苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-2-1等差数列的概念4-2-2等差数列的通项公式练习含答案

4.2等差数列4.2.1等差数列的概念4.2.2等差数列的通项公式基础过关练题组一等差数列的概念1.(2024河北高碑店月考)在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),则数列{an}()A.是公差为1的等差数列B.是公差为12C.是公差为2的等差数列D.不是等差数列2.(多选题)(2022江苏扬州调研)若数列{an}为等差数列,则下列说法中正确的有()A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an为等差数列B.数列a2,a4,a6,…,a2n为等差数列C.数列{anan+1}为等差数列D.数列{an+an+1}为等差数列3.已知数列{an},{bn}满足bn=an+an+1,则“{an}为等差数列”是“{bn}为等差数列”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4.已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p,q∈R).(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?(2)求证:数列{an+1-an}是等差数列.题组二等差中项5.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.96.(2023河南新乡期末)若a>0,b>0,a,b的等差中项是1,且α=a+1bA.2B.3C.4D.57.(2024河南南阳期中)已知一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身构成等差数列,则这个正实数是.

题组三等差数列的通项公式及其应用8.(2024江苏苏州中学期中)已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是()A.a6B.a4C.a10D.a129.(2023安徽合肥衡安学校摸底考试)已知数列{an}满足a1=2,1an+1-1=1aA.n10.(2024广东普通高中毕业班第二次调研)已知{an}是等差数列,{nan}是递增数列,则()A.a1>0B.a2<0C.a3>0D.a4<011.(2024江苏无锡四校调研)已知等差数列{an}的各项均为正数,首项与公差相等,若∑k=115A.6069B.6079C.6089D.609912.(2023江苏盐城滨海期中)已知等差数列{bn}的首项为2,公差为8,在{bn}中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an},则数列{an}的通项公式为an=.

13.(2024江苏南通如皋调研)在数列{an}中,已知a1=12,a3=14,且∀n∈N*,14.(2024河南平顶山第一高级中学阶段测试)(1)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-4an,记bn=1an-2题组四等差数列的性质及其应用15.(2024福建莆田期中)在等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则a2+a3+a98+a99=()A.39B.76C.78D.11716.(2024山东青岛期中)在等差数列{an}中,已知a4+a8=20,a7=12,则a5=()A.4B.6C.8D.1017.(2024四川联考)古时候人们通过用圭表测量日影长度来确定节气,一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长(单位:尺)依次成等差数列,若冬至、立春、春分时的日影长之和为31.5尺,小寒、雨水、清明时的日影长之和为28.5尺,则谷雨时的日影长为()A.8.5尺B.7.5尺C.6.5尺D.5.5尺18.(2024河北衡水冀州中学期中)已知等差数列{an}满足a1=4,a3+a5=a42+1,则a7=19.(2024黑龙江牡丹江第二高级中学月考)已知在递增的等差数列{an}中,a3a7=55,a4+a6=16.(1)求a3和a7;(2)求{an}的通项公式.能力提升练题组一等差数列的定义、通项公式及其应用1.(2023江苏G4联盟联考)在数列{an}中,sin(an+1-an)·sin(an+1+an)=110A.9B.10C.11D.122.(2024江苏南通如东期中)已知{an}为等差数列,数列{bn}满足a1+b1=2,anbn=2n2-n(n∈N*),且5a4=7a3,则bn=()A.n3.(2023江西六校联考)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2an+1+1,则aA.80B.100C.120D.1434.(2024江苏盐城射阳中学期中)已知数列{an}满足ak+1+ak=4k+3(k∈N*),则a1+a2020=()A.4040B.4043C.4046D.40495.(2024浙江宁波镇海中学期中)定义:在数列{an}中,若an+2an+1−an+1an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“等比差数列”.已知{an}为“等比差数列”,且a1=a26.(2024江苏泰州靖江高级中学期中)已知数列{an}满足an+1=6an-4an+2(n(1)求a2,a3,a4;(2)证明:数列1an-27.(2024浙江金华十校模拟)已知数列{an}的各项均为非负实数,且∀n≥2,n∈N*,均有an+1=an-an-1+n.(1)若a1,a2,a3成等差数列,证明:存在无穷多个正整数k,使得ak=k;(2)若a2a2022=1,求a2023的最大值.题组二等差数列的性质及其应用8.(2024湖南衡阳田家炳实验中学月考)已知等差数列{an}的首项与公差d均为正数,且lga1,lga3,lga6成等差数列,则lga1,lga3,lga6的公差为()A.lgdB.lg239.(2023河北邯郸期末)已知等差数列{an}为递增数列,若a12+a102=101,a5+a10.(2024四川绵阳中学月考)已知函数f(x)=13x3+3x2+5x+1,设数列{an}的通项公式为an=-2n+7,则f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=11.(2023甘肃金昌永昌第一高级中学月考)若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列1bn为“调和数列”,且b1+b2题组三等差数列的综合应用12.(2024上海杨浦同济大学第一附属中学期中)已知数列{an}的首项为1,an+1=an-1,n3∈N*,aA.1209B.1211C.1213D.121513.(2024四川绵阳实验高级中学月考)若数列{cn}满足cn+1=cn2,则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”,且a1>0,a1A.{lgan}是等差数列B.{lgan+1-lgan}是等差数列C.{anan+1}是“平方递推数列”D.{an+1+an}是“平方递推数列”14.已知数列{an}满足a1=4,an=4an-1-4an-1(n≥2,n∈N*),若bn=412-an·(naA.1-972,C.0,1615.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)证明:数列1a(2)求数列{an}的通项公式;(3)若λan+1an≥λ对任意的n≥2,n∈N

答案与分层梯度式解析4.2等差数列4.2.1等差数列的概念4.2.2等差数列的通项公式基础过关练1.B由2an+1=2an+1得an+1=an+12,即an+1-an=1又a1=2,∴数列{an}是以2为首项,12为公差的等差数列,故选B2.ABD设等差数列{an}的公差为d.A中,2an+1-2an=2(an+1-an)=2d(常数),A中说法正确.B中,a2(n+1)-a2n=a1+(2n+1)d-[a1+(2n-1)d]=2d(常数),B中说法正确.C中,n≥2时,anan+1-an-1an=an(an+1-an-1)=2and,当d=0时,2and=0(常数),此时数列{anan+1}为等差数列;当d≠0时,2and=2a1d+2(n-1)d2(不是常数),此时数列{anan+1}不是等差数列,C中说法不正确.D中,n≥2时,an+an+1-(an-1+an)=an+1-an-1=2d(常数),D中说法正确.故选ABD.3.答案充分不必要解析若{an}是等差数列,设其公差为d1,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{bn}是等差数列,充分性成立.若{bn}是等差数列,设其公差为d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,不能推出{an}是等差数列,必要性不成立.故“{an}为等差数列”是“{bn}为等差数列”的充分不必要条件.4.解析(1)若{an}是等差数列,则an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q是一个与n无关的常数,所以2p=0,即p=0,所以当p=0,q∈R时,数列{an}是等差数列.(2)证明:由(1)知an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,是一个与n无关的常数,所以数列{an+1-an}是等差数列.5.B由已知得m所以m和n的等差中项为m+6.C因为a,b的等差中项是1,所以a+b=2.又因为α=a+1b所以α+β=a+1b+b+1a=2+127.答案4解析设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N),则这个正实数为x+y.由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x,当y=0时,x=0,x+y=0,不符合要求;当y=1时,x=13,x+y=43;当y=2时,x=23,x+y=综上所述,这个正实数是438.A设等差数列{an}的公差为d,由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0.故选A.9.B记bn=1an-1,则bn+1=bn+1,b1=1a1-1=1,故数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,故bn=1+(n-1)=n,所以an10.C设等差数列{an}的公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,n∈N*,∵{nan}是递增数列,∴(n+1)an+1>nan,n∈N*,即(n+1)(a1+nd)>n[a1+(n-1)d],化简可得a1+2nd>0,即a2n+1>0,当n=1时,a3>0,C正确,无法判断A,B,D是否正确,故选C.11.A设等差数列{an}的公差为d(d>0),则an=a1+(n-1)d=nd,因为1a所以∑k=115所以a2023=2023×3=6069,故选A.12.答案2n解析设数列{an}的公差为d.由题意可知a1=b1,a5=b2,于是a5-a1=b2-b1=8.因为a5-a1=4d,所以4d=8,解得d=2.故an=2+(n-1)×2=2n.13.答案1解析依题意可得1a∵1a∴1an+1−1∴1an=2+(n-1)×1=n+1,即an=1n+1,故a14.解析(1)令cn=log2(an-1),则c1=log2(a1-1)=1,c3=log2(a3-1)=3,故等差数列{log2(an-1)}的公差为c3-c12=1,所以cn=n,即log2(an(2)由an+1=4-4an得bn+1-bn=又b1=1a1-2=12,所以数列{bn}是首项为12,公差为12的等差数列,所以bn=15.C由等差数列的性质得a2+a3+a98+a99=(a2+a99)+(a3+a98)=2(a1+a100)=2×(3+36)=78.故选C.16.C由等差数列的性质可得a4+a8=a7+a5,∴a5=20-12=8.故选C.17.D设从冬至起,这十二个节气的日影长(单位:尺)依次成等差数列{an},设其公差为d,由题可知a所以d=a5-a4=9.5-10.5=-1,所以a9=a5+4d=9.5-4=5.5,即谷雨时的日影长为5.5尺,故选D.18.答案-2解析由题意得a3+a5=2a4=a42+1,∴a4=1,则a1+a7=2a4=2,∴a19.解析(1)由已知得a解得a又{an}为递增数列,所以a3=5,a7=11.(2)设数列{an}的公差为d(d>0),由(1)知d=a7所以数列{an}的通项公式为an=5+(n-3)×32能力提升练1.Csin(an+1-an)·sin(an+1+an)=12所以{sin2an}为等差数列,公差为110所以sin2an=sin2a1+(n-1)×110≤所以n-110≤1-sin2a1≤1,故n≤11,所以nmax=11.故选2.B令n=1,得a1b1=1,又a1+b1=2,∴a1=b1=1.设{an}的公差为d,由5a4=7a3得5a1+15d=7a1+14d,故d=2a1=2,则an=a1+(n-1)d=2n-1.故bn=2n2-n3.C因为an+1=an+2an+1+1,所以an+1+1=(an+1)2+2等式两边开方可得an+1+1=an+1所以an+1=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n所以a10=102+20=120.故选C.4.B由ak+1+ak=4k+3可得ak+2+ak+1=4(k+1)+3,两式相减可得ak+2-ak=4,即相邻的奇数项或偶数项成等差数列,且公差为4,故a2020=a2+20202-1×4=4036+a2,即a1+a2020=a1+a当k=1时,a2+a1=4+3=7,因此a1+a2020=7+4036=4043.故选B.5.答案105;3363解析由题意得a3a2则数列an+1an是首项为a2所以an+2an+1=2n+1,则an+2所以a5a3=4×32-1=35,则a5=35a3=35×3=105,且a6.解析(1)由题意得a2=6a(2)因为an+1=6an-4an+2(n∈N则1=14+1an-2,故所以数列1an-2所以1a故an=4n方法点津用构造法求等差数列的通项公式是很常见的一种方法,常见的构造技巧如下:(1)当数列{an}满足an+1=kan+b时,常用待定系数法构造成an+1+m=k(an+m)的形式;(2)当递推公式是分式形式时,常采用取倒数的方法;(3)当数列{an}满足an+1=ban+cn时,常通过等式两边同除以cn+1得到am+1=kam+d的形式,再利用(1)中的方法构造求解.7.解析(1)证明:由an+1=an-an-1+n得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an,则an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6,故{an}中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列,又a1,a2,a3成等差数列,故2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a1+5,又an+6=an+6,∴an+6m=an+6m(m∈N),当n=2时,a2+6m=2+6m,当n=5时,a5+6m=5+6m,所以对于ak=k,当k=6m+2或k=6m+5(m∈N)时,等号恒成立.(2)由(1)可知a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,又an+6m=an+6m(m∈N),所以a2022=a6+2016=2025-a3,a2023=a1+2022,又a2a2022=1,所以a2=1a2022=12025-a3=a3+a1又因为数列{an}的各项均为非负实数,所以a3≥0,即2025-a3≤2025,由对勾函数的单调性易知当2025-a3=2025时,(a1)max=212025所以(a2023)max=(a1)max+2022=2024120258.C由题可得a3=a1+2d,a6=a1+5d,因为lga1,lga3,lga6成等差数列,所以2lga3=lga1+lga6=lg(a1a6),所以a32=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a所以a1d=4d2,又因为d>0,所以a1=4d,则lga3-lga1=lg(6d)-lg(4d)=lg32,故选C9.答案1解析由a12+a102=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a又a1+a10=a5+a6=11,a1<a10,所以a1=1,a10=10,所以d=a1010.答案36解析f(x)=13x3+3x2+5x+1=13(x+3)又13(−x)3−4(−x)=−1所以曲线f(x)的对称中心为(-3,4),即f(x)+f(-6-x)=8,因为an=-2n+7,所以数列{an}为等差数列,a5=-3,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=-6,则f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=8,f(a5)=f(-3)=4,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=4×8+4=36.11.答案100解析由数列1bn为“调和数列”,可得11bn+1−11∴数列{bn}是公差为d的等差数列,∵b1+b2+…+b2020=20200,且b1+b2020=b2+b2019=b3+b2018=…=b1010+b1011,∴1010(b2+b2019)=20200,∴b2+b2019=20.又b2>0,b2019>0,∴b2+b2019≥2b2b2019,即b2b2019≤b2+∴(b2b2019)max=100.12.B由已知得数列{an}中的项为1,6,11,6,11,16,11,16,21,16,21,26,21,26,31,…,观察发现这些项可按1,6,11,16,21,…;6,11,16,21,26,…;11,16,21,26,31,…的规律将原数列分为三个等差数列:当n=3m+1,m∈N时,数列为1,6,11,16,21,…,即an=5n当n=3m+2,m∈N时,数列为6,11,16,21,26,…,即an=5n当n=3m+3,m∈N时,数列为11,16,21,26,31,…,即an=5n易得a1209=2021,a121