湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-2-3等差数列的前n项和课件

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=

=na1+

d.2.公式Sn=

反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和,因此常与性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq结合使用.1.2.3等差数列的前n项和1|

等差数列前n项和公式的理解等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式Sn=na1+

=

n2+

n.(1)当d≠0时,Sn可看成关于n的二次函数,注意其常数项为0.点(n,Sn)是抛物线Sn=

n2+

n上一系列离散的点.(2)当d≠0时,

=

n+

可看成关于n的一次函数,则

是公差为

的等差数列.2

|

等差数列前n项和公式的函数特征性质1公差为d的等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S

2k,…组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S

偶-S奇=nd,

=

(S奇≠0,an≠0);若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)

an,S奇-S偶=an,

=

(S奇≠0)性质3{an}为等差数列⇒

为等差数列性质4若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则Sn,

Tn之间的关系为

=

(bn≠0,T2n-1≠0)3|

等差数列前n项和的性质1.若一个数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列

吗?不一定.当二次函数的常数项为0时才为等差数列.2.若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=-

处取得吗?不一定.只有当-

是正整数时才成立.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S12-S9成等差数列吗?不是.由等差数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.知识辨析在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解

决等差数列问题的一般思路为:设出基本量a1,d,构建方程组,利用方程思想求解.当已知首项、末项和项数时,用公式Sn=

较简便,使用此公式时注意结合等差数列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+

d较简便.1等差数列前n项和公式及性质

典例已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求S3m.思路点拨思路一:用方程思想求出a1,d,再代入公式求解.思路二:利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m或

,

,

成等差数列解题.解析

解法一:设等差数列{an}的公差为d,由

得

解得

故S3m=3ma1+

d=210.解法二:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列,∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.解法三:由等差数列前n项和的性质可知,

,

,

成等差数列,∴

=

+

,即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下:(1)函数法:将求Sn的最大(小)值问题转化为求二次函数的最大(小)值问题,解题时

注意n∈N+;(2)利用

或

寻找正、负项的分界点,当a1>0,d<0时,正项和最大,当a1<0,d>0时,负项和最小,进而得到Sn的最大(小)值.2等差数列前n项和最值的求法

典例在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n项和Sn的最大值.解析

解法一:设等差数列{an}的公差为d.因为S8=S18,a1=25,所以8×25+

d=18×25+

×d,解得d=-2.所以Sn=25n+

×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169.解法二:同解法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由

得

因为n∈N+,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为

=169.1.倒序相加求和等差数列前n项和公式的推导过程采用了倒序相加求和.2.裂项相消求和(1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,并使它们求和的

过程中出现相同的项,这些相同的项能够相互抵消,从而达到求和的目的.(2)常见的裂项技巧:①已知{an}是等差数列,其公差为d(d≠0),则bn=

=

×

.②an=

=

.③an=

3与等差数列有关的数列求和=

.④an=

=

-

.⑤an=loga

=loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1.

典例在等差数列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn为其前n项和,求

+

+…+

.解析

由题意得Sn=