江苏省沭阳如东中学2025届高三数学上学期第一次月考试题含解析

PAGE第=4页，共=sectionpages1919页PAGE18江苏省沭阳如东中学2025届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40分）设集合2，3，，4，5，6，，集合且，则A. B.

C.6， D.4，5，6，【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理实力，属于基础题．

干脆利用已知且，依次验证元素，即可得到答案．

【解答】

解：因为集合且，

所以M中的元素在B集合中，但是该元素不在A集合中，

因为4，5，6，，依次检验元素，可得元素5，6，7满意题意，

所以6，

；

故选C

函数的图象大致是

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】

本题考查函数的性质及图象的应用，属于基础题．

由函数的定义域为即可求解．

【解答】

解：由，得，

则该函数的定义域为，

结合选项，只有A项符合．

故选A．

在平面直角坐标系xOy中，点，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】

本题重点考查平面对量数量积与垂直，考查推理实力和计算实力，属于基础题．

由，得，又

，联马上可求解．

【解答】

解：设，

由题意，得，

则，

又

，

联立

，解得，即，

故选D．

已知函数，若，那么实数a的值是

A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查了分段函数及求值、指数运算，属于基础题．

先求得，再依据求得结果．

【解答】

解：，

由，得到，．

故选C．

已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查幂函数的性质，考查学生的思维实力，属中档题．

由幂函数的性质，点在幂函数的图象上，可解出m，得到原函数，利用其单调性，即可比较大小．

【解答】

解：点在幂函数的图象上，

，，

点在幂函数上，

，解得．

在R上单调递增，

又，，

又，，，

则a，b，c的大小关系为

．

故选C．

正三角形ABC中，D是线段BC上的点，，，则

A.12 B.18 C.24 D.30【答案】D【解析】【分析】

本题主要考查向量的加法、减法、数乘运算，平面对量数量积的计算，向量的几何运用，属于一般题．

以作为基底表示出所求向量，再利用向量的加法、减法、数乘运算即可得结果．

【解答】

解：如图，正三角形ABC中，D是线段BC上的点，

，，

，，

则．

故选D．

已知定义在R上的函数满意，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数a的值为A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查了导数的几何意义，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．

由已知等式可得函数是偶函数且是周期为2的周期函数，并得到函数的一条对称轴方程，作出的图象，再求出与相切时的切点坐标得答案．

【解答】

解：由，可知为偶函数，且一条对称轴为，

再由，可得，即函数的周期为2．

依据时，作出函数的草图，如图所示：

方程在上恰好有两个实数根，

函数与的图象在y轴右侧有两个交点，

设与相切时，切点坐标为，

由，得，解得．

由图象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，

．

故选C．

设的内角所对的边分别为，且，，则的最大值为

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】

本题考查了正弦定理和三角恒等变换以及函数最值的求解，考查学生的计算实力和推理实力，属于中档题．

依据题意利用正弦定理化简可得，从而化简构建函数，进而即可求得最大值．

【解答】

解：，

由正弦定理可得

，

绽开并整理得，

化简得，

故，

令，

，

当时，取得最大值，代入可得，

故选A．

二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）已知不等式对随意的恒成立，则满意条件的整数a的可能值为A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】

本题主要考查不等式恒成立问题，属中档题．

令，利用导数求出函数的最小值，从而得到a的取值范围，进而得到正确选项．

【解答】

解：令，，当时，，当时，，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值是，因为不等式对随意的恒成立，

，所以整数a的可能值为，．

故选AB．

已知函数，则下列说法中正确的是A.函数的图象关于点对称

B.函数图象的一条对称轴是

C.若，则函数的最小值为

D.若，则【答案】BC【解析】【分析】

本题主要考查了三角函数图象的性质，属于中档题．

结合三角函数图象的性质对每个选项逐一推断即可求解．

【解答】

解：由函数，

则对称中心的纵坐标为1，故A错误；

令，则，

当时，，故B正确；

当时，，，

则，

即此时函数的最小值为，故C正确；

由B选项知，函数的对称轴为，

当时，函数在该区间内有两条对称轴和，

可得在上不是单调函数，

则若，则不肯定成立，故D错误．

故选BC．

数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分呈现了相互转化、对称统一的和谐美．假如能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“美丽函数“，下列说法正确的的是

A.对于随意一个圆，其“美丽函数“有多数个

B.可以是某个圆的“美丽函数”

C.正弦函数可以同时是多数个圆的“美丽函数”

D.函数是“美丽函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】ABC【解析】【分析】

本题考查函数图象的对称性，只要函数图象的对称中心在圆心，该函数就是“美丽函数”，由此判定选项即可．

【解答】

解：当函数图象为中心对称图形，且对称中心在圆心时，该图象能够将圆的周长和面积同时平分，函数即为“美丽函数”．

对A，对于随意一个圆，存在多数个函数，图象为中心对称图形，只要平移，使其对称中心平移到圆心，对应的函数都是“美丽函数”，A正确；

对B，的图象关于点对称，所以它是以原点为圆心的某个圆的“美丽函数”，B正确；

对C，正弦函数有多数个对称中心，所以它是以这些对称中心为圆心的圆的“美丽函数”，C正确；

对D，函数的图象将圆的周长和面积同时平分时，该函数图象不肯定是中心对称图形，D错误，

故选ABC．

已知函数的定义域为，图像关于y轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是A. B.

C. D.【答案】AD【解析】【分析】

本题考查比较大小，函数奇偶性，不等式性质，利用导数探讨函数的单调性，属于中档题．

由题意，当时，构造函数，则，所以时，单调递减，再由是偶函数，可得是奇函数，所以当时，单调递减，依据选项可得结论．

【解答】

解：由题意，当时，构造函数，则，

所以时，单调递减，

又由题意可得是偶函数，

所以是奇函数，则当时，也单调递减．

对于A，，，

，即，

，故A正确；

对于B，，，

，即，

可得，故B错误；

对于C，，，

即，，

即，

，故C错误；

对于D，，，

，

，即，

，故D正确．

故选AD．

三、填空题（本大题共4小题，共20分）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，其始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则____．【答案】；【解析】【分析】

本题主要考查随意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

由题意利用随意角的三角函数的定义求得的值，再利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．

【解答】

解：平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，

其始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，

，

．

故答案为：．

已知命题p：“，关于x的方程有实数解”若命题p为真命题，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】

本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、基本不等式的性质，简易逻辑的有关学问，考查了推理实力与计算实力，属于中档题由题意可知，依据基本不等式的性质，即可求得m的取值范围．

【解答】

解：因为p为真命题，即方程有实数解，

，当且仅当时等号成立，

，

故m的取值范围是．

故答案为．

已知函数，则____；关于x的不等式的解集为____．【答案】；【解析】【分析】

本题考查函数的单调性与奇偶性的推断以及应用，属于中档题，

由函数的解析式可求，设，分析函数的单调性与奇偶性，将原不等式转化为，即可得解．

【解答】

解：因为函数，

则；

设，易知函数在R上为增函数，

且，

所以函数为奇函数，

因为等价于，

即，则，解得，

所以关于x的不等式的解集为．

故答案为；．

已知函数，若存在，使得，则实数a的值为____．【答案】【解析】【分析】

本题考查导数中的存在性问题，考查推理实力和计算实力，属于较难题．

将函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，

则问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，然后借助导数的几何意义即可求解．

【解答】

解：函数，

函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，

动点M在函数的图象上，N在直线的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由得，，解得，

所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，

则，

依据题意，要使，则，

此时N恰好为垂足，由，解得．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，，．求角B；求的面积．【答案】解：若选，

由余弦定理可得，，

因为，

故B．

若选，

由正弦定理可得，，

因为，

所以，即，

因为，故B．

由可得，

所以，

因为，故B；

由正弦定理可得，，

所以．

．

所以．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形面积计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．

选由余弦定理可得，进而解得B；选由正弦定理得，所以；选由和角公式得，可得；

再由正弦定理可得a，再用和角公式求得sinC，最终利用三角形的面积公式计算即可得出．

已知函数

求的单调递增区间；

求在上的最小值及取最小值时的x的集合．【答案】解：

，

令，，

解可得，，，

故函数的单调递增区间为，，

，

，

当，即时，函数取得最小值．

故在上的最小值为，取最小值时x的集合【解析】本题考查三角函数的恒等变换以及正弦函数的图象与性质，比较基础．

利用二倍角公式以及协助角公式把化为一个角的正弦函数，再令，，解得x的范围即得的单调递增区间；

由x的范围得到的范围，再结合正弦函数的图象与性质，求得在上的最小值及取最小值时的x的集合．

某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入万元之间满意：，a，b为常数．当万元时，万元；当万元时，万元．求的解析式；求该景点改造升级后旅游利润的最大值精确到，参考数据：，，【答案】解：旅游增加值y万元与投入万元之间满意：

，a，b为常数．

当万元时，万元；当万元时，万元，

解得，，

．

由题意知：

，，

，

令，则舍，或，

当时，，在上是增函数，

当时，，在上是减函数，

为的极大值点，

又，

该景点改造升级后旅游利润的最大值为万元．【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的学问、思想和方法解决实际问题的实力，建立函数式、解方程、不等

式、最大值等基础学问解决实际问题通常有四个步联：阅读理解，仔细审题引进数学符号，建立数学模型

利用数学的方法，得到数学结果转译成详细问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

由条件：“当万元时，万元当万元时，万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求的解析式

先写出函数的解析式，再利用导数探讨其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．

设，是函数的图象上随意两点，点满意若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小．【答案】证明：由可知，，即，

故为定值，即得证；

解：由，，可得，

则，即，解得．

此时由，可得，

故，即．【解析】本题考查对数的运算以及对数不等式的求解问题，考查比较大小的问题，属于中档题．

由条件可得，继而可推算出，即可得证结论；

由条件可得，解对数不等式即可求得的取值范围．依据得，进而有．

已知椭圆两焦点、在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．

求P点坐标；求证直线AB的斜率为定值．【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，

，即，

，

椭圆方程为，

焦点坐标为，，

设，

则，，

，

点P在曲线上，则，

，

从而，得，则点P的坐标为；

由知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，

设PB的斜率为，则PB的直线方程为，

由，

得，

设，则，

同理可得，则，

，

所以AB的斜率为定值．【解析】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题．

由已知可解出椭圆方程，然后设出，结合，即可解出点P的坐标；

由知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的直线方程为，与椭圆方程联立，即可解出，同理可得，然后解出，即可算出AB的斜率．

已知函数，．设函数与有相同的极值点．求实数a的值；若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；时，设函数，试推断在上零点的个数．【答案】解：，

当时，，函数单调递增，

，，函数单调递减，

故时，函数取得唯一的极大值，

故也是的极值点，，

由可得，

经检验是的微小值点，故，

由知，由于，，，

明显，

故时，，，

又，，，

故，

所以当时，，，

当时，问题等价于，

所以恒成立，即，

，

，故符合题意；

当即