第3章 电路分析方法

第3章电路分析方法3.1支路电流法3.2网孔电流法3.3节点电压法3.4叠加定理和齐次定理3.5戴维南定理和诺顿定理3.6最大功率传输定理3.7互易定理本章重点·电路的分析法:

支路电流法、网孔电流法、节点电压法·电路定理：

叠加定理、齐次定理、等效电源定理（戴维南定理和诺顿定理）、最大功率传输定理1)KCL和KVL的独立方程数3.1

支路电流法该电路有两个节点（a、b）和3条支路。列电流方程：节点a节点b

这个结果可推到一般情形：在含有n个节点的电路中，按KCL可列写（n-1）个独立的方程，或者说，电路的独立节点为（n-1）。观察图3－1中的两个回路m1和m2，按照所设定的回路绕行方向，可列KVL方程为回路m2回路m1该电路还有一个回路，即us1

、R1、R3与R4构成的大回路，它的KVL方程为如果电路有b条支路、n个节点，则独立的KVL方程数为归纳起来，对于有n个节点和b条支路的电路一定有（n-1）个独立的KCL方程；（b-n+1）个独立的KVL方程。联立求解这些方程，可得各支路电流和电压。2)支路电流法

以支路电流作为电路变量，根据KCL、KVL建立电路方程，联合求解电路方程从而解出各支路电流的电路分析方法。支路电流法：对节点

a有一个独立的KCL方程，即选网孔为独立回路，并按m1和m2的绕行方向可列两个独立的KVL方程与电流方程联立，得方程组

（3-4）式（3-4）即为以支路电流i1、i2和i3为求解变量的一组独立方程，其中电阻上电压按欧姆定律代入。通常电源和电阻参数为已知量，从而可解得各支路电流。各支路电流求解出来后，各支路对应的电压、功率也就迎刃而解了。支路电流法的分析步骤：（1）选定各支路电流的参考方向和回路的绕行方向。（2）根据KCL，对（n-1）个独立节点列出节点电流方程。（3）选取（b-n+1）个独立回路，根据KVL，对所选定的独立回路列出回路电压方程。（4）联立求解上述b个独立方程，得待求的支路电流，进而求出其它所需量。【例3-1】如图3-2所示电路,试用支路电流法求电流I1、I2、I3。已知,,电阻R1=R2=R3=10Ω。，解：电路有3条支路，2个结点和2个网孔结点a的KCL方程

回路l1的KVL方程

回路l2的KVL方程

联立求解，可得

I1=8A，I2=I3=-4A【例】如图所示，若设us1=130V，us2=117V，R1＝1Ω，R2＝0.6Ω，

R3＝24Ω，求各支路电流。解：此电路有三条支路，两个节点，即n＝2，b＝3解得：【例3-2】图中，is=8A，us=4V，R1＝R2＝2Ω，，求I和U。

解：此电路有三条支路，两个节点，即n＝2，b＝3节点a回路l1解方程，得由欧姆定律得由此题可以看出，当电路中某一支路仅含有电流源时，可少列写一个KVL方程，且在列写KVL方程时要避开电流源。3.2网孔电流法

在平面电路中，内部没有任何支路的回路就是网孔

先不理会支路电流i1、i2、i3、i4、i5

，假想在网孔中有网孔电流im1、im2和im3按顺时针方向流动，取绕行方向与网孔电流的方向一致。以网孔电流为变量分析电路的方法，叫网孔电流法。图中，各支路电流是各网孔电流的代数和，即有网孔电流法的一般规律：设平面电路有b

条支，n个节点，则网孔数

m=b-n+1,以网孔电流为未知量，根据KVL，可以列出m个网孔方程。网孔电流法方程的一般形式为：上式中,Rii称为网孔的自电阻，等于网孔的各电阻之和，恒为正；Rij（i≠j）称为互电阻。当网孔绕行方向一致时，互电阻为负。方程右边是各个网孔中电压源电压的代数和，即电压源电压升高的方向与网孔方向一致时取正，反之取负。3.2网孔电流法网孔电流法的分析步骤：(4)由网孔方程解出网孔电流。(1)选定一组网孔，并假设各网孔电流的参考方向。(2)以网孔电流的方向为网孔的绕行方向，列写各网孔的

KVL方程。(3)求出自主、互阻以及各网孔中电压源电压的代数和，代入方程。(5)列出网孔电流与支路电流的关系，求出支路电流。3.2网孔电流法【例】如图所示电路，试用网孔法求各支路电流。解：设网孔电流im1和im2，由

KVL写出网孔方程为解得网孔电流

支路电流【例3-4】如图所示电路，Is=6A，Us=140V，R1＝20Ω，R2＝5Ω，R3＝6Ω,试求各支路电流。

解：先假设网孔电流im1和im2的方向。因is在非公共之路，所以网孔电流im2＝-i2＝-is为已知量。所以只要列写im1所在网孔的方程即可。即带入数据故解得所以支路电流【例3-5】如图所示电路，us1=5V，us2=10V，R1＝10Ω，R2＝30Ω，R3＝100Ω，ud=5u1，试求各支路电流。解：设网孔电流im1和im2，并把受控电压源的控制量用网孔电流表示，即列KVL方程得整理，得解得网孔电流支路电流3.3节点电压法

在电路中，当选取任一节点作为参考节点时，其它节点与参考节点之间的电压称为节点电压。

在具有n个节点的电路中，以节点电压作为未知量，对（

n-1）个独立节点列写KCL方程，就得到（n-1）个独立方程，称为节点电压方程，最后由这些方程解出节点电压，从而求出所需的电压、电流，这就是节点电压法。对于一个含有n个节点、b条支路的一般电路，可对（

n-1）个独立节点列写节点电压方程利用节点电压法求解电路，既可以分析平面电路、也可以分析非平面电路，只要选定一个参考节点就可以按上述规则列写方程进行求解了。3.3节点电压法（4）方程右端

和

分别为流入节点1和2的电流源电流代数和，流入取正，流出取负。（1）

G11称为节点1的自电导，它等于与节点1相连的各支路电导之和，恒取正。（2）

G22称为节点2的自电导，它等于与节点2相连的各支路电导之和，恒取正。（3）G12（G21）称为节点1、2之间(2、1之间)的互电导，它等于1、2两节点间各支路电导之和，恒取负。其中：3.3节点电压法当电路只含两个节点时，如图所示，求各支路电流。可以选择b为参考节点，则a点的节点电压方程为此式为弥尔曼定理。3.3节点电压法【例3-6】试列出图3-10所示电路的节点电压方程。解：此电路含有一个无伴电压源（没有电阻与之串联），设该支路电流为i，选择理想电压源的一端0为参考点。【例3-7】试用节点电压法求图所示电路中的电流I。解：选择理想电压源的一端0为参考点，列出结点电压方程节点1节点2节点3解得

（2）列出节点电压方程。如果电路中有电压源和电阻串联组合，要先等效变换成电流源和电阻并联组合；如果电路中含有无伴电压源支路，可将无伴电压源支路的一端设为参考点，则它的另一端的节点电压即为已知量，等于该电压源的电压或差一个符号，此节点的电压方程可省去。综上所述，节点电压法的步骤归纳如下：（1）指定参考节点，其余节点与参考节点间的电压就是节点电压，节点电压均以参考节点为“-”极性。（3）由节点电压方程解出节点电压，然后求出各支路电压或电流。3.3节点电压法【例】如图所示电路，试用节点电压法求电流i和电压u。解：此电路含有两个无伴电压源（没有电阻与之串联），只能选择其中一个理想电压源的一端为参考点。设节点4为参考点，则un1＝10V为已知量，该节点的KCL方程可省去。设流过5V电压源的电流为ix，则列出节点电压方程及辅助方程为节点2：节点3：辅助方程：

联立求解以上方程可得

故有【例3-8】如图所示电路，试用节点电压法求电流i和电压u。解：24两节点之间连接有一个无伴受控电压源，设节点0为参考节点，则un2=2u

。将原图化成如图（b）所示，则列出节点电压方程为节点1：节点3：辅助方程：

联立求解以上方程可得故有

叠加定理：在存在多个电源的线性电路中，任一元件上产生的电压或电流，可以看成各个电源单独作用时，在该元件上产生的电压或电流的代数和。也可表述为：多个激励作用某电路产生的响应，等于各个激励单独作用于电路的响应之代数和。3.4叠加定理如图（a）所示电路，利用叠加定理求电压

。

由节点电压法可得若将上式中第一项设为

第二项设为

则

应用叠加定理时要注意的问题：（1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。（2）独立电源可以作为激励源，受控源不能作为激励源。（3）在叠加的各分电路中，置零的独立电压源用短路代替，置零的独立电流源用开路代替，受控源保留在各分电路中，但其控制量和被控制量都有所改变。（4）功率不是电压或电流的一次函数，因此不能用叠加定理计算。（5）电路的响应是各独立电源单独作用的分量的代数和，与原电路中电压或电流的参考方向相同的分电压或分电流前为“+”，方向相反的分量前为“-”。（6）叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立电源单独作用，也可以一次使几个独立电源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。【例3-9】电路如图3-14(a)所示，R1=1KΩ，R2=R3=4KΩ，US=12V，IS=3mA，应用叠加定理求电流I。解：

(1)电压源单独作用时，将不作用的电流源作开路处理，如图（b）所示。(2)电流源单独作用时，将不作用的电压源作短路处理，如图（c）所示(3)根据叠加定理，电压源、电流源共同作用时，电路中的电流【例3-10】用叠加定理计算图（a）电路中的电流i和电压u。解：（1）当20V电压源单独作用时解得

（2）当5A电流源作用时，对左边网孔应用KVL解得

所以

受控源电压的大小和方向均随分电路中的控制量

和变化。受控源的电压或电流不是电路的激励源，不能单独作用。在运用叠加定理时，受控源和电阻一样，始终保留在电路中，但要注意控制量的大小和方向在各分电路中可能都改变。

注意：3.5戴维南定理和诺顿定理有源二端网络：一个复杂的电路，当把要求计算的支路划分出来，剩下部分是一个具有两个端钮的含有独立电源的网络，称为有源二端网络(或者含源一端口)。戴维南定理：一个含源二端网络的对外作用可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效代替，等效电压源的源电压等于含源二端网络的开路电压，而等效电阻等于含源二端网络的全部独立电源置零后端口间的等效电阻。含源二端网络的电压源和电阻串联的等效电路（等效电源），称作戴维南等效电路。uocus=电阻Req等于该有源二端网络中所有独立电源去源后（电压源短路，电流源开路）的等效电阻。3.5.1戴维南定理【例3-11】求如图（a）所示电路的戴维南等效电路。解：由图（a）所示电路可得开路电压为将（a）电路中的所有独立电源置零，得到无源二端网络，如（b）所示。从而求得等效电阻为画出戴维南等效电路，如图如（c）所示。【例3-12】用戴维南定理求图（a）所示电路中的电流i。解：（1）计算有源二端网络的开路电压uoc，如图（b）所示（2）把有源二端网络中的全部独立源置零，得图（c），在a、b端加电压u，a端流入电流为i，则（3）戴维南等效电路如图（d）所示，则通过以上的学习，我们知道3.5.1戴维南定理诺顿定理：一个有源二端网络的对外作用可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效代替，等效电流源的电流等于有源二端网络的短路电流，并联等效电阻等于有源二端网络全部独立电源置零后端口间的等效电阻。这种电流源和电阻的并联的等效电路，称作诺顿等效电路。其中3.5.2诺顿定理【例3-13】求图（a）所示电路的诺顿等效电路。解：（1）求短路电流iSC。将a、b两端短路，如图（b）所示。由KVL有得

在节点1，由KCL有（2）求a、b端口的等效电阻。把电压源和电流源置零，受控源仍然保留得到图（c）所示电路.（3）图（a）的诺顿等效电路如图（d）所示。【例】用诺顿定理求图（a）电路中流过4Ω电阻的电流i。解：（1）计算短路电流isc，图（b）所示，由叠加定理可得（2）求等效电阻R0，如图（c）所示（3）诺顿等效电路，如图（d）所示等效电源定理分析电路的基本步骤可归纳为：（1）断开待求支路或局部网络，求出所余二端有源网络的开路电压uoc或短路电流isc。（2）将二端网络内所有独立源置零（电压源开路，电流源短路），求等效电阻R0。（3）将待求支路或局部网络接入等效后的戴维南等效电路或诺顿等效电路，求取待求量。等效电阻的求解，归纳起来有以下几种：（1）纯电阻网络等效变换方法。若二端网络为纯电阻网络（无受控源），则可利用电阻串联、并联和Y－△转换等规律进行计算。（2）外加电源法。在无源二端网络的端口处施加电压源u或电流源i，在端口电压和电流关联参考方向下，求得端口处电流i（或电压u），得等效电阻R0=u/i。此法适用于任何线性电阻电路，尤其适用于含受控源二端网络的等效电阻的计算。（3）开路短路法。当求得有源二端网络的开路电压uoc后，把端口ab处短路，求出短路电流isc（注意uoc和isc参考方向对外电路一致），于是等效电阻R0=uoc/isc。此方法同样适用于任何线性电阻电路，尤其适用于含受控源的有源二端网络的等效电阻的计算。需要注意的是，求uoc和isc时，N0内所有独立源均应保留。（4）等电位法3.6最大功率传输定理

N0为供给负载能量的含源二端网络，可用戴维南或诺顿等效电路来代替，如图（a）、（b）、（c）所示。若接在N0两端的负载的电阻阻值不同，其向负载传递的功率也不同，那么在什么情况下，负载获得的功率最大呢？如图（b）所示，假设负载电阻RL是可变的，其吸收的功率为由此求得p获得最大值的条件是3.6最大功率传输定理最大功率传输定理：含源线性二端网络传递给可变电阻负载RL最大功率的条件是，负载RL应与二端网络的端口等效电阻Req相等。满足

条件时，称为最大功率匹配，此时负载获得的最大功率为若用诺顿等效电路，则有3.6最大功率传输定理【例3-14】如图所示电路（a）中，当RL为何值时能取得最大功率？该最大功率为多少？解：（1）断开电阻RL，电路如图（b）所示，求开路时的电压uoc。设左网孔电流为i，列出该网孔的KVL方程为由KVL得（2）求等效电阻，将独立源置零，如图（c）所示（3）如图（d）所示，根据最大功率传输定理，当时，负载可获得最大功率，其最大功率为【例3-15】如图所示电路（a）中，负载电阻RL可调，试问RL为何值时能取得最大功率？最大功率是多大？解：（1）求开路电压,断开ab，如图（b）所示，并等效变换成图（c）。由KVL定律，有解得（2）求短路电流，如图（d）所示。左侧网孔，应用KVL定律，有

右侧网孔，应用KVL定律，有求得

(3)求等效电阻当时，负载可获得最大功率，最大功率为【例】如图所示电路（a）中，

，当电阻RL为何值时能取得最大功率？

解：求a、b左端含源二端网络的戴维南等效电路。（1）断开ab，列出中间网孔的KVL方程，如图（b）所示。

解上述方程得（2）断开电流源，用外施电压法求端口等效电阻R0，如图（c）所示。所以，等效电路如图（d）所示。当RL＝6Ω，负载可获得最大功率，其最大功率为由KVL：由KCL：3.7互易定理互易定理描述一类特殊的线性电路的互易性质，广泛应用于网络的灵敏度分析、测量技术等方面。如图

（a）所示电路中，只含一个独立源、无受控源，在6Ω支路中串入一个电流表，不难算出其6Ω支路电流（即电流表读数）为现将

4V电压源和电流表的位置互换一下，如图

（b）所示。计算2Ω支路电流（即电流表读数）为

这说明该电路当电压源和电流表位置互换以后，电流表读数不变，这就是互易性。互易性表明当外加激励的端钮和观测响应的端钮互换位置时，网络不改变对相同输入的响应。因此，把线性电路的这种特性总结为互易定理。

互易定理的内容为：对于仅含线性电阻的二端口电路N，其中一个端口加激励源，另一个端口作为响应端口（所求响应在该端口），在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。

定理内容中的“二端口电路”是指具有两个端口的电路，而每个端口的一对端钮进出电流相等。根据激励源与响应变量的不同，互易定理有以下

3种形式：（1）形式1：如图1所示电路中N只含有线性电阻，当端口11′接入电压源us时，在端口22′的响应为短路电流i2；若将激励源移到端口22′，在端口11′的响应为短路电流i1′。在图1所示电压电流参考方向条件下，有（2）形式2：图2所示电路中N只有线性电阻，当端口11′接入电流源is

时，在端口22′的响应为开路电压u2；若将激励源移到端口22′，在端口11′的响应为开路电压u1′。在图2所示电压电流参考方向条件下，有（3）形式3：图3所示电路中N只有线性电阻，当端口11′接入电流源us时，在22′的响应为开路电压u2；若在端口22′接入电流源is时，在端口11′的响应为短路电流i1′。在图3所示电压电流参考方向条件下，有【例】电路如图（a）所示，N只含线性电阻。已知当u1=3V，u2=0时，

i1=1A，i2=2A，求当u1=9V，u2=6V时，

i1的值。解：图示的电路图中有两个激励，须应用叠加定理和互易定