苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5-1导数的概念课件

函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为

.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.第5章导数及其应用5.1导数的概念知识点1

平均变化率如图,设Q为曲线C上不同于P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线,随着点Q沿曲线C向

点P运动,割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在

点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l称为曲线在点P处的切线.

知识点2

曲线上一点处的切线1.瞬时速度一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率

无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.2.瞬时加速度一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率

无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.知识点3

瞬时速度与瞬时加速度1.函数在一点处的导数设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值

=

无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称为

瞬时变化率),记作f'(x0).通常又可表示为f'(x0)=

.函数y=f(x)在x=x0处的导数还可以记作y'

.2.导数的几何意义导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.3.导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化,因知识点4

瞬时变化率——导数而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也简称为f(x)的导数.瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,即v(t)=S'(t);瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数,即a(t)=v'(t).f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值.知识辨析1.Δx和Δy一定是正数吗?2.Δx无限趋近于0与Δx=0的意思相同吗?3.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变化,对吗?4.f'(x)与f'(x0)表达的意思相同吗?5.运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0,那么该时刻物体一定停止运动吗?一语破的1.不一定.Δx可正、可负,但不能为0;Δy可正、可负、可为0(当f(x)为常数函数时,Δy=0).2.不相同.Δx无限趋近于0是一种极限思想,它无限逼近于0,但是不等于0.3.不对.只能说明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在区间[x1,x2]内可以有变化.4.不相同.f'(x)表示函数f(x)的导函数,是一个变量,而f'(x0)表示f'(x)在x=x0处的函数值,是确定的值.5.不一定.瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻变化得快慢,瞬时加速度为0时,速度不一定为0.定点1平均变化率与瞬时变化率关键能力定点破

平均变化率:对于函数y=f(x),在自变量x从x0变化到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),

则称

=

为函数f(x)在点x0附近的平均变化率.瞬时变化率:在上述过程中,当Δx无限趋近于0,即x1无限趋近于x0时,称

=

为f(x)在x=x0处的瞬时变化率.平均变化率与瞬时变化率是两个不同的概念,但可以用平均变化率的值来估算瞬时变化率的

值,当Δx无限趋近于0时,平均变化率无限趋近于的常数即为瞬时变化率.典例已知自由落体的物体的运动方程为s=

gt2,求:(1)物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;(2)物体在t0时刻的瞬时速度.解析

(1)物体在t0到t0+Δt这段时间内路程的增量Δs=

g(t0+Δt)2-

g

,因此,物体在这段时间内的平均速度

=

=

=

g·

=

g·(2t0+Δt).(2)物体在t0时刻的瞬时速度v=

=

g(2t0+Δt)=gt0.方法技巧

求瞬时速度的步骤:(1)求平均速度

,(2)令Δt→0,求出瞬时速度.

1.导数定义的等价形式

y'=

;

y'=

;

y'=

.注意:自变量之差与函数值之差要相互对应.2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率:

=

;定点2求函数在某点处的导数(3)取极限,得导数:f'(x0)=

.典例(1)下列各式中正确的是

(

)A.y'

=

B.y'

=

C.y'

=

D.y'

=

(2)已知函数f(x)在x=x0处可导,若

=1,则f'(x0)=

(

)A.1

B.

C.3

D.0CB解析

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数可表示为y'

=

,其中Δy是函数值的差,Δx是自变量的差,显然A、B、D都不符合;对于C,Δx→0等价于x→x0,所以y'

=

.故选C.(2)

=3

=3f'(x0)=1,所以f'(x0)=

.故选B.易错警示

导数的定义有多种等价形式,其本质结构都是f'(x0)=

,应用时注意Δx与Δy的取值要对应.

1.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程(1)点P(x0,f(x0))为切点;(2)切线斜率k=f'(x0);(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).2.曲线y=f(x)过点P(x0,f(x0))的切线方程(1)点P可能是切点,也可能不是切点;(2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关,此时求切线方程的一

般步骤如下:①设出切点(x1,f(x1));②求出函数f(x)在点(x1,f(x1))处的导数f'(x1);定点3求曲线的切线方程③写出切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0,f(x0))代入,求得x1;④将x1代入切线方程,化简得到最终方程.3.注意(1)直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线的切线,如图中的直线l1.(2)当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如图中的直线l2,其中N

是切点.

典例已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(1,-2).(1)求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;(2)求曲线y=f(x)过点P的切线方程.思路点拨

(1)在点P处的切线,则P为切点

切线斜率f'(1)

切线方程.(2)过点P,则P不一定是切点

设出切点坐标(x0,

-3x0)

切线斜率f'(x0)

利用P在切线上求出x0

切线方程.解析

(1)

=

=3x·Δx+3x2+(Δx)2-3,当Δx→0时,

→3x2-3,∴f'(x)=3x2-3,则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为f'(1)=0,∴所求切线的方程为y=-2.(2)设切点坐标为(x0,

-3x0),则由(1)知切线的斜率为f'(x0)=3

-3,∴切线的方程为y-(

-3x0)=(3

-3)(x-x0),又切线过点P(1,-2),∴-2-(