湘教版高中数学必修第一册第4章4-5-1几种函数增长快慢的比较课件

4.5.1几种函数增长快慢的比较第4章幂函数、指数函数和对数函数4.5函数模型及其应用学习任务核心素养1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(重点、难点)1．从几类特殊函数中分析出一般性函数的增长特点，可以提高逻辑推理素养．2．通过比较几种不同类型的函数模型的增长进行决策，建立函数模型，从而提升数学建模素养．一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？A．5年B．7年C．8年D．9年E．永远买不起房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？必备知识·情境导学探新知知识点三种函数模型的增长差异

y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性__________________图象的变化趋势随x增大逐渐近似与_____平行随x增大逐渐近似与_____平行保持固定增长速度增长速度y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度________增函数增函数增函数y轴x轴越来越快越来越慢

y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)增长结果存在一个x0，当x>x0时，有____________

ax>kx>logax

××√类型1几类函数模型的增长差异【例1】

(1)下列函数中，增长速度最快的是(

)A．y＝2024x

B．y＝2024C．y＝log2024x D．y＝2024x关键能力·合作探究释疑难√

√

反思领悟

常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．[跟进训练]1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(

)A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝2x D．y＝e－xA

[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]√类型2函数增长速度的比较【例2】

(1)(多选题)如图，能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(

)A．x>2 B．x>4C．0<x<2 D．2<x<4√√(2)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．(1)BC

[结合图象可知，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，有log2x<x2<2x，故选BC．](2)[解]

①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝lnx．②当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．反思领悟

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．

类型3函数增长速度的应用【例3】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？分别画出y＝0.2x，y＝log5x及y＝1.02x的图象，观察并思考哪个模型符合题设条件．[解]

作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．反思领悟

几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[跟进训练]3．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．A

B

C

D(2)(4)(1)(3)(4)

(1)

(3)

(2)

[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．](1)

(2)

(3)

(4)1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(

)A．y＝1 B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3x学习效果·课堂评估夯基础√23题号41C

[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．]2．以下四种说法中，正确的是(

)A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x>0，xn>logaxC．对任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax23题号41√D

[ABC均错误，只有D正确．]3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：23题号41y2

[由指数函数图象的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是________．y24．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．23题号41②③

[结合图象可知②③正确，故填②③．]②③回顾本节知识，自我完成以下问题：如何描述三种函数模型的增长差异？[提示]

直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长速度固定不变．