预测07 基本初等函数（理）（解析版）高中数学

预测07基本初等函数

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆

①指数与指数函数的运算与性质

②对数与对数函数的运算与性质

考向预测③指数、对数、二次、幕函数的图象、不

等式及大小比较等问题

应试必备

基本初等函数的运算与图像性质等问题是历年高考的考察重点，通常出现在单选题、填空题中，

因新高考改革出现在多选题也有可能，因此弄清基本初等函数的运算与图像性质的常见考点至关重

要。

复习本专题要围绕两个重点展开：

1.指数与指数函数的运算与性质

2.对数与对数函数的运算与性质

3.指数、对数、二次、幕函数的图象、不等式及大小比较等问题

■知识必备

1.幕函数

(1)定义：形如y=d(aeR)的函数称为幕函数，其中底数x是自变量，a为常数.常见的五类基函数

为y=x,y=x2,y=x3,y=d,y=x'I.

(2)性质

①基函数在(0,+oo)上都有定义；

②当a>0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)上单调递增；

当a<0时，累函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.指数函数的图象与性质

y=ax(a>0且a>\0<4<1

尸Qty

图象

ZZEZT1

o\i"o\i~°”

定义域R

值域(0,+oo)

过定点(0,1)

当x>0时，y>l；当x>0时,0<y<l；

性质

当x<0时,0<y<l当x<0时，y>l

在R上是增函数在R上是减函数

3.对数函数的图象与性质

a>\0<a<]

】|r=l

图象0a.0)*N(L。).

1•尸1。8产

定义域：(0，+co)

值域：R

过定点(1,0)

性质

当x>\时，y>0当心>1时，><0

当0*1时，y<0当04<1时、)>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

比较指数嘉大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够

化同底的尽可能化同底.

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大

小，然后得出大小关系.

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象

比较大小.

比较对数值的大小的方法

p向底或TW两套薮窗般鬲革河桂由裴；

垣研♦直荚蚪t利府函薮建最耗在为面底板就说丽薮反犹

L：底缸真藏为示闻一沔仄审面显防二匚0：语”

2

真题回顾

b

1.【2020年高考全国I卷理数】若2"+log2a=4+2log4b,则

A.a>2bB.a<2b

C.a>h2D.a<b2

【答案】B

【解析】设/(x)=2*+log2x,则f(x)为增函数，因为2"+log2a=4〃+21og4b=22〃+k)g2/7

所以

a2t2b2b

/(«)-fQb)=2+log2a-(2+log22b)=2+log2b-(2+log?2与

=晦g=T<0，

所以/(。)</(2份，所以a<2"

22

/(«)-f(b)=2"+log2a一(2"+Iog2b)=22b+噫b一(2"+log2tr)=

2bb2

2-2-log2b，

当6=1时，f(a)-f(b2)=2>0,此时/(a)>f("),有

当6=2时,/(a)-/(&2)=-l<0,此时/(。)</(/)，有所以c、D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，

是一道中档题.

2.【2020年高考全国II卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参

加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为

0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概

率不小于0.95,则至少需要志愿者

A.10名B.18名

C.24名D.32名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为500+1600—1200=900，设需要志愿者x名,

3

——>0.95,故需要志愿者18名.

900

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

3.【2020年高考全国U卷理数】设函数.f(x)=ln|2x+l|Tn|2x-l|,则於)

A.是偶函数，且在(工,+8)单调递增B.是奇函数，且在(-,,！)单调递减

222

C.是偶函数，且在(f,-；)单调递增D.是奇函数，且在(—,-；)单调递减

【答案】D

【解析】由/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|得/(X)定义域为卜关于坐标原点对称,

又/(-%)=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(x),

.../(x)为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

上单调递增，丁=111(1-2力在上单调递减,

上单调递增，排除B；

X(2

/(X)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=In^—1=ln1+-----

2x—1<2x—1

4=1+在(一°0,一；)上单调递减，/(〃)=In〃在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：/(x)在-g)上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前

提下，根据〃-x)与外力的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函

数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

4.(2020年高考全国IH卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学

4

者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/(/)(r的单位：天)的Logistic模型:

K

/Q)=]+e“3(T3)，其中K为最大确诊病例数•当4/*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/

约为(Inl9u3)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【解析】•"(/)=jS3(f),所以/('*)=1询询=0-95K,则0。到。3),

l+e1+e''

所以，0.23(y-53)=In19=3,—+53*66.

''0.23

故选：c.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

5.【2020年高考全国III卷理数】已知55<84,134V85,设a=k)g53,Z?=logs5,c=logi38,则

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】由题意可知。、b、ce(0,l)

a^log53^1g3lg81_pg3+lg8V=(Ig3+lg8Y=(lg24V<1

2

blog85lg5lg5(lg5)12JI21g5JVg25j“

4

由b=log85,得8〃=5，由5'<84，得8“<84,「.5人v4,可得〃<二；

4

由c=k)g】38,得13-8，由134<8「得13,〈狂。，.7。，小可得。>不

综上所述，a<b<c.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单

调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

6.【2020年高考全国II卷理数】若2'-2，’<3一匚3T则

A.ln(^-x+l)>0B.\n(y-x+\)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

5

［解析］由2X-2V<3-'-3-y得:2X-3r<2-v-，

•.•丁=2'为/?上的增函数，y=3-'为R上的减函数，.../（/）为R上的增函数,

Qy-x>0,.,.y—x+l>l,/.ln(y-x+l)>0,则A正确，B错误;

Q|%-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数

的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

AB

CD

【答案】A

-Ay

【解析】由函数的解析式可得；/（-力=*石=-/（力，则函数/（X）为奇函数，其图象关于

坐标原点对称，选项CD错误；

4

当x=l时，y=——=2>0,选项B错误.

1+1

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数

的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，

6

判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

8.【2020年高考天津】设aMBMSMigq.Cfogo’os,则a,0,c的大小关系为

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因为a=3°】>l,

b=[JJ=3。8>3°~，

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<Z?.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函

数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对基形式的数的大小关系，常用方法：

(1)利用指数函数的单调性：y=ax,当时，函数递增；当0<。<1时，函数递减；

(2)利用对数函数的单调性：y=log.％,当。>1时，函数递增：当0<a<l时，函数递减；

(3)借助于中间值，例如：。或1等.

9.[2020年新高考全国I卷】基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再

生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情

初始阶段，可以用指数模型：/«)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间X单位:天)的变化规律，指

数增长率r与Ro,T近似满足Ro=l+rT.有学者基于己有数据估计出Ro=3.28,K6.据此，在新冠

肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2=0.69)

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

328—1

【解析】因为&=3.28,7=6,%=1+，7，所以厂=-----=0.38，所以/(。=e"=e038',

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为4天,

7

则0。38«+4)=2e。.38r,所以6。3跖=2,所以0.3跖=In2,

.In20.69,0

所以力=----®-----a1.8天,

'0.380.38

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

3

x，X-0,若函数g(x)=/(x)-向-2M(LeR)恰有4

10.【2020年高考天津】已知函数/(幻=<

—x,x<0.

个零点，则2的取值范围是

A.(—00,-U(2^2,4-00)B.(—oo,——)U(0,2A/2)

C.SO)U(0,2扬D.(-oo,0)0(272,+oo)

【答案】D

f(x)

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I丘一2|=彳一恰有3个实

\x\

根

即可,

令久幻=曾，即y=|日-2|与力*)=答的图象有3个不同交点.

|x|\x\

x2,x>0

因为〃(x)=

klI1,x<0

此时y=2,如图1,y=2与/i(x)=g里有2个不同交点，不满足题意;

当左=0时,

\x\

当k<0时,如图2,此时y=|日-2|与〃(x)="恒有3个不同交点，满足题意;

\x\

当2〉0时,如图3,当>="―2与y=/相切时，联立方程得彳2一奴+2=0,

令△=()得标一8=(),解得左=2夜(负值舍去)，所以女>20.

综上，Z的取值范围为(一oo,0)U(2&,+oo).

故选：D.

8

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

11.【2020年高考北京】已知函数/(x)=2"-x—1,则不等式/'(x)>0的解集是

A.(-1,1)B.(->x>-l)U(l,4w)

C.(0,1)D.(-oo,0)0(1,+oo)

【答案】D

【解析】因为〃力=2'-％—1,所以〃x)>0等价于2'>x+l，

在同一直角坐标系中作出y=2A'和y=x+l的图象如图：

9

两函数图象的交点坐标为(。,1),(1,2),

不等式2戈>x+l的解为x<0或无>1.

所以不等式〃X)>0的解集为：(—8,O)D(1,+8).

故选：D.

【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

12.【2020年高考北京】函数/(x)=—I—+lnx的定义域是.

x+1

【答案】(0,+8)

x>0

【解析】由题意得《,:.x>0

尤+1

故答案为：(0,+8)

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

13.【2020年高考江苏】已知)=")是奇函数，当应0时，〃x)=j，则/(-8)的值是▲

【答案】-4

2

【解析】y(8)=83=4.因为为奇函数，所以，(-8)=-/(8)=-4

故答案为：—4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

名校预测

一、单选题

1.(2021•全国高一课时练习)已知"X)=3、"(2WxW4"为常数)的图象经过点(2,1),则“X)

的值域为()

A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[l,4w)

【答案】C

【分析】

由/(2)=1求出实数人的值，再利用指数型函数的单调性可求得函数/(x)在[2,4]匕的值域.

【详解】

10

因为函数f（x）=3j的图象经过点（2,1）,则〃2）=32-&=1,所以，b=2,则“6=3*-2,

因为函数〃力=3*-2在［2,4］上为增函数，

当2VxV4时，/（2）＜/（x）＜/（4）,B|Jl＜/（x）＜9.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：指数函数性质的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应在有关性质的基础上

进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化.

2.（2021.全国高课时练习）若指数函数y=6优在［上2］上的最大值与最小值的和为6,则4=

（）

A.2或-3B.—3

1

C.2D.

2

【答案】C

【分析】

根据指数函数的定义可得出6=1,然后分。＞1、（）＜。＜1两种情况讨论，分析函数的单调性，结合

已知条件可得出关于实数。的方程，解出即可.

【详解】

因为函数y=为指数函数，所以6=1.

当。＞1时，y=罐在口,2］上的最大值为力,最小值为。，则/+a=6,解得。=2或。=一3（舍）；

当0＜。＜1时，y=a'在口，2］上的最大值为。，最小值为则。2+。=6,解得a=2（舍）或

a=-3（舍）.

综上可知，。=2.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用指数函数在区间上的最值求参数，解题的关键在于对指数函数的底数的

取值范围进行分类讨论，结合函数的单调性得出等式求解.

3.（2020・湖北高三期中）若=log2a=02,c5=2Y,则a,b,c的大小关系是（）

11

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】

i1

分别画出函数y=(；)*,y=log2%,y=/的图象，由图象交点坐标，即可判断得出a,4c的大小关

系.

【详解】

]1

分别画出函数丁=(5)\卜=1082%4=彳2的图象，如图所示,

由图象，可得c<8<a.

4.(2020•全国高一课时练习)函数於)=l°g[(x2-3%-10)的单调递增区间为()

2

3

A.(—co,-2)B.(—00,—)

2

3

C.(-2,-)D.(5,+oo)

【答案】A

【分析】

求出函数的定义域，转化为求函数-3x—10在(一8,—2)U(5,+8)上的单调递减区间，根据

二次函数单调性可求出结果.

【详解】

由题意，得X2—3%-10>0,

12

.*.(%—5)(x+2)>0».*.x<—2或x>5.

令u=x2—3x—10,

函数/U)的单调递增区间即为函数〃=N—3x—10在(-8,-2)U(5,+8)上的单调递减区间，又u

=x2-3%—10在(一8,—2)上递减，

所以函数y(x)=log](X?-3%-10)的单调递增区间为(-8,-2).

2

故选：A.

5.(2021.全国高•课时练习)函数f(x)=>/匚i+lg(x+2)的定义域为()

A.(—2,1)B.[-2,1]C.(—2,+QO)D.(—2,1]

【答案】D

【分析】

解不等式组《cc得出定义域.

x+2>0

【详解】

函数/(x)=J=+lg(x+2)有意义等价于〈cc=-2<x«l,所以定义域为(-2,1]

x+2>0

故选：D.

二、多选题

6.(2021•山东高三二模)已知则下列结论一定正确的是()

ab

A.cr<h~B.—l—>2C.1g>1gahD.|a|"<|a

ab

【答案】AB

【分析】

根据题目所给不等式判断a、人的大小及符号，然后运用不等式的性质判断A,利用基本不等式判断

B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项.

【详解】

—<0,.'.b<a<0<则同<同，

:.a2<b2,A正确;

13

,.也>0,3>0,+曙2、口=2,当且仅当2=:时取等号,

abab\abab

又/.—+—>2,B正确；

abab

QZ?<^z<0»:,Q<a1<ab^/.lg«2<IgczZ?,C错误；

取。=-2,。=一3时，|a|"=L|a-=L此时|浦>|",D错误.

48

故选：AB

7.(2021•全国高一课时练习)已知函数/(x)=M^,则下面几个结论正确的有()

A./(x)的图象关于原点对称

B.7(x)的图象关于y轴对称

C.的值域为(一1,1)

D.Vx,,x2G/?,且Xk形,/(“)/(々)<0恒成立

%—x2

【答案】ACD

【分析】

利用奇函数的定义和性质可判断AB的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD的正误.

【详解】

1-2X2'-\

对于A,1-22

/(%)=1+27则f(-x)==-f(x)，

1+2~x-1+2,

则/(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.

对于B,计算/(l)=—g,/(-I)=故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误.

1一2"2

对于C,/(%)=-----=—Id-------,1+2'£(1,十8),

1+2、1+2、

22

故y=/(x)=—1+一，易知：故/(幻的值域为(—1/),故c正确.

tt

1-2X2

对于D,/(X)=JL^=—1+^^,

1+2、1+2”

2

因为y=1+2、在R上为增函数，y=-l+——为(1,3)上的减函数，

1+t

14

由复合函数的单调性的判断法则可得了（X）在R上单调递减，

y（x）-/（x）八一

故VXi./eR,且X|7z，---——~9J<°恒成立，故D正确.

王一“2

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调

性结合“同增异减”的原则来判断.

8.（2021•全国）对数函数y=log〃x（a〉0且4H1）与二次函数y=（a—l）/一X在同一坐标系内的

图象不可能是（）

【答案】BCD

【分析】

讨论参数。的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函

数性质即可.

【详解】

若a>1,则对数函数y=log/在（0,+8）上单调递增，二次函数丁=3—1）/一刀开口向上，对称

1c

轴x=H—^>0'经过原点，可能为A，不可能为B.

2（。T）

15

若0<。<1,则对数函数y=log。X在(0,+8)上单调递减，二次函数y=(a—1)Y—X开口向下，

1八

对称轴^=3；；­-<0,经过原点，c、D都不可能.

2(。-1)

故选：BCD.

e*—3,x<1,

9.(2021•全国高三专题练习)(多选题)函数/(x)={则关于函数7U)的说法正确的是

Inx,x>1,

()

A.定义域为RB.值域为(-3,+8)

C.在R上为增函数D.只有一个零点

【答案】ACD

【分析】

根据.f(x)的解析式即可判断A；分别求每段解析式的对应的值域可判断B；画出函数的图象可判断

C；令每段等于零可判断D.

【详解】

，/、>-3x<l

由〃龙)=《，得f(x)的定义域为R，A正确；

Inxx>\

当x<l时，〃x)=e'—3,由0<e'Ve，得一3<e'-3Ve—3，

当xNl时，/(x)=lnx,由lnx21nl=0,

所以值域为(-3,e-3)U[0,+8),B错误；

由图象知/(x)在R上为增函数,C正确:

16

当x<l时，/(x)=e'-3=0,得e，=3，x=In3>1>不满足，

当尤21时，f(x)=Inx=0,得x=l,满足，

・••/(x)只有一个零点,D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函

数零点的定义及求法，考查了数形结合思想，考查了计算和推理能力.

10.(2021•河北唐山市•高三二模)已知且"=4,则()

ab

A.2~>1B.log2a-log2b>I

C.2"+2〃>8D.log2a-log,b<1

【答案】ACD

【分析】

利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.

【详解】

Q3

因为。>。>0,且a/?=4,对A,a-b>0,所以2"">2°=1，故A正确；对B,取,

所以log?a一log"=log,/=log,或<log,2=1,故B错误;对C,2U+2b>2品".2b,

b9

当且仅当a=。取等号，乂因为a+力N2j拓=4，当且仅当a=b取等号，所以

2"+2〃226动N2叵=8，当且仅当。=力取等号，因为。>。>0，所以不能取等号，故C正

确；对当所以当

D,a>l>b>0，log2a>0,log2/?<0,logzelog2b<1；

唯所以唱啕°+噫叭—?当且仅当取

log2a>0,1b>0,1a.bgQ(1=1，a=b

等号，因为a>〃>0,所以不能取等号，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正：二定——

积或和为定值；三相等——等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

17

11.(2021•湖南长沙市•长沙一中高一月考)已知函数/(x)=2*+/，则()

A./(log23)=^|B..“X)的最小值为2

C.y(x)为偶函数D./(X)在(YO,+O>)上单调递增

【答案】BC

【分析】

A直接代入计算并验证；B利用换元法得到g«)=f+L结合基本不等式确定最值：C根据奇偶性

t

的定义判断即可；D由B中换元法，所得对勾函数的性质可直接判断单调区间.

【详解】

A："Iog23)=2脸③+*=3+；=与,错误：

B：令，=2*>0,则/(x)=g(r)=r+；22s=2当且仅当t=l,即x=0时取等号，正确；

(2：/(—幻=27+」7=2'+±=/。)且X€11,/(幻为偶函数，正确；

D：由B,若f=2'>0，&x)=g«)=f+L则g«)在(0,1)上递减，在(1,”)上递增，所以

t

“X)在(-8,0)上递减，(0,+0。)上递增，错误；

故选：BC.

12.(2021•山东烟台市•高三一模)若0<a<6<l,C>l,则()

A.ca<cbB.bac<abc

b-ah.,

C.----<-D.logflc<logftc

c-ac

【答案】ABC

【分析】

根据指数函数，对数函数，基函数的单调性可判断.

【详解】

对于A,当c>l时，y=c，单调递增，所以由可得c"<<?，故A正确；

对于B,当c>l时，所以c—1>(),所以y=x'T在((),+8)单调递增，由可得<6日，

故B正确;

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h-ab（b-a\c-b（c-a\a（h-c\

对于C,因为--------=-——j———-=