.3等比数列性质的应用

典例已知{an}为等比数列.(1)若{an}满足a2a4=

,求a1

a5;(2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解析

(1)在等比数列{an}中,∵a2a4=

,∴

=a1a5=a2a4=

,∴a1

a5=

.(2)由等比中项,化简条件得

+2a6a8+

=49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7.(