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综合习题12(A)组1．计算下列各题：(1)设为曲线，求。解：，其中为曲线。(2)设为曲线，求。解：。(3)设，其中为第一象限圆弧自点A（1，0）到B（0，1），求的值。解：令则，即积分与路径无关。因此原式其中为直线段。(4)设:，求解：(5)设:，求。解：由高斯公式得由对称性得。(6)求向量场在点处的散度。解：。2.计算下列各题：(1)设是椭圆周顺时针方向的曲线,在内具有二阶连续偏导数，求。解：由格林公式得。(2)设是半球面,求.解：由于关于平面对称，被积函数关于为奇函数，则。(3)设是半球面的外侧,求解：将补上的平面后，利用高斯公式有。(4)设可导，为光滑曲线，若曲线积分与路径无关，求应满足关系式。解：由题意得即即应满足，解得（若），解得（为任意常数）。(5)若，求。解：令则是全微分。由解得又，则则，解得因此。(6)若是圆周求。解：由由对称性得。(7)设为锥面的外侧，求。解：补充面，与构成封闭曲面后，利用高斯公式有原式。(8)设为曲面，其面积为A，求。解：由对称性得3.计算下列各题：(1),其中是自沿至点的弧。解：令则则的积分在任意不含0点的单连通区域内与路径无关，选择折线代替后有原式。(2),其中为下半球面的上侧。解：补充的平面，方向向下，与围城一单连通区域，则由高斯公式得原式(3)，其中为椭圆，周长为。解：由对称性得到。(4)设函数使得积分与路径无关，且，试确定函数。当是自沿任意曲线至点的弧时，求的值。解：与路径无关，得知即。直线的方程为，则。(5),其中为抛物面被所截下的有限部分的下侧。解：。4.在过原点和点的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从原点和点的积分的值最小。解：令，令解得，当，取最小值，则的方程为。5.求向量穿过圆柱的侧表面的流量。解：补充两个面，然后用高斯公式法向量法向量流量6.设为及所围成的区域,是的边界曲线,是一元可微函数,,证明.证明：换元，由格林公式得其中则左式。7.设在半平面内,存在力场,其中为常数,。证明此力场中,场力所做的功与所经过的路径无关。解：场力所做的功，令即场力所做的功与所经过的路径无关。(B)组1.在变力的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点则当取何值时，力做的功最大，并求出最大值。解：功L方程：令由题意知一定存在最大值点，因此当时，力做的功最大，。2.函数在某一区域内具有直到二阶的连续偏导数,若则称为该区域内的调和函数.证明若是光滑曲面所包围的有界闭区域的调和函数,则下列公式成立:(1)证明：设为的外法线的方向余弦成立。(2)其中为沿曲面的外法线的方向导数。证明：。3.(1)设函数具有二阶连续偏导数,求。解：。(2)设向量场为,且具有二阶连续偏导数,求。解：因为有二阶连续偏导数，所以。4.设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域D:x2+y2£1上有一阶连续偏导数,又f(x,y)=v(x,y)i+

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