7.1 多面体-中职数学教学设计（高教版2021基础模块 下册）

PAGE17.1多面体课题7.1多面体课时安排4学时（共180分钟）授课教师授课班级二年级教材分析《数学（基础模块下册）》（总主编秦静本册主编郭为毕渔民）授课类型讲授本节课是高教版《数学》（基础模块）（下册）第七章简单几何体的第一节，简单几何体是立体几何初步的入门，在本节课中我们将认识简单多面体，并了解其相应的结构特点。简单几何体的学习为后面研究几何体的结构特征，空间图形的基本关系以及简单几何体的面积和体积打下基础，是本章内容学习的起点和基础。教学目标及重难点知识目标1.理解多面体的概念.2.掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念以及正棱柱的几何特征.3.掌握棱锥、正棱锥的概念以及正棱锥的几何特征.4.能运用棱柱、棱锥的几何特征描述现实生活中的简单物体.能力目标能认知棱柱、棱锥的模型与直观图，通过棱柱、棱锥的侧面展开过程，能说出棱柱、棱锥的结构特征，能进行棱柱、棱锥表面积、体积的计算，逐步提高直观想象和数学运算等核心素养.思政目标“水立方”是北京奥运会国家游泳中心，它的膜结构是世界之最。它是根据细胞排列形式和肥皂泡天然结构设计而成的，这种形态在建筑结构中从来没有出现过，创意奇特，可适当介绍这座理念超前，意义非凡的巨大建筑.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。祖暅原理的引入，能引导学生学习祖暅的研究精神，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情。情感目标通过对实物的观察抽象出空间几何图形，体会数学来之于生活的内含，丰富的资源是我们学习空间几何体的源泉，从而认识各种几何体呈现方式的多样性．教学重点棱柱、棱锥的几何特征.教学难点正棱柱、正棱锥的几何特征.教学策略本课由实物模型入手，引出学生较熟悉的空间图形，帮助学生感知并进一步学习相关概念，选取简单的几何体（直棱柱、正棱锥）帮助学生掌握直观图的画法．通过直棱柱和正棱锥的侧面展开图，帮助学生理解侧面积、表面积公式，通过实验，帮助学生理解正棱锥的体积公式．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．教学环节教学内容师生活动设计意图课堂实施一、创设情景兴趣导入在日常生活中我们所见的空间图形，有些是规则的，有些是不规则的，很多是由我们熟悉的基本几何体组合而成的．观察国家游泳中心（又称“水立方”），如图所示，水立方的外形可以看作由矩形围成的长方体．从外形上看，“水立方”是一个巨大的蓝色立方体，这也是中国建筑技术的体现.像这样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体．下图所示的几何体都是多面体．围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．教师引导学生联系实际进行思考。方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则,而这个“方盒子”又能够最佳体现国家游泳中心的多功能要求，从而实现了传统文化与建筑功能的完善结合.奥运会期间，“水立方”见证了一个又一个的历史时刻，中国不仅创造了快速泳池的奇迹，更被世界媒体盛赞为“水魔方”。“课堂实施二、动脑思考探索新知有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体称为棱柱．两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面．两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点．不在同一个面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线．两个底面间的距离称为棱柱的高.如图所示。底面为三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱、……表示棱柱时分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱．底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱.通过观察，我们可以发现正棱柱有以下主要性质：（1）两个底面是平行且全等的正多边形；（2）侧面都是全等的矩形；（3）侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等将棱柱的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上所得的图形称为棱柱的侧面展开图．侧面展开图的面积称为棱柱的侧面积．因为直棱柱的侧面展开图是矩形，它的上下两条边长等于直棱柱的底面周长，另两条对边长等于直棱柱的高ℎ，如图所示．所以直棱柱的侧面积为棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积或全面积．直棱柱的表面积为进行数学实验，引入祖暅原理取一摞面积相等的课本堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状．体积可看成由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等．祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等．可以证明直棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积，即其中、𝑐、h分别为直棱柱的底面积、底面周长和高．教师呈现各种实物，结合直观图，体会各种棱柱之间的区别．按照不同的标准，对多面体进行分类．学生根据呈现的图片以及实物，总结出棱柱的特点，得出棱柱的定义．对于直棱柱和正棱柱的性质，采用教师提问，学生回答的形式，总结出来．通过课件演示，让学生总结出性质（2）（3）．教师采用呈现直观图，让学生对棱柱进行类比，观察各个棱柱的特点．找出相同点和不同点．教师介绍和讲解，学生学习并记忆祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积，祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家\t"/item/%E7%A5%96%E6%9A%85/_blank"卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我国古代最伟大的数学家之一。课堂实施三、例题解析例1已知一个正四棱柱的底面边长为2cm，高为3cm，求这个正四棱柱的全面积和体积．解正四棱柱的全面积为由于正四棱柱的底面积为，所以正四棱柱的体积为例2某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m,渠面宽2m（1）修筑水渠需要挖出多少立方米的土？(2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少（保留整数）？解 由题意可知，水渠可以看作底面为等腰梯形的直四棱柱．于是水渠长就成为直四棱柱的高．先求等腰梯形截面的面积，设为高，所以故在水渠的底部和侧面需要铺设1665的水泥板。教师提问、讲解，学生思考、分析课堂实施四、巩固练习1．用硬纸板制作一个直棱柱．2．判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）．（1）棱柱的侧棱一定相等．（）（2）每个侧面都是矩形的棱柱是直棱柱．（）（3）直棱柱的两个底面平行且相等．（）（4）底面是正多边形的直棱柱是正棱柱．（）3．正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，求这个正三棱柱的侧面积、表面积和体积（保留到小数点后第2位）．4．已知高为的直四棱柱的底面是长为3，宽为2的矩形．求这个直四棱柱的表面积和体积教师巡视指导学生进行计算，对学生在做题中出现的错误点，及时进行纠正学生运用本节课所归纳的知识，完成相应练习以小组竞争的形式，完成课堂练习，巩固所学，提升学生的竞争意识课堂实施一、情景导入7.1.2直观图的画法如图所示是长方体的实物图，在平面中画出这个立体图形时，我们如何体现立体感？可以将长方体的正面画成长方形，将长方体的上、下底面和左、右侧面都画成平行四边形，遮挡部分用虚线表示，如图所示，这样的画法使得长方体直观看起来有较强的立体感，接近我们观察实物的效果；同时还能直观表达长方体的各个顶点、平面之间的位置关系．像这样，直观看起来有立体感的图形称为直观图．如图所示就是长方体的直观图引导学生联系实际进行思考创设情境增加学生知识视野课堂实施二、动脑思考探索新知正三角形直观图的画法平面内水平放置的正三角形，如图（1）所示，其直观图画法如下：（1）建立直角坐标系OXY；（2）以底边AB中点为坐标轴原点，以AB所在的直线为轴，以线段AB垂直平分线所在的直线为Y轴，如图（2）所示．对应X轴和Y轴画出轴和轴，使两轴交于点，且，如图（3）所示；（3）在轴上取，使=，且为的中点，即与轴平行或重合的线段，在直观图中保持原长度不变；在轴上取一点，使,即与轴垂直的线段，其长度等于原长度的一半，如图（3）所示；（4）依次连接三点、、,所得的三角形就是正三角形的直观图，如图（4）所示．试一试画出水平放置的长方形的直观图．2.正方体直观图的画法棱长为2cm的正方体的直观图的画法如下：画正方体底面的直观图，即画水平放置的边长为2cm的正方形的直观图．作，在x轴正向取，在y轴正向取，分别过点B、D作y轴与x轴的平行线，两线交于点C．则平行四边形即为正方形的直观图。如图所示．过四点向上分别作的垂线，取过点A的垂线所在的直线为Z轴，在垂线上分别截取，如图所示．（3）连接、、、，擦去坐标轴，并将被遮挡住的线段画成虚线，如图所示，就是棱长为2cm的正方体的直观图．上述画三角形、正方体直观图的方法称为斜二测画法教师边演示，边讲解．学生和教师同步完成直观图．教师引导学生总结出斜二测画法的步骤．让学生总结画法的步骤，加深对斜二测画法的理解．课堂实施三、习题巩固1．已知长方形的长、宽分别是3cm、2cm，试画该长方形的直观图．2．已知边长为2cm的正三角形．试用斜二测画法画出它水平放置时的直观图．3．已知长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、2cm．试画出该长方体的直观图.课堂实施一、情景导入7.1.3棱锥在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因数,我们不难发现，由这类物体抽象出来的空间图形会给人以锥体的形象。观察图中所示的四个多面体，它们有什么共同点？可以发现，这些多面体都有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点课堂实施二、动脑思考探索新知有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫作棱锥.这个多边形叫作棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形叫作棱锥的侧面；各侧面的公共点叫作棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫作棱锥的侧棱；顶点到底面垂直投影的距离称为棱锥的高.棱锥的分类：按底面的形状，我们把底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体.棱锥用顶点和底面各顶点的字母表示，如图7的五棱锥表示为棱锥.按棱锥顶点在底面上的投影位置及底面的形状，我们把顶点在底面上的投影是底面的中心且底面为正多边形，即如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥叫做正棱锥.(1)(2)(3)图8上面三个图中，顶点S与底面中心O的连线的长就是正棱锥的高.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等；这些等腰三角形底边上的高，叫作棱锥的斜高.正棱锥有下列性质：(1)正棱锥的底面是正多边形；(2)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；(3)正棱锥的侧棱长都相等，斜高长也相等；(4)正棱锥的高、斜高及底面多边形的内切圆半径构成直角三角形；正棱锥的高、侧棱即底面多边形的外接圆半径构成直角三角形.如果我们把棱锥的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，所得的图形称为棱锥的侧面展开图，展开图的面积称为棱锥的侧面积，如上图所示．从侧面展开图中我们可以观察到，正棱锥的侧面展开图由各个等腰三角形组成，由此得到正棱锥的侧面积和表面积观察正三棱锥的侧面展开图，容易得到：抽象概括：设表示正棱锥底面的周长,是正棱锥的斜高,可以得到正棱锥的侧面积计算公式为：正棱锥的全面积（表面积）计算公式分别为：.其中,表示正棱锥的底面的面积.正棱锥的体积棱锥的体积是以三棱锥为例，三棱柱可以分割成三个三棱锥，可以证明这三部分三棱锥都具备等底等高的特征，故体积两两相等.因此这个三棱锥的体积是同底等高的三棱柱体积的，即，其中为底面面积，为高.一般地，棱锥与圆锥的体积是与其等底同高的棱柱、圆柱的体积的，即，其中为底面面积，为高，棱锥和圆锥的高指的是从顶点向底面作垂线，顶点到垂足之间的距离学生类比棱柱的直观图，认识棱锥的各个元素．学生类比棱柱的分类，在动画的演示下，认识各种棱锥．教师带领学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，给出锥体体积公式．通过演示和练习，帮助学生认知棱锥的各个元素，巩固知识点．棱锥的分类与棱柱进行类比，更容易理解记忆．渗透特殊到一般的思想．体会平面图形与立体图形之间的相互转换，提高学生的空间想象能力．课堂实施三、例题讲解例1如图所示，已知正三棱锥的底面边长为6cm，斜高为8cm，求正三棱锥的侧面积和表面积.解S棱锥侧=1S底=34S锥体表=S答：正三棱锥的侧面积是72cm2例2一个底面半径为3cm,高为4cm的圆柱体挖去一个与圆柱体等底等高的圆锥体，计算剩余部分几何体的体积.（得数保留