4.7解三角形的综合应用

4.7解三角形的综合应用课标要求精细考点素养达成能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题测量高度、距离、角度问题通过利用正、余弦定理解决测量和计算问题,培养数学建模、数学运算素养三角形中的三角函数通过平面向量在解三角形中的应用,培养数学运算、逻辑推理素养正、余弦定理在几何中的应用通过三角形的综合应用,培养数学运算、逻辑推理素养1.(概念辨析)(多选)下列选项中,说法正确的有().A.俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围是0,B.方位角与方向角的实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系C.方位角大小的取值范围是[0,2π),方向角大小的取值范围一般是0,D.在△ABC中,AB=a,AC=b,若a·b=0,则△ABC是直角三角形2.(对接教材)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为().A.502m B.503mC.252m D.2523.(对接教材)小李从地面点D看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进72m到达点E,此时看点C的仰角为45°,若BC=AC,则楼高AB约为().A.58m B.68m C.78m D.88m4.(易错自纠)(多选)如图,△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边分别是a,b,c,∠ABC为钝角,BD⊥BA,cos2∠ABC=725,c=2,b=8A.sinA=55 B.BD=2C.5CD=3DA D.△CBD的面积为5.(真题演练)(2023·全国甲卷理)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于点D,则AD=.

测量高度、距离和角度的问题典例1(1)如图,航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机飞行的海拔高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度大约为(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)().A.7350m B.2650mC.3650m D.4650m(2)(2024·山东青岛期初调研)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”,若要测量某蓝洞口边缘A,B两点间的距离(如图),现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为海里.

1.求距离、高度问题(1)选定或确定要创建的三角形,要先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的量.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.2.求角度问题(1)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步,画图时,要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义,并能准确找到这些角.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的综合应用.训练1一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里,如图所示.随后该船以20海里/小时的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB=().A.23sin70° B.23sin75°C.32cos70°三角形中的三角函数典例2已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,满足sinB+sinCsinA=2−cosB-cosCcosA,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间(1)证明:b+c=2a.(2)若fπ9关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化成f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,再利用三角函数的性质求出最值或者范围.解三角形问题的总体思路就是转化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.训练2(2023·福建厦门一中调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,(1)求ω,φ;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,fA2=3正弦定理、余弦定理在几何中的应用典例3如图,平面四边形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ADC=2π3,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a+bc=(1)求四边形ABCD的外接圆半径R;(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围.1.几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角度的计算,这样就可以利用正弦定理、余弦定理解决问题,解决此类问题的关键是构造三角形,把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.2.在三角形的面积公式中,S=12absinC=12bcsinA=3.解题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等,要注意把这些性质与正弦定理、余弦定理相互结合.训练3(2023·江苏通州中学质检)某园区有一块三角形空地(如图△ABC),其中AB=20m,AC=40m,∠B=π2,现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉,为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便,需要在空地内建一个正三角形形状的水池,要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上(如图△DEF),则水池面积的最小值为m2与三角形的中线及角平分线和高的相关问题1.涉及中线问题如图1,在△ABC中,设D为边BC上的中点,与中线长AD有关的计算问题,常见的处理方法如下:(1)补成平行四边形:如图2,AE=2AD,可在△ABE中求解AE,从而得出AD.(2)利用向量:由AD=12(AB+AC),两边平方后得|AD|2=14(AB2+AC2+2图1图2典例1在锐角三角形ABC中,BC=4,sinB+sinC=2sinA,则中线AD的取值范围是.

把中线AD表示为含三角形边的函数再求解,注意条件中三角形为锐角三角形对边的范围的限制.训练1在△ABC中,a=1,b=3,AB边上的中线长为1,则△ABC的外接圆的半径为.

典例2如图,在△ABC中,AB=2AC,∠BAC的平分线交BC边于点D.(1)证明:BC=3DC.(2)若AD=AC,且△ABC的面积为67,求BC的长.三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,是常用的转化方法.训练2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3,ab=4,点D满足2AD=DB.若CD为∠ACB的平分线,则△ABC的周长为.

3.涉及高线的问题h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=1a∶1b∶1c=1sinA∶典例3△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+tanAtanB=2c(1)求角A的大小;(2)若BC边上的中线AM=22,高线AH=3,求△ABC的面积.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度.高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.训练3在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AH为△ABC的高线,则AB·AH=.

一、单选题1.(2023·江苏新海中学月考)一艘客船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向,之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距82海里,则灯塔S在B处的().A.北偏东75°B.北偏东75°或南偏东15°C.南偏东15°D.南偏东75°2.(2023·江苏扬州中学调研)小明同学学以致用,欲测量学校教学楼的高度,他采用了如图所示的方式来测量,小明同学在运动场上选取相距25米的C,D两观测点,且C,D与教学楼底部B在同一水平面上,在C,D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°,30°,并测得∠BCD=120°,则教学楼AB的高度是().A.20米 B.25米 C.153米 D.202米3.(2023·江苏如皋中学期中改编)如图,四边形ABCD四点共圆,其中BD为直径,AB=4,BC=3,∠ABC=60°,则BD的长为().A.36 B.23 C.2394.(2023·福建福州一中调研)如图,这是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区边界轮廓是半径为200米,圆心角为120°的扇形AOB,O为南门位置,C为东门位置,小区里有一条平行于AO的小路CD,若OD=2006A.50π米 B.53π米 C.55π米 D.100π米二、多选题5.(2023·江苏中华中学月考)如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则下列结论正确的是().A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10:00时,该船与观测点C相距2kmC.当船行驶至B处时,该船与观测点C相距2kmD.该船在由A处行驶至B处的这5min内行驶了6km6.如图,△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(acosC+ccosA)=2bsinB,且∠CAB=π3A.∠ABC=π3B.∠ACB=π3C.四边形ABCD面积的最大值为53三、填空题7.周末,某班级部分同学去湿地公园拍鸟的照片,甲、乙两人分别站立在相距120m的A,B两地,B在A的北偏东15°方向,若有一只水鸟在A地的正东方向,在B地的东南方向,则水鸟的位置距离B地km.

8.(2023·江苏盐城中学调研)在△ABC中,已知AB=3,AC=5,∠BAC=2π3,点D在边BC上,且满足AD=BD,则BC=,sin∠DAC=四、解答题9.(2024·江苏淮安高三调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC上一点,AD=2.(1)若△ABC的面积S=2,∠ADB=π4(2)若D为∠BAC的平分线与边BC的交点,c=2,C=π410.(2023·山东青岛二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2ac=2bcosC.(1)求角B的大小.(2)若点D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,∠EDF=π311.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O,半径为r的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面上,且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α,观测该卫星的仰角为β,则下列关系一定成立的是().A.r+hcosβ=rcos(α+β) B.C.r+hsinβ=rsin(α+β) D.12.(2023·湖南邵阳二模)人类从未停下对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空1003m的点P处,一架无人机