2005年考研数学(三)真题

2005年考研数学(三)真题

一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)

(1)极限limxsin—；---=.

Z8x+1

(2)微分方程“'+y=O满足初始条件y⑴=2的特解为.

⑶设二元函数z=xe，"+(x+l)ln(l+y),那么dz=________.

(1,0)

⑷设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关，且awl,那么a=.

(5)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,…,X中任取一个数，记为Y那么

p{y=2}=.

(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

01

00.4a

1b0.1

随机事件｛X=0｝与｛X+y=l｝相互独立，那么a=,b=.

二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内〕

(7)当a取以下哪个值时，函数/(%)二2工3-9一+12X一。恰好有两个不同的零点.

(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[]

22222

(8)设人=||cos^/x+yda,I2=||COS(Y+y)Jcr,/3=jjcos(x+^2)240,其中

DDD

£>=｛(%,y)|x2+/<l｝,那么

(A)/3>/2>/(.(B)It>I2>I3.

(C)/2>/,>八.(D)/3>Z,>/2.[]

(9)设a“>0,〃=1,2「一，假设£巴发散,

收敛，那么以下结论正确的是

n=lM=1

008

a(B)t的“收敛，£>2,1发散•

(A)Z的,T收敛，Y2n发散.

n=l«=ln=]n=\

_Q0_

(C)\>2.-1+。2.)收敛・(D)1>2,“一。2”)收敛・(】

n=ln=l

(10)设/O)=xsin%+cosx,以下命题中正确的是

(A)f(0)是极大值，/(耳)是极小值.(B)f(0)是极小值，/(5)是极大值.

(C)f(0)是极大值，/(2)也是极大值.(D)f(0)是极小值，/(])也是极小值.

[1

(11)以下四个命题中，正确的是

(A)假设/'(X)在[0,1)内连续，那么f(x)在(0,1)内有界

(B)假设/(幻在(0,1)内连续，那么f(x)在(0,1)内有界.

(C)假设/'(X)在(0,1)内有界，那么f(x)在(0,1)内有界.

(D)假设/(幻在(0,1)内有界，那么/'(X)在(0,1)内有界.[]

7

(12)设矩阵A=(%)3X3满足A*=A「，其中A*是A的伴随矩阵，A■为A的转置矩阵.假设

日],日2，%3为三个相等的正数，那么为1为

I

(A)—.(B)3.(C)(D)73.[]

33

(13)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为名,％，那么%,A(«,+a2)

线性无关的充分必要条件是

(A)A,=0.(B)4=0.(C)4Ho.(D)/12Ho.[]

(14)设一批零件的长度服从正态分布N(〃,CT2),其中〃均未知.现从中随机抽取16个零件，

测得样本均值x=20(c〃z),样本标准差s=l(cw),那么〃的置信度为0.90的置信区间是

(A)(20——/005(16),20+—05(16)).(B)(20--ZOI(16),20+—/01(16)).

(C)(20-^OO5(15),20+1/o05(15)).(D)(20-^0l(15),20+^0l(15)).[]

三、解答题(此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(此题总分值8分)

求lim(上土-人).

a。l-e~xx

(16)(此题总分值8分)

设f(U)具有二阶连续导数，且g(x,y)=/(2)+汉与，求/咨一产驾.

xydxdy

(17)(此题总分值9分)

计算二重积分“产其中O={(羽y)|0<x<l,O<y<l}.

D

(18)(此题总分值9分)

81

求募级数Z(-------1)/"在区间(一1,1)内的和函数s(x).

«=i2〃+1

(19)(此题总分值8分)

设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且可0)=0,./0)20送'(对20.证明：对任何ae[0,l],有

(20)(此题总分值13分)

齐次线性方程组

x}+2X2+3X3=0,

(i){2范+3%2+5元3=0,

%)+x2+ax3=0,

和

5)f+bx2+cx3=0,

2

2X1+hx2+(c+l)x3=0,

同解，求a,b,c的值.

(21)(此题总分值13分)

-AC

设。=,为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为机x”矩阵.

CTB

「E-A~'C

⑴计算P’OP,其中P=；

E,_

(ID利用⑴的结果判断矩阵3-C'ATC是否为正定矩阵，并证明你的结论.

(22)(此题总分值13分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

求：⑴学,丫)的边缘概率密度心(%)，万(丁)；

(IDz=2X—y的概率密度心(Z).

(iii)<-x<-}.

22

(23)(此题总分值13分)

设乂”乂2「、乂“(〃>2)为来自总体N(0,/)的简单随机样本，K为样本均值，记

匕=X,一月i=l,2,.

求：⑴匕的方差。匕,i=l,2,…

(ID匕与匕的协方差。。火匕，匕).

(III)假设C«+工＞是/的无偏估计量，求常数C.

2005年考研数学(三)真题解析

一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)

2x

(1)极限limxsinF——=_2_.

X-8x2+1

【分析】此题属基此题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.

2r2x

【详解】limxsin—^-=limxV-=2.

00X~+1X+1

(2)微分方程R+y=O满足初始条件y⑴=2的特解为xy=2.

【分析】直接积分即可.

【详解】原方程可化为(孙)'=0,积分得xy=C,

代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2.

(3)设二元函数z=xe"»+(x+l)ln(l+y),那么dz1。=2etir+(e+2)办.

【分析】基此题型，直接套用相应的公式即可.

【详解】丝=e巾'+我中+ln(l+y),

dx

dzx+1

—=xet+yv+----,

dy1+y

于是dz(0=2edr+(e+2)dy.

⑷设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关，且awl,那么a=-.

2

【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.

【详解】由题设，有

2II1

21aa11

=(。一1)(2。-1)=0,得a=l,a=—,但题设awl,故。=—.

321a22

4321

(5)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,…,X中任取一个数，记为Y,那么

13

P{y=2}=——.

48

【分析】此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即

为完备事件组或样本空间的划分.

【详解】P{y=2}=p{x=i}P{y=2|x=i}+P{x=2}尸{y=[x=2}

+P[X=3]P{Y=2|x=3}+P{X=4}P{y=2|x=4}

10111、13

=-x(0+-+-+—)=——

423448

(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

01

00.4a

1b0.1

随机事件｛X=0｝与｛X+Y=l｝相互独立，那么a=0.4,b=0J

【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定

a,b的取值.

【详解】由题设，知a+b=0.5

又事件｛X=0｝与｛X+F=l｝相互独立，于是有

p{x=o,x+y=1}=P{x=0}P{x+y=1},

即a=(0.4+«)(«+/?),由此可解得a=0.4,b=0.1

二、选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)当a取以下哪个值时，函数/。)=2/一9/+12》一。恰好有两个不同的零点.

(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]

【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极

值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.

【详解】f\x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-2),知可能极值点为x=l,x=2,且

/(l)=5-a,/(2)=4—。，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).

22222

(8)设I1=jjcosjx?+y2db,/2=cos(x+y)da,I3=JJcos(x+y)t/cr,其中

DDD

£)={(x,y)|x2+y2<1},那么

(A)I3>I2>(B)Z1>/2>Z3.

(C)I2>/,>/3.(D)/3>/,>Z2.[A]

【分析】关键在于比拟Jx2+y2、/+y2与(/+y2)2在区域。={(乂切,2+丁24]}上的大小

【详解】在区域£>={(X,y),2+/<]}上，有04x2+y2<i,从而有

TT

由于cosx在(0,—)上为单调减函数，于是

2

)db<jjcos(x2+y2)2db,故应选(A).

DDD

(9)设a“>0,〃=l,2,・・・，假设发散，£(-1)〃一%〃收敛，那么以下结论正确的是

«=1"=1

(A)£>2,T收敛，发散.(B)t的“收敛，发散

n=ln=ln=ln=\

_oo_g_

(C)工(“2"-1+外,,)收敛•(D)W?4,“一国)收敛•[D]

〃=1ZI=i

【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.

【详解】取句,，那么£明发散，之(一1尸”，收敛，

〃n=ln=1

000000

但与均发散，排除(A),(B)选项，且工(。2".1+%")发散，进一步排除(C),故应选(D).

w=in=ln=l

事实上，级数-。2“)的局部和数列极限存在。

n=\

(10)设/(x)=xsinx+cosx,以下命题中正确的是

(B)f(0)是极大值，是极小值.(B)f(0)是极小值，/(10是极大值.

(C)f(0)是极大值，/(1)也是极大值.(D)f(0)是极小值，也是极小值.

[B]

【分析】先求出/'(x),/〃(x),再用取极值的充分条件判断即可.

【详解】人人…用…山—然八。)=。,尸弓)=。，

又了—且/(。)=1>。,/〃电话<。，故f⑼是极小值，吗)是极大值,

应选(B).

(11)以下四个命题中，正确的是

(A)假设/'(X)在[0,1)内连续，那么f(x)在(0,1)内有界.

(B)假设/(X)在(0,1)内连续,那么f(x)在(0,1)内有界.

(C)假设/'(X)在(0,1)内有界，那么f(x)在[0,1)内有界.

(D)假设/(x)在(0,1)内有界，那么/'(X)在(0,1)内有界.fC]

【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.

【详解】设f(x)=L那么f(x)及/'(处二-士均在(0,1)内连续，但f(x)在(0,1)内无界，排除

XX

(A)、(B);又/(》)=«在(0,1)内有界，但尸(x)=」产在(0,1)内无界，排除(D).故应选(C).

2y1x

(12)设矩阵A=(他)3,3满足A*=AL其中A*是A的伴随矩阵，4,为A的转置矩阵.假设

。「。吐，。”为三个相等的正数，那么为

(A)—.(B)3.(C)(D)V3.[A]

【分析】题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA'=AA=网E.

【详解】由A*=A，及A4*=A*A=|HE,有%=&,i,j=1,2,3,其中Ai}为a..的代数余子式，

且=|A|En|A『=|A『n|A|=0或同=1

而同+q2A2+013、=3。；]，于是同=1，且=—.故正确选项为(A).

(13)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为%,。2,那么%，4%+。2)

线性无关的充分必要条件是

(A)4=°-(B)22=0.(C)4N0.(D)Z,*0.[D]

【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.

【详解】方法一：令kiai+k2A{a}+«2)=0,那么

匕％++k242a2=0，（占+k24）%+k2X2a2=0.

由于%,a2线性无关，于是有

当4力。时，显然有匕=0,自=0，此时%，4区+%)线性无关；反过来，假设%,

4%+%)线性无关，那么必然有；I?#0(,否那么，/与4%+4)=4/线性相关)，故应选(B).

方法二:由于[%,4（囚+a）]=[a,Aa+Aa]=[a,a]i4

2ii]22x2o4

1%

可见%,A(%+。2)线性无关的充要条件是=几2W0.故应选(D).

o4

(14)设一批零件的长度服从正态分布N(〃,b2),其中〃,。2均未知.现从中随机抽取16个零件,

测得样本均值x=20(c〃z),样本标准差s=l(cm),那么"的置信度为0.90的置信区间是

(A)(20——?005(16),20+—1005(16)).(B)(20——Zo](16),20+—Z01(16)).

C]

(C)(20-^005(15),20+1Z005(15)).(D)(20-^0I(15),20+^01(15)).[

【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：=幺~/(〃一1).

几

【详解】由正态总体抽样分布的性质知，=幺~1),故〃的置信度为0.90的置信区间是

%

(彳一二fa(〃-1)，元+3fa(〃一1))，即(20—1%05(15)20+!八05(15)).故应选(C).

-Jn2yln244

三、解答题(此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(此题总分值8分)

求lim(上工-')•

a。]-e-xx

【分析】"8—8"型未定式，一般先通分，再用罗必塔法那么.

『』初,r/]+%x+x2-1-^-e

L详解]lim(----------)=lrim---------------

xx

…i-e-x5x(l-e~)

x+x2-i+e~x

=lim

XTO

1+2x—c

=lim-----------

io2x

2+e-x3

=lim

x->022

(16)(此题总分值8分)

o2o2

设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)=/(2)+才(£)，求，冷一产驾.

xydxdy

【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.

【详解】由条件可得

察=々八马+广心，

dxxxy

空=之八马+4/ff<-)+-/*(-)，

oxx'xxyyy

空」/g)+/(WY)，

dyxxyyy

（4=4f"（-）-4/（土）+4/*（-）+4n-），

oyxxyyyyyy

所“Y232gQ2

所以X^-y犷

=至r（—+4/7-）+—/"（-）-4/ff（2）-—/"（-）

XXX-yyyXyy

=生八马.

XX

（17）（此题总分值9分）

计算二重积分0卜2+y2_“db,其中。={（x,y）|0<X<1,O<^<1}.

D

【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.

【详解】记。]={（%,）0,2+y2«],Q,y）e0,

2

D2={（x,j）|x+y2>1,（x,y）e£>},

222

于是JJF+y-ijtZcr=-1|(x+V_l)dxdy+(x+y—l)dxdy

DDio,

£j

_1呵（/-1）心+『炉+y2-l)dxdy-JJ(x2+/-Y)dxdy

oO|

成++/-1）办-£河（产-=

（18）（此题总分值9分）

81

求某级数二（五口-1）/"在区间（-1,1）内的和函数S（x）.

【分析】募级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或函数的幕级数展开式，从

而到达求和的目的.

【详解】设

81

S（x）=Z（=T*'，

”=]2〃+1

S|(X)=£^7Xn9S?(x)=，

n=\2〃+1n=l

那么5(x)=S}(x)-S2(x),xG(-1,1).

由于

sr2

§2。)=£厂〃="T，

〃=l1—X

oo2

(xS|(x))'=£/"=,xe(-1,1),

«=il-x

因此xS,(x)-1',dt=-x+—hi

1J。1—产2l-x

又由于S|(0)=0,故

11+x_]।H<]

ln_

所以S(x)=S,(x)-S2(x)=fc]T^1_x2'

0,x=8

(19)(此题总分值8分)

设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续，且出0)=0,/'(幻20送口)20.证明：对任何ae[0,1],有

【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.

【详解】方法一：设

F(x)=/(x)g(l),

那么F(x)在[0,1]上的导数连续，并且

k(x)=g(x)/(x)—―⑴=((x)[g(x)—g⑴]，

由于xe[0,1]时，f'(x)>0,g'(x)>0,因此产'(x)10,即F(x)在[0,1]上单调递减.

注意到

尸⑴=£g(t)『(t)dt+£/⑺g‘⑺分一/⑴g⑴，

而fg⑺r⑺力==g(t)f(t)'-(f(t)g'(t)dt

=/a)g⑴-

故F(l)=0.

因此xe[0,1]时，F(x)>0,由此可得对任何ae[0,1],有一

方法二：[g(x)f'(x)dx=g(%)/(%)|fkx)g\x)dx

*00()

=f(a)g(a)-£f{x}g'(x)dx,

Ju

=/(a)g(a)-£/(x)g'Q)dx+£f(x)g'(x)dx

由于尤e[0,1]时，g,（x）＞0,因此

/(x)g'(x)>/(a)g'(x),xe[a,l],

£f(x)g'(x)dx>ff(a)g'(x)dx=/(a)[g⑴-g(«)]，

从而^g(x)f\x)dx+£f(x)g'(x)dx

(20)(此题总分值13分)

齐次线性方程组

X]+2X2+3X3=0,

⑴2玉+3X2+5x3=0,

x,+x2+ax3=0,

和

x+bx+cx=0,

(ii)l23

2

2$+bx2+(c+l)x3=0,

同解，求a,b,c的值.

【分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a,这样先求出

（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.

【详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组⑴

与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.

对方程组⑴的系数矩阵施以初等行变换

1

ci—2

从而a=2.此时，方程组⑴的系数矩阵可化为

123101

235—>011

112000

故（-1,-11）'是方程组（i）的一个根底解系.

将内=-1,々=一1,当=1代入方程组⑴）可得

〃=l,c=2或力=0,c=l.

当。=l,c=2时，对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换，有

112]F101

213厂11

显然此时方程组(i)与(ii)同解.

当b=O,c=l时,对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换，有

1011「101

202J|_000

显然此时方程组(i)与(ii)的解不相同.

综上所述，当a=2,b=l,c=2时，方程组⑴与(ii)同解.

(21)(此题总分值13分)

4C

设。=T为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为〃zx〃矩阵.

CrB

(I)计算P'DP,其中「

。E”

(II)利用⑴的结果判断矩阵8-C'ATC是否为正定矩阵，并证明你的结论.

【分析】第一局部直接利用分块矩阵的乘法即可；第二局部是讨论抽象矩阵的正定性,一般用定义.

O

【详解】⑴因P有

-CTA-'E._

oA-A-'c

TEm

PDP=7

TC'B\[oE_

-CA-'E“n

4C话-A-'C

T

0B-CA-'C][OEn

Ao

oB-CTA']C

(ID矩阵8—。丁4一1。是正定矩阵.

由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵

又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.

因矩阵M为对称矩阵，故3-。7-七为对称矩阵.对X=(0,0,…T及任意的

丫=(%,必，…,y,,),工0，有

（X'yT）］B；4_（［：）=丫7'（8-。7-|。丫>0.故5-。"一|。为正定矩阵.

（22）（此题总分值13分）

设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

求：⑴途,丫）的边缘概率密度心（幻，力（30；

（IDz=2x—y的概率密度心（Z）.

1

（in）p{y<-x<-}.

222

【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法,

即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度；直接用条件概率公式计算即可.

【详解】（I）关于X的边缘概率密度

<X<1,

其他.

2x,0<x<1,

一10,其他

关于Y的边缘概率密度

dx,0<y<2,

4（y）=「/（x，y）dx=<v

0,其他

1-2.0<y<2,