第8章 线性动态电路的时域分析

第8章线性动态电路的时域分析8.1换路定律和初始值的计算8.2一阶电路的零输入响应8.3一阶电路的零状态响应8.4一阶电路的全响应和三要素法8.5阶跃函数和一阶电路的阶跃响应8.6冲激函数和一阶电路的冲激响应8.7RLC串联电路的零输入响应本章主要内容了解过渡过程的含义及产生过渡过程的原因；掌握换路的含义及换路定律的内容；掌握t=0+时的各物理量的初始值的确定；理解零输入响应、零状态响应、全响应的含义及求解方法；掌握三要素法求解一阶动态电路的方法；理解时间常数的含义并会求解；掌握一阶电路的阶跃响应概念及求解；了解二阶电路的零状态响应。。8.1换路定律和初始值的计算8.1.1换路定律开关闭合前开关闭合后稳态：电路中的所有响应均为定值或随时间作周期规律变化。暂态：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。过渡过程产生的原因1.电路中含有储能元件（内因）2.电路结构或电路参数发生变化（外因）能量不能发生跃变支路的接入、断开；开路、短路等参数变化过渡过程：当电路含有储能元件（如电感、电容），且电路的结构或元件参数发生变化时，可能使电路从一种稳态变到另一种稳态，这种转变需要一个过程，这个过程称为电路的过渡过程，也称暂态过程，简称暂态。换路

1.利用电路暂态过程产生特定波形的电信号

如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义2.控制、预防可能产生的危害

暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。分析动态电路的过渡过程的方法复频域分析法时域分析法经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用经典法：根据KCL、KVL和支路VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解微分方程，从而得到电路所求变量（电压或电流）。这种方法称为经典法，它是在时域中进行的分析方法。动态电路的阶数：一阶电路：一阶微分方程所描述的电路。二阶电路：二阶微分方程所描述的电路。高阶电路：高阶微分方程所描述的电路。换路定律

设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）换路瞬间，若电容电流、电感电压保持为有限值，则电容电压、电感电流在换路前后保持不变。uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。换路定律反映了能量不能跃变。注意8.1.2初始值的计算初始值：若描述动态电路的微分方程为n阶，则电路中所求变量及其（n-1）阶导数在t=0+时的值，即为初始值。独立初始值：电容电压uC和电感电流iL的初始值，即

uC(0+)和iL(0+)。非独立初始值：除uC(0+)和iL(0+)以外的初始值，如：

iC(0+)和uL(0+)、uR(0+)等。可由换路定律确定。由电路的外加激励和独立初始值共同确定。求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得独立初始值uC(0+)

和iL(0+)。3.画t=0+等效电路。电感元件用一个电流值为iL(0+)的理想电流源替代；电容元件用一个电压值为uC(0+)的理想电压源替代。方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同。4.由t=0+电路求其余电压、电流的初始值。【例8-1】电路如图8-2（a）所示，开关S闭合前电路已稳定，已知t=0时开关S闭合，试求

解：（1）先求S闭合前电路已处于直流稳态，故电容相当于开路，电感相当于短路。（2）根据换路定律，有（3）将电感用0.2A电流源替代，电容用4V电压源提点，可得时的等效电路，如图8-2（b）所示，故(2)由换路定律

uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由t=0－电路求uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由t=0+等效电路求iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)电容开路t=0+等效电路电容用电压源替代注意iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解:电感短路由t=0+等效电路求uL(0+)注意例3图示电路，在t<0时电路处于稳态，t=0时开关接通。求初始值iL(0+)、uC(0+)、u(0+)、uL(0+)、iC(0+)。解:(1)在t<0时电路处于稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，于是求得换路前的电感电流和电容电压：（2）由换路定律得t<0时电路（3）由t=0+等效电路，求u(0+)、uL(0+)、iC(0+)

节点电压法列节点A的电压方程：解得根据KVL和KCL进一步求得

t=0+时的等效电路8.2一阶电路的零输入响应

换路后无独立电源，仅有元件的初始储能引起的响应。零输入响应8.2.1RC电路的零输入响应换路前，开关S是合在位置1上的，电源对电容元件充电，达到稳态时uC(0-)=

U0。当t=0时，将开关位置1合到位置2。此时，电容电压的初始值uC(0+)=U0，电容已储存能量RC电路的零输入响应实质：电容放电的过程。电容元件经过电阻R开始放电，电阻不断消耗能量，电容电压下降；最后，储存在电容中的电场能量全部被电阻吸收而转换成热能。在图示的电压电流的参考方向下：其中整理，有特征根特征方程RCp+1=0则上式为一阶线性常系数齐次微分方程，其通解为uC

(0+)=uC(0－)=U01.电容电压uC的变化规律(t0)代入初始值8.2一阶电路的零输入响应

换路后无独立电源，仅有元件的初始储能引起的响应。零输入响应8.2.1RC电路的零输入响应换路前，开关S是合在位置1上的，电源对电容元件充电，达到稳态时uC(0-)=

U0。当t=0时，将开关位置1合到位置2。此时，电容电压的初始值uC(0+)=U0，电容已储存能量1.RC电路的零输入响应实质：电容放电的过程。A=U0所以，电容放电过程中，其电压的变化规律式中τ

=RC称为一阶RC电路的时间常数；当电阻的单位为欧姆（Ω），电容的单位为法拉F）时，τ的单位为时间单位秒（s）。2.电流及电阻电压的变化规律3.、、变化曲线tO4.时间常数表明：RC电路的零输入响应uC、i是随时间按同一指数规律衰减的，其衰减快慢取决于时间常数τ。

=RC时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理意义当t=τ时时间常数τ等于电压uC衰减到初始值U0

的0.368所需的时间。

U00.368U0U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

a.理论上讲t→∞时,电路才能达到稳态。在工程上一般认为换路后，经过3τ～5τ时间，过渡过程结束。b.时间常数τ仅与电路的参数R、C有关，所以，在实际电路中，适当选择

R或

C，就可以改变时间常数τ，控制电容放电的快慢。【例8-2】图（a）所示电路中，开关S在时由1位置合到2位置，设开关动作以前电路已处于稳态。试求时的和i。解：（1）在图（a）中确定

的值

换路后的电路如图（b）所示。（2）计算时间常数（3）开关闭合以后属于零输入响应，所以解:

S闭合前电路已进入稳态，此时根据换路定律时间常数所以例4电路如图所示，已知US=50V，R1=10kΩ，R2=5kΩ，

C=100μF，开关S在t=0时闭合。S闭合前电路已进入稳态，求uC(t)。电路如图所示，开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合向2，试求t>0时电压uC和电流iC、i1及i2。例5解：这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：换路后，电容通过电阻1Ω和2Ω两支路放电，等效电阻为

时间常数τ

8.2.2RL电路的零输入响应RL电路的零输入响应实质：具有磁场储能的电感L对电阻R释放储能的响应。换路前，开关S合在1上，电感中有电流，达到稳态时。当t=0时，将开关从1合到2。此时，电感电流的初始值iL(0+)=I0，电感已储存能量，于是电感L经过电阻R释放能量。由于电阻R是耗能元件，且电路在零输入条件下得不到能量的补充，电感电流逐渐减小，最后，电感储存的全部能量被电阻耗尽，电路中的电压、电流也趋向于零。1.电感电流iL的变化规律(t0)各元件电压与电流的参考方向如图所示,由KVL列出换路后电路的方程：其中整理，有——以i为未知量的一阶常系数线性齐次微分方程令其通解为相应的特征方程为特征根为根据换路定律，可得所以2.电感电压及电阻电压的变化规律式中，称为电路的时间常数当电阻的单位为欧姆（Ω），电感的单位为亨（H）时，τ的单位为时间单位秒（s）。

3.、、变化曲线表明：RL电路的零输入响应iL、uL和uR是随时间按同一指数规律衰减的，其衰减快慢取决于时间常数τ。4.时间常数

-----称为一阶RL电路时间常数

=L/Rb.时间常数τ仅与电路的参数R、L有关，适当选择R或

L，就可以改变时间常数τ，控制电感放电的快慢。a.时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短，

大→过渡过程时间长；

小→过渡过程时间短【例8-3】图（a）所示电路中，已知

t<0时电路处于直流稳态，t=0时开关断开。求t>0时的电流及开关两端电压。解：换路后的电路属于零输入状态，所以；开关两端电压为iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V损坏。例6t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解：例7如图，在t=0时开关由a投向b，试求t≥0时i(t)，uL(t)解：t<0时，开关在a的位置，此时电感元件相当于短路。由换路定律时间常数一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路小结衰减快慢取决于时间常数

=RC

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路8.3一阶电路的零状态响应储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。零状态响应8.3.1RC电路的零状态响应实质：RC电路的充电过程换路前电容中无储能,uC(0－)=0。开关S闭合，电路与恒压源接通，电压源开始向电容充电。由换路定律可知uC(0+)=uC(0－)=0，所以换路瞬间，电容元件相当于短路，电压源的电压全部加在电阻R两端，此时电路的充电电流最大随着充电的进行，电容电压开始增加，充电电流i减小。直至电容电压等于电源电压，电流i为零，充电停止。1.电容电压uC的变化规律(t0)由KVL得其中整理，有——以uC为未知量的一阶常数线性非齐次微分方程方程的解为齐次方程的通解自由分量非齐方程的特解强制分量稳态分量暂态分量取强制分量自由分量通解为根据初始条件及换路定律，得因此2.电流及电阻电压的变化规律其中3.、、变化曲线4.时间常数经过一个时间常数τ，电容电压增长为当t=5τ时

可以认为充电过程已经结束。时间常数越大，自由分量衰减越慢，充电持续时间越长。5.能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。表明【例8-4】如图RC串联电路，已知US=200V，R=6KΩ，C=10μF，uC(0-)=0，在t=0时闭合开关S。求：（1）最大充电电流；（2）开关闭合后经历多长时间，电容上的电压才能达到160V？解：（1）S合上瞬间充电电流最大，（2）设开关合上后到t1

时，电容上电压充到80V，电路的时间常数求得t1=96.6msτ＝RC=6×103×10×10－6＝60ms已知US=200V，代入例如图所示，开关S在t=0时闭合。设开关S

闭合之前电路已处于稳定状态，试求uC(t)。解:电路为零状态响应。方法一：uC的稳态分量时间常数所以例如图所示，开关S在t=0时闭合。设开关S

闭合之前电路已处于稳定状态，试求uC(t)。解:方法二：把换路以后除电容C以外的部分电路简化为戴维南等效电路,8.3.2RL电路的零状态响应RL的零状态响应就是没有储能的电感L经电阻R接至直流电源充电的响应。换路前电感中无储能,iL(0－)=0。开关S闭合，电路与恒压源接通，电源经电阻开始给电感元件充磁。

由换路定律可知iL(0+)=iL(0－)=0，所以换路瞬间，电感元件相当于开路，电压源的电压全部加在电感两端。随着时间的增加，电路中的电流和电阻上的电压由零逐渐增加，直到电阻电压等于电源电压，电路达到新的稳态，此时电流值1.电感电流iL的变化规律(t0)由KVL及元件的伏安关系得——以i为未知量的一阶常数线性非齐次微分方程与RC零响应分析相似，方程的解为特解，根据初始条件，由换路定律得其中2.电感电压及电阻电压的变化规律3.、、变化曲线4.时间常数经过一个时间常数τ，电流增长为当t=5τ时

可认为充电过程已结束。【例8-5】图8-11示电路中，电路原处于稳态，时，开关闭合，求时的解：由于电感中无初始储能。开关闭合后，属于零状态响应。例10如图所示，已知US=30V，R1=R2=R=10Ω，L=0.15H，

电感中电流iL(0-)=0，t=0时开关闭合，求各支路电流。

解：将R和L以外的电路看作一个二端网络，应用戴维南定理将其化简，有电路为零状态响应，例10如图所示，已知US=30V，R1=R2=R=10Ω，L=0.15H，

电感中电流iL(0-)=0，t=0时开关闭合，求各支路电流。

8.4一阶电路的全响应和三要素法8.4.1一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。全响应以RC电路为例如图，

uC(0-)=

U0，换路后，电路的方程为解为根据换路定律：

有电容电压的全响应强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)上式可改写为零输入响应零状态响应全响应=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)全响应=零状态响应+零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0RL电路的全响应与RC电路的全响应相似图示电路中，开关S闭合前电路处于稳态。在t=0时将开关S闭合。试求：换路后的iL和uL。例11解：

8.4.2三要素法1、一阶电路响应的规律在直流激励作用下，一阶电路的全响应f(t)具有如下规律，即式中，f(0+)表示响应的初始值，f(∞)表示响应的稳态值。一阶电路全响应的三要素：f(0+)、f(∞)和τ。2、三要素法对于一阶电路的任何响应，只要求出其f(0+)、f(∞)和τ这三个数值，就可以根据式（1）直接写出响应的表达式，这种求得响应的方法称为三要素法。解题步骤：（1）由换路前的稳态电路，求出uC(0-)或iL(0-

)。（2）画t=0+等效电路，用一个电压值为uC(0+)的理想电压源替代电容元件或用一个电流值为iL(0+)的理想电流源替代原电路的电感元件，求出其他响应的初始值f(0+)。（3）画出稳态等效电路，此时（t=∞），电容相当于开路，电感相当于短路，求出稳态值f(∞)。（4）求出电路的时间常数τ，

Req为动态元件两端看进去的戴维南等效电阻。（5）根据三要素的通用公式（1），代入三要素，求得响应f(t)。【例8-6】在图电路中，已知US=10V，R=2Ω，L=4H，IS=2A。试求S闭合后电路中的电流iL和i。解：为RL电路的全响应电路（1）求初始值。由换路定律得（2）由换路后的电路求稳态值（3）求时间常数例12如图所示，R1=30Ω，R2=60Ω，C=0.5F，US1=60V，US2=30V，t=0时开关接通。求t>0时电压和电流i。解：稳态值：等效电阻：时间常数：初始值：例13如图，R=1kΩ，C=10μF，US=12V，开关S在t=0时闭合。设开关S闭合之前电路已处于稳定状态，电容上的电压为6V，试用三要素法求解电路响应uC、i。解：先求电容电压uC（1）求电容电压初始值uC(0+)（2）求电容电压稳态值uC(∞)（3）求时间常数τ（4）用三要素法求电容电压uC再求电流i（1）求电流初始值i(0+)换路后瞬间，电容相当于6V的电压源，根据KVL列方程可写为电流的初始值为（2）求电流稳态值i(∞)（3）求时间常数τ，同上，

τ=0.01s（4）用三要素法求电流i8.5阶跃函数和一阶电路的阶跃响应8.5.1阶跃函数单位阶跃函数用ε(t)表示，其为:它在t=0-到t=0+间发生了单位阶跃。波形为将单位阶跃函数乘以常数K，则得一般的阶跃函数Kε(t)，波形为

如果单位跃阶发生在t=t0时刻，则称为延迟的单位阶跃函数，用ε(t-t0)表示为1.定义:波形为2.阶跃函数的应用（1）描述电源的接入阶跃函数可以用来描述电源的接入，表示开关的动作。图（a），用阶跃函数表示在t=0时把4V直流电压源接入电路；图（b），用延迟的阶跃函数表示在t=t0时把2A直流电流源接入电路。（2）分解波形如图（a）的矩形脉冲信号，可以看成是图（b）和（c）两个阶跃信号之和，即（2）分解波形用阶跃信号来表示波形f(t)，表达式为（3）描述电路响应的时间区间设信号

的波形如图(a)所示，若要求在时刻开始作用，可以把乘以，如图(b)所示，即若要求仅在区间信号起作用，则将乘以

即可，波形如图(c)所示。以例14t1

02已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。t1

u(t)0－22t1

0－11t

1

01

t10218.5.2一阶电路的阶跃响应定义：当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用

表示。单位阶跃函数

作用于电路相当于单位直流源（1V或1A）在

时接入电路。一阶电路的阶跃响应仍可用三要素法求得。图（a）所示RC串联电路，已知其初始值，稳态值，时间常数。用三要素公式得到电容电压的阶跃响应为图（b）所示RL串联电路，已知其初始值，稳态值，时间常数。用三要素公式得到电感电流的阶跃响应为因此，对于RC电路而言，如果激励是幅值为U的阶跃函数，则电容电压的阶跃响应为如果激励是幅值为U的延迟阶跃函数，则电容电压的阶跃响应为电容电压的单位阶跃响应为电感电流的单位阶跃响应为在阶跃激励下电容电压的响应为延迟阶跃激励的零状态响应为一阶电路的阶跃响应：例8-7图(a)所示，R=8Ω，C=0.25F，如图（b）所示的矩形脉冲电压u(t)在t=0时作用于电路，求其零状态响应uc(t)。解:脉冲电压可分解成两个阶跃电压之和，即阶跃电压作用于电路时的零状态响应为阶跃电压作用于电