数学必修一 第三章 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件

第1课时函数的单调性第三章

3.2.1

单调性与最大(小)值学习目标1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.导语同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关哦.课时对点练一、直观感知函数的单调性二、利用定义证明函数的单调性三、函数单调性的简单应用随堂演练内容索引直观感知函数的单调性

一问题1

观察下面三个函数图形，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？提示函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.问题2

如何理解函数图象是上升的？提示按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大.知识梳理函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1

x2时，都有f(x1)

f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是

.如果∀x1，x2∈D，当x1

x2时，都有f(x1)

f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是

.增函数<<<>减函数(1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集.(2)同区间性，即x1，x2∈D.(3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替.(4)有序性，即要规定x1，x2的大小.(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一.(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.注意点：

已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间.例1如图.由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2).(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.反思感悟

画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.跟踪训练1函数的图象如图实线部分所示.由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).利用定义证明函数的单调性

二

证明函数f(x)＝

在区间(2，＋∞)上单调递减.例2∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，因为2<x1<x2，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论.(4)结论：根据定义确定单调性.反思感悟

求证：函数f(x)＝－

－1在区间(－∞，0)上单调递增.跟踪训练2∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0，由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数单调性的简单应用

三

(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是___________.例3f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4].(－∞，－4]解得4≤a<8.[4,8)延伸探究在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为______.－4f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4.由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.反思感悟

已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为____________.若该函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则x的取值范围为__________.跟踪训练3(－∞，1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1).若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，课堂小结1.知识清单：(1)增函数、减函数的定义.(2)函数的单调区间.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集.(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域.随堂演练

1.函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是A.[－4,4]B.[－4，－3]∪[1,4]C.[－3,1]D.[－3,4]√1234由图象知f(x)的单调递增区间为[－3,1].12342.若函数f(x)在R上是减函数，则有A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)√因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).12343.若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有√12344.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是________.由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.(－2,1)课时对点练

12345678910111213141516基础巩固1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是A.(0,1)B.(－∞，1)C. D.(－∞，3)√123456789101112131415162.下列说法中，正确的有①函数y＝x2在R上是增函数；②函数y＝－

在定义域上是增函数；③函数y＝

的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).A.0个

B.1个

C.2个

D.3个√123456789101112131415163.如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C.若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)√12345678910111213141516因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).123456789101112131415164.已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则A.f(2)>f(3)

B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5)

D.f(3)>f(6)√∵f(x)关于x＝4对称且在(4，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，4)上单调递增，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，∴f(3)>f(2)＝f(6)，故选D.123456789101112131415165.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是A.(－24,40) B.[－24,40]C.(－∞，－24] D.[40，＋∞)√且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，123456789101112131415166.(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是A.f(x)＝－

B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2

D.f(x)＝1－x√由函数的图象知f(x)＝－

，f(x)＝x，f(x)＝－x2

在(－∞，0)上单调递增.√√123456789101112131415167.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是___________________.y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图.由图象可知，其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞).[－1,1]和[3，＋∞)123456789101112131415168.已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.123456789101112131415169.画出下列函数的图象，并写出它的单调区间.(1)f(x)＝|x＋2|；图象如右，f(x)的单调递增区间为[－2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2).12345678910111213141516图象如右，(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.1234567891011121314151610.证明函数f(x)＝x－

在(0，＋∞)上单调递增.设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，因为x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.12345678910111213141516综合运用11.已知函数f(x)＝

若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞)√画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.1234567891011121314151612.函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是A.(3，＋∞) B.(－∞，3)C.[2,3) D.[0,3)√1234567891011121314151613.已知函数f(x)＝

在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.[－3,0) D.[－3，－2]√12345678910111213141516因此函数h(x)＝－x2－ax－5在区间(－∞，1]上单调递增，解得－3≤a≤－2.1234567891011121314151614.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________.[－3,0]12345678910111213141516①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，∴a＝0满足条件；②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，