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文档简介

微专题2二次函数的最值问题第3章函数的概念与性质与二次函数有关的最值问题是高中数学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．类型1不含参数的二次函数最值问题【例1】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．[解]

f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7．(3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4．类型2含参数的二次函数最值问题【例2】求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．[解]

f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a．(1)当a<0时，由图①可知，f(x)最小值＝f(0)＝－1，f(x)最大值＝f(2)＝3－4a．图①

(2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)最小值＝f(a)＝－1－a2，f(x)最大值＝f(2)＝3－4a．(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)最小值＝f(a)＝－1－a2，f(x)最大值＝f(0)＝－1．图②

图③

图④[解]

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1．当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；【例3】求函数f(x)＝x2－2x＋2

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