2024高考数学一轮备考复习第10章概率第3节几何概型课时跟踪检测文含解析新人教B版

PAGE第十章概率第三节几何概型A级·基础过关|固根基|1.已知函数f(x)＝log2x，x∈[1，8]，则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7) D.eq\f(4,7)解析：选B区间[1，8]的长度为7，不等式1≤f(x)≤2，即不等式1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，对应区间[2，4]的长度为2，由几何概型概率公式可得使不等式1≤f(x)≤2成立的概率是P＝eq\f(2,7).2．已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图象如图所示，则向圆内随意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：选B由图形的对称性知，所求概率为P＝eq\f(\f(1,4)π×12,π×12)＝eq\f(1,4).故选B.3．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是()A．4 B．3C．2 D．1解析：选B由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为eq\f(1,3)，所以阴影部分的面积约为9×eq\f(1,3)＝3.4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,12) D．1－eq\f(π,12)解析：选D如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).事务“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－eq\f(2π,3)，依据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).5．(2025届“四省八校联盟”高三联考)在区间[－6，9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A.eq\f(8,15) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(11,15)解析：选D对于方程－x2＋mx＋m＝0，令Δ＝m2＋4m≥0，得m≥0或m≤－4，所以函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝eq\f([－4－（－6）]＋（9－0）,9－（－6）)＝eq\f(11,15).故选D.6．(2025届惠州调研)关于圆周率π，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如闻名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最终依据统计个数m估计π的值．假如统计结果是m＝34，那么可以估计π的值为()A.eq\f(23,7) B.eq\f(47,15)C.eq\f(17,15) D.eq\f(53,17)解析：选B由题意，得120对正实数对(x，y)中的x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜y＜1，))该不等式组表示的平面区域的面积为1，若正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＞1，,x2＋y2－1＜0，,0＜x＜1，,0＜y＜1，))该不等式组表示的平面区域的面积为eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，则eq\f(π,4)－eq\f(1,2)≈eq\f(34,120)，eq\f(π,4)≈eq\f(94,120)，π≈eq\f(47,15)，故选B.7．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,16)C．1－eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,16)解析：选C正方形的面积为82＝64，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为64－8π，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率P＝eq\f(64－8π,64)＝1－eq\f(π,8)，故选C.8．在区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))内随意取一点P(x，y)，则x2＋y2＞1的概率是()A.eq\f(2π－4,4) B.eq\f(4－π,4)C.eq\f(π－2,4) D.eq\f(π,4)解析：选B依据题意画出图形，符合题意的点P在阴影部分内，由几何概型的概率公式得所求概率为P＝eq\f(1×1－\f(1,4)×π×12,1×1)＝eq\f(4－π,4)，故选B.9．已知集合A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中随意取一个元素a，则a∈B的概率为________．解析：A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}＝{y|－1≤y≤8}．B＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1}．若∀a∈A，则a∈B，则－1≤a≤1，则所求的概率P＝eq\f(1－（－1）,8－（－1）)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)10．已知半径为R的圆周上有肯定点A，在圆周上等可能地随意取一点与点A连接，则所得弦长小于eq\r(3)R的概率为________．解析：当弦长为eq\r(3)R时，如图所示．∠OBA＝30°，∠BOA＝120°，eq\f(120°,360°)＝eq\f(1,3)，故所取点在AB(不包括A，B两点)上时，满意题意，在半径OA的另一边也存在相等的弧，∴所求概率为eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)11.如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝eq\f(V锥,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R·R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).答案：eq\f(1,2π)12．在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，“使得x＋2y≤8成立”的概率为________．解析：由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满意x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A(4，2)，S正方形＝16，S阴影＝eq\f(（2＋4）×4,2)＝12，故“使得x＋2y≤8成立”的概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)B级·素养提升|练实力|13.把一枚质地匀称、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(9,16)C.eq\f(π,4) D.eq\f(15,16)解析：选B由题意可知，要使硬币平放在托盘上且没有掉下去，则硬币的圆心必需落在正方形ABCD中(包括边界)，如图，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率P＝eq\f(6×6,8×8)＝eq\f(9,16)，故选B.14．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x＜1，,lnx＋e，1≤x≤e))在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A.eq\f(1,e) B．1－eq\f(1,e)C.eq\f(e,1＋e) D.eq\f(1,1＋e)解析：选B当0≤x＜1时，恒有f(x)＝ex＜e，不满意题意．当1≤x≤e时，f(x)＝lnx＋e.由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事务的概率P＝eq\f(e－1,e)＝1－eq\f(1,e).15．七巧板是一种古老的中国传统智力嬉戏，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，在该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：选A设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，所以S△BCI＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)，S平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，所以所求的概率P＝eq\f(S△BCI＋S平行四边形EFGH,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq\f(3,16).故选A.16．如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于eq\f(1,4)的概率为________．解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于eq\f(1,4)，则eq\f(1,2)×1×1×sin