苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1-3两条直线的平行与垂直课件

1.3

两条直线的平行与垂直知识点1

两条直线(不重合)平行的判定类型斜率都存在斜率都不存在图示

对应关系l1∥l2⇔k1=k2两直线斜率都不存在⇒l1∥l2知识点2

两条直线垂直的判定类型斜率都存在一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0图示

对应关系l1⊥l2⇔k1k2=-1

⇒l1⊥l2知识辨析1.若两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗?2.若两条直线垂直,则这两条直线的斜率之积一定等于-1吗?3.已知两条直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,若l1∥l2,则α,β满足什么关系?若l1⊥l2呢?一语破的1.不一定.若这两条直线的斜率都存在,则它们一定相等;也有可能这两条直线的斜率都不存

在.2.不一定.当两条直线的斜率都存在时,斜率之积是-1;也有可能其中一条直线的斜率不存在,

另一条直线的斜率为0.3.若l1∥l2,则α=β;若l1⊥l2,则|α-β|=90°.定点1两条直线平行关键能力定点破

1.利用直线方程判定直线平行(1)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔

或

当A2B2C2≠0时,l1∥l2⇔

=

≠

.2.与已知直线平行的直线方程的设法(1)与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m(m≠b).(2)与直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).(3)已知直线l过点P(x0,y0),且与直线l1:Ax+By+C=0(P不在l1上)平行,其中A,B不全为0,则直线l的

方程可设为A(x-x0)+B(y-y0)=0.典例已知直线l1:(k-2)x+(3-k)y+1=0,l2:2(k-2)x-2y+4=0,则“k=4”是“l1∥l2”的

(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A解析

若l1∥l2,则(k-2)×(-2)-(3-k)×2(k-2)=0,解得k=2或k=4,经检验均满足题意.因为{k|k=4}⫋{k|k=2或k=4},所以“k=4”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.

1.利用直线方程判定直线垂直(1)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2

=0.当B1B2≠0时,l1⊥l2⇔

·

=-1.2.与已知直线垂直的直线方程的设法(1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线的方程可设为y=-

x+m.(2)与直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0.(3)已知直线l过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,其中A,B不全为0,则直线l的方程可设为B(x-x0)-A(y-y0)=0.定点2两条直线垂直典例在△ABC中,已知A(2,4),B(-2,1),C(8,-4),D,E分别为边AB,AC的中点,AH⊥BC于点H.(1)求直线DE的方程;(2)求直线AH的方程.解析

(1)由中点坐标公式得边AB的中点D

,边AC的中点E(5,0),则直线DE的斜率k=

=-

,所以直线DE的方程为y=-

x+

,即x+2y-5=0.(2)解法一:依题意得BC∥DE,则直线BC的斜率为-

,又AH⊥BC,因此直线AH的斜率为2,所以直线AH的方程为y-4=2(x-2),即2x-y=0.解法二:由题意得,直线BC的方程为

=

,即x+2y=0.因为AH⊥BC,所以可设直线AH的方程为2x-y+m=0,将(2,4)代入,得m=0.所以直线AH的方程为2x-y=0.1.利用平行、垂直关系求参数已知两条直线平行、垂直关系求参数时,根据定点1、定点2中平行、垂直的判定条件建立方

程(组)求解.用点的坐标表示斜率,通过斜率列关系式时,要注意对参数的讨论.2.利用平行、垂直判断图形形状的步骤(1)描点:在坐标系中描出给定的点.(2)猜测:根据描出的点猜测图形的形状.(3)求斜率:若斜率不存在,则直接说明;若斜率存在,则根据给定点的坐标求出直线的斜率.(4)结论:由斜率之间的关系判断图形形状.注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在,又要考虑图形可能出现的各种情形.定点3平行、垂直关系的应用典例(1)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求

m和n的值;(2)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形,求点D的坐标.思路点拨

(1)分析直角顶点的位置,利用两底边所在直线平行、直角腰与底垂直列方程组

求解.(2)点D位置不确定,平行四边形形状不固定,可分类讨论,再由直线的斜率可求解.解析

(1)由四边形ABCD是直角梯形,结合图形得直角梯形有两种情形:①AB∥CD,AB⊥AD,如图1所示,易得A(2,-1),∴m=2,n=-1.②AD∥BC,AD⊥AB,如图2所示,由图可知

即

解得

综上,

或

图1

图2(2)由题意得kAC=2,kAB=-

,kBC=-3,设点D的坐标为(x,y),分以下三种情况:①当BC为对角线时,有kBD=kAC,kCD=kAB,所以kBD=

=2,kCD=

=-

,得x=7,y=5,即D(7,5).②当AC为对角线时,有kAD=kBC,kCD=kAB,所以kAD=

=-3,kCD=

=-

,得x=-1,y=9,即D(-1,9).③当AB为对角线时,有kBD=kAC,kAD=kBC,所以kBD=

=2,kAD=

=-3,得x=3,y=-3,即D(3,-3).所以点D的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

1.到角与夹角的定义当直线l1与l2相交时,把l1绕着l1与l2的交点按逆时针方向旋转到与l2首次重合时所转的角

记作θ,则θ叫作l1到l2的角,l2到l1的角就是π-θ,其中θ∈[0,π);当直线l1与l2相交时,直线l1与l2相交所

成的四个角中最小的正角,记作α,则α叫直线l1与l2的夹角,其中α∈

.2.到角公式与夹角公式若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则(1)直线l1到l2的角θ满足tanθ=

,θ∈[0,π),若tanθ不存在,则θ=

;(2)直线l1与l2的夹角α满足tanα=

,α∈

,若tanα不存在,则α=

.定点4到角公式与夹角公式3.到角公式与夹角公式的应用当已知两条直线之间的夹角和其中一条直线的方程,求另外一条直线方程时,常常利用

这两个公式来处理.若所求直线不唯一,就利用夹角公式,若利用夹角公式求出的只有一条,则

必然有一条斜率不存在;如果所求直线唯一,就利用到角公式,当然也可以利用夹角公式,但求

出的两条直线要根据条件舍去一条.解答此类问题时,要注意数形结合,分析结果的可能个数,

再决定取舍,同时还要注意斜率不存在的情况.典例在等腰三角形ABC中,已知腰AB所在直线的方程为x-2y-2=0,底边BC所在直线的方程为x

+y-1=0,点(-2,0)在另一腰AC上,求腰AC所在直线的方程.解析

设直线