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文档简介
第2章分式与分式方程2.4分式方程第2课时解分式方程解分式方程分式方程的根(解)分式方程的增根解一元一次方程的一般步骤是什么?去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.回顾与思考什么是分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.那这类方程该如何解呢?这就是我们本节课要学习的内容.还记得什么是方程的解吗?你能设法求出上一节课列出的分式方程的解吗?化成一元一次方程来求解.知识点解分式方程1想一想:解分式方程和解整式方程有什么区别?解分式方程的思路是:分式方程整式方程去分母1、在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.(转化思想)2、解这个整式方程.3、检验.4、写出原方程的根.解分式方程的一般步骤:特别解读1.解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不含分母的项,当分子是多项式时要用括号括起来.2.解分式方程一定要检验,对于增根必须舍去.特别解读3.对增根的理解:(1)增根一定是分式方程转化为整式方程的解;(2)若分式方程有增根,则必是使最简公分母为0时未知数的值.例1解方程解:方程两边都乘x(x-2),得x=3(x-2).解这个方程,得x=3.检验:将x=3代人原方程,得左边=1,右边=1,左边=右边.
所以,x=3是原方程的根.例2解分式方程:(1)(2)解分式方程的步骤:①去分母,化分式方程为整式方程;②解整式方程;③检验,并写出原分式方程的根.导引:(1)方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2).得x+2(x-2)=x+2,解这个方程,得x=3.经检验,x=3是原分式方程的根.解:方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-1),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.去括号,得x2+2x-x2-x+2=3.解得x=1.经检验,x=1不是原分式方程的根,所以原分式方程无解.解:(2)归纳(1)解分式方程的基本思想是“化整”,即“化分式方程为整式方程”,而“化整”的关键是找最简公分母;(2)解分式方程一定要注意验根,验根是解分式方程必不可少的步骤.1.解方程:方程两边都乘x(x-1),得3x=4(x-1).解这个方程,得x=4.检验:将x=4代入原方程,得左边=1=右边.所以,x=4是原方程的根.解:方程两边都乘2x-3,得x-5=4(2x-3).解这个方程,得x=1.检验:将x=1代入原方程,得左边=4=右边.所以,x=1是原方程的根.解:2.把分式方程转化为一元一次方程时,方程两边需同乘(
)A.x
B.2x
C.x+4
D.x(x+4)D3.解分式方程,去分母得(
)A.1-2(x-1)=-3
B.1-2(x-1)=3C.1-2x-2=-3
D.1-2x+2=3A4.已知分式方程下列说法错误的是(
)A.方程两边各分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解B中的整式方程,得x=1D.原方程的解为x=1D5.分式方程的解为(
)A.x=1B.x=-1C.无解D.x=-2C使分式方程两边相等的未知数的值是方程的解(根),而分式方程的根要满足最简公分母不为0,否则,分母为零,则该方程无意义.
知识点分式方程的根(解)2分式方程无解有两种情形:(1)分式方程化为整式方程后,所得的整式方程无解,则原分式方程无解;(2)分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但经检验不是原分式方程的解,此时原分式方程无解.例3已知关于x的方程的根是x=1,求a的值.根据方程的解使方程两边的值相等,可构造关于a的分式方程,解所得分式方程即可得a的值.导引:把x=1代入方程
解得a=经检验,a=是分式方程
的解.∴a的值为解:归纳根据方程的解构造方程,由于所构造的方程是分式方程,因此验根的步骤不可缺少.1.已知x=3是分式方程的解,那么实数k的值为(
)A.-1B.0C.1D.2D2.关于x的分式方程
有解,则字母a的取值范围是(
)A.a=5或a=0B.a≠0C.a≠5D.a≠5且a≠0D3.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值范围是(
)A.a≥1B.a>1C.a≥1且a≠4D.a>1且a≠4C4.关于x的分式方程下列说法正确的是(
)A.方程的解是x=a-3B.当a>3时,方程的解是正数C.当a<3时,方程的解是负数D.以上答案都正确B5.若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为y<-2,则符合条件的所有整数a的和为(
)A.10B.12C.14D.16A≤议一议在解方程时,小亮的解法如下:方程两边都乘x-2,得1-x=-1-2(x-2).解这个方程,得x=2.你认为x=2是原方程的根吗?与同伴交流.知识点分式方程的增根3归纳在这里,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.归纳增根产生的原因:对于分式方程,当分式中分母的值为零时无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的取值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根.例4解方程:方程两边都乘2x,得960-600=90x.解这个方程,得x=4.经检验,x=4是原方程的根.解:例5已知关于x的分式方程(1)若此方程有增根1,求a的值;(2)若此方程有增根,求a的值;(3)若此方程无解,求a的值.(1)去分母并整理,得(a+2)x=3.∵1是原方程的增根,∴(a+2)×1=3,a=1.(2)∵原分式方程有增根,∴x(x-1)=0.∴x=0或1.又∵整式方程(a+2)x=3有根,∴x=1.∴原分式方程的增根为1.∴(a+2)×1=3.∴a=1.解:(3)去分母并整理得:(a+2)x=3.①当a+2=0时,该整式方程无解,此时a=-2.②当a+2≠0时,要使原分式方程无解,则x(x-1)=0,得x=0或1.把x=0代入整式方程,a的值不存在;把x=1代入整式方程,a=1.综合①②得:a=-2或1.归纳分式方程有增根,一定存在使最简公分母等于0的未知数的值,解这类题的一般步骤为:①把分式方程化为整式方程;②令最简公分母为0,求出未知数的值,这里要注意:必须验证未知数的值是否是整式方程的根,如本例中x=0就不是整式方程的根;③把未知数的值代入整式方程,从而求出待定字母的值.归纳分式方程无解必须具备:最简公分母等于0或去分母后的整式方程无解.1.下列关于分式方程增根的说法正确的是(
)A.使所有的分母的值都为零的解是增根B.分式方程的解为0就是增根C.使分子的值为0的解就是增根D.使最简公分母的值为0的解是增根D2.关于x的分式方程有增根,则m的值为(
)A.1B.3C.4D.5C3.若关于x的分式方程有增根,则它的增根是(
)A.0B.1C.-1D.1和-1B4.关于x的方程无解,则m的值为(
)A.-5B.-8C.-2D.5A练点1分式方程的解法
A.1+3=3
x
(1-
x
)B.1+3(
x
-1)=-3
x
C.
x
-1+3=-3
x
D.1+3(
x
-1)=3
x
B
A.
x
=1B.
x
=-1C.
x
=2D.
x
=-2C
A.2B.1C.
-1D.
-2【点拨】
C解分式方程的一般步骤:(1)去分母:方程两边都乘以各分母的最简公分母,约去
分母,化为整式方程;(2)解这个整式方程,得到整式方程的根;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分
母不等于零的根是原分式方程的根,使最简公分母等
于零的根不是原分式方程的根;(4)写出分式方程的根.1.解方程:解:易错点:解分式方程后,忽略根的检验,未舍去增根解:易错总结:分式方程转化为整式方程后,由于去分母使未知数的取值范围发生了变化,有可能产生增根,因此在解分式方程时一定要验根,如果不验根,有可能误将x=2当成原分式方程的根.2.易错点:讨论分式方程的解时,不考虑增根解:方程两边都乘(x-2)(x+3),整理得5x=k-3,解得x=因为x
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