苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-2-1等差数列的概念 4-2-2等差数列的通项公式课件

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,

那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用d表示.在等差数列

{an}中,始终有an+1-an=d.4.2

等差数列知识点1

等差数列的概念4.2.1

等差数列的概念4.2.2

等差数列的通项公式1.等差数列的通项公式一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有an=a1+(n-1)d.这就是等差数列{an}的通项公式,其中a1

为首项,d为公差.2.等差数列与一次函数的关系由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一

些等间隔的点,其中,点的横坐标是正整数,a1-d是直线在y轴上的截距,公差d是该直线的斜率,

即自变量每增加1,函数值增加d.知识点2

等差数列的通项公式

如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=

,我们把A=

叫作a和b的等差中项.知识点3

等差中项性质1:若{an}是公差为d的等差数列,则an=am+(n-m)d(n,m∈N*,m≠n),d=

.性质2:若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an,特别地,若k+l=2p,则ak+al=2ap.性质3:若{an}是等差数列,其公差为d,则{a2n}也是等差数列,其公差为2d.性质4:若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列.性质5:若{an}是等差数列,其公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.性质6:若{an}是等差数列,其公差为d,则当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递

减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.知识点4

等差数列的常用性质知识辨析1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列吗?2.等差数列的定义用符号可以表示成an-an-1=d或an+1-an=d,这两个关系式在任何条件下都适用

吗?3.等差数列的通项公式一定是关于n的一次函数吗?4.等差数列{an}中必有a2+a3=a5吗?一语破的1.不一定.差是同一个常数时才是等差数列.2.不是.使用关系式an-an-1=d时,要保证n∈N*且n≥2,使用关系式an+1-an=d时,要保证n∈N*.3.不一定.等差数列的通项公式中变量n的系数d可以等于0,且变量n∈N*.4.不是.在使用等差数列的性质:若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an时,要注意等式两边项

的个数必须相同,一般情况下,a2+a3=a1+a4≠a5.判断一个数列是不是等差数列的常用方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)⇔数列{an}是等差数列,注意要保证条件中

最小的n值满足a2-a1=d这一关键条件.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列.(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列(注意此

方法一般不用作证明).定点1等差数列的判定(证明) 关键能力定点破典例1已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),证明数列{an}为等差数列.证明

(等差中项法)由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,两式相减并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,因此an是an-1与an+1的等差中项,故数列{an}为等差数列.典例2在数列{an}中,a1=

,2an+1an=an-an+1.(1)求a2,a3;(2)证明数列

为等差数列,并求数列{an}的通项公式.思路点拨

(1)把n=1,2分别代入数列的递推公式即可求出a2,a3.(2)把递推公式变形,通过两边同除以an+1an,得到后一项与前一项的差为同一个常数,进而得证,

再写出通项公式.解析

(1)因为2an+1an=an-an+1,所以当n=1时,2a2a1=a1-a2,则2a2×

=

-a2,即

a2=

,解得a2=

,当n=2时,2a3a2=a2-a3,则2a3×

=

-a3,即

a3=

,解得a3=

.(2)因为2an+1an=an-an+1,所以

-

=2,又

=3,所以数列

是以3为首项,2为公差的等差数列,故

=3+(n-1)×2=2n+1,则an=

(n∈N*).1.求等差数列通项公式的常见方法(1)基本量法:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1,d,即可得出数列的通项公式;(2)待定系数法:设通项公式为an=An+B,利用条件构建方程组,求出A,B,即可得数列的通项公

式;(3)利用等差数列的性质:若{an}为等差数列,则可利用d=

(n,m∈N*,m≠n)求出公差d,即可得出数列的通项公式,一般已知数列中的两项时用这种方法较简便.2.利用递推关系进行转化,构造等差数列,常见的转化形式如下(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.(2)转化为

-

=常数,则数列

是等差数列.定点2等差数列通项公式的求解及应用 (3)转化为

-

=常数,则数列

是等差数列,其中c为常数.(4)转化为

-

=常数,则数列{

}是等差数列.(5)转化为

-

=常数,则数列{

}是等差数列.典例1(1)已知等差数列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}满足a1=2,(n-1)an=nan-1+n(n-1)(n≥2),求{an}的通项公式.解析

(1)解法一:由题意得

解得

或

∵d>0,∴a1=-8,d=2,∴数列{an}的通项公式为an=2n-10.解法二:由题意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,则

解得

或

又d>0,∴a2=-6,a6=2,∴d=

=2,∴数列{an}的通项公式为an=-6+(n-2)×2=2n-10.解法三:由解法二知a4=-2,则a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2.∵d>0,∴d=2,∴数列{an}的通项公式为an=-2+(n-4)×2=2n-10.(2)当n≥2时,

-

=1,又

=2,∴

是首项为2,公差为1的等差数列,∴

=2+(n-1)×1=n+1,∴an=n(n+1).∴{an}的通项公式为an=n(n+1).典例2已知各项均不为零的数列{an}满足

=

an+1(n∈N*),a1=1.证明:数列

为等差数列,并求数列{an}的通项公式.思路点拨

观察式子的结构特征,等式两边取倒数构造等差数列,进而求通项公式.解析

由

=

an+1两边取倒数得

=

,∴

=

+

,即

-

=

,∴

是首项为

=1,公差为

的等差数列,∴

=1+(n-1)×

=

,∴an=

.技巧点拨

构造等差数列求通项公式时,需要认真观察给定式子的结构,记住常见的构造类

型,做到熟能生巧,如本题中所给递推公式为分式形式,则考虑用取倒数构造等差数列.借助等差数列{an}的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数)可以

解决有关项的问题,可以简化计算,但不一定每道题都能用,能用此性质的题都应具有一定的

特征,所以解决等差数列的有关问题时,应先考虑性质,若不能应用性质,再利用基本量求解.定点3等差数列性质的应用典例已知等差数列{an}的公差d大于零,且a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=

,是否存在非零实数c,使数列{bn}为等差数列?若存在,求出实数c的值;若不存在,请说明理由.解析

(1)因为数列{an}为等差数列,所以a3+a4=a2+a5=22.联立

解得

或

因为公差d>0,所以a3<a4,所以

所以d=a4-a3=4,所以数列{an}的通项公式为a