2020届阜阳市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2019-2020学年安徽省阜阳市高三（上）期末

数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合A={W-3<x<-l},B={X|%2-4X-12<0},则ACB=()

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.(-1.6]D.(-3,-1)

2.已知复数z=2-i,目为z的共扼复数，则（1+z）•日=（

)

A.5+iB.5-zC.7-zD.7+z

3.已知平面向量口=（2,1），/（2,4）,则向量口，口夹角的余弦值为（）

A.gB.目C.目D.目

4.某单位去年的开支分布的折线图如图I所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2

所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）

fflI

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

已知则

5.tana=|7^>cos(2a-1)=()

A-SB-I3c.囹D用

Lx-y<0|

6.若x,y满足约束条件，:彳,则z=4x+y的最大值为（)

A.-5B.-lC.5D.6

（>0,6>0）的焦点到它的渐近线的距离为2,点P（-3通，-2）是双曲线

7.已知双曲线C：fl

C上的一点，则双曲线c的离心率为（）

A.国B.|C.|

8,将函数/（x）=sin（3x+|）的图象向右平移机（w>0）个单位长度，得到函数gQ）的图象，若g（x）

为奇函数，则机的最小值为（）

A.|B.gC.gD.|

9.已知p：In2・ln9>l植・lna,q：函数/（x）=|huk在（0,e4］上有2个零点，则。是口的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为n，大圆柱底面半径为/'2,

如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为如图2放置容器，液面以上空余部分的高为〃2.则

A.日B画C.冏

11.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)寸(-尤)，且在[0,+oo)上是增函数，不等式“取+2)g(-l)

对于2]恒成立，则a的取值范围是()

A.[-1.5,-11B.[-l,-0.5]C.[-0.5,0]D.[0,1]

12.已知函数f(x)=：t(2nx+x+|)恰有一个极值点为1，则实数，的取值范围是()

A.(-8,-u｛软B.(-8,JC.(-8,JD.(一8,一U痘

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知等差数列｛为｝的前〃项和是5,”公差4=3,且切、如痣成等比数列，贝”io=.

14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边

为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1〜5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数

为勾股数的概率为.

15.如图，圆锥V。的母线长为/,轴截面V4B的顶角“VB=150。，则过此圆*

锥的顶点作该圆锥的任意截面VCQ,则△VC。面积的最大值是_____,此

时WC£>=______./6

16.过抛物线C：x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA、PB,切点分<Q__

别为A、B.则4点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinA+sinB)(a-b)+/?sinC=csinC.点。为边

BC的中点，且

(1)求A；

(2)若。=2c,求AABC的面积.

18.已知数列｛斯｝满足〃尸1,且斯+1

(1)证明数列｛国｝是等差数列，并求数列｛斯｝的通项公式.

(2)若bn昌,求数列｛儿｝的前〃项和s“.

19.《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒

贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评

审.从2019年10月26日起，每周六20：00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生

对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.如图是

根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时

间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.

大二学生场均关注比赛时间的频数分布表

时间分组频数

[0,20)12

[20,40)20

140,60)24

[60,80)22

[80,100)16

[100,120]6

(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；

(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的2x2列联表,

并据此判断是否有90%的把握认为“塞迷”与性别有关.

非“塞迷”“塞迷”合计

男

女

合计

2__________n(ad-bc)2_______

附：,其中"=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d：

P(木泌))0.150.100.050.025

2.0722.7063.8415.024

大一学生场均关注比骞时间的频率分布直方图

0.0125

0.0IK

(),0KM

().(XNO

0.0()：

0()025

02040前80100120时间/分钟

20.如图1,在等腰梯形ABFiB中，两腰AB=2Q=2,底边AB=6,QB=4,D、C是45的三等分点，E

是尸产2的中点.分别沿CE,OE将四边形BCEFi和ADE尸2折起，使凡、B重合于点儿得到如图2

所示的几何体.在图2中，M、N分别为C。、EF的中点.

(1)证明：MML平面4BCO

(2)求几何体ABF-DCE的体积.

E+y[l(a>D的左顶点为A,右焦点为F,斜率为1的直线与椭圆C交于A、8两点,

21.已知椭圆C：

且OB1A8,其中O为坐标原点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点尸且与直线4B平行的直线与椭圆C交于M、N两点，若点P满足加=3品，且NP与

椭圆C的另一个交点为。，求固的值.

22.设函数/(x)其中(0,1),1为正实数.

(1)若不等式f(x)<0恒成立，求实数/的取值范围;

(2)当天€(0,1)时.，证明/+%_/Ve-nx.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••集合B={x|f-4x-12wO}=3-2人6},集合4={43VxV-l},

••AQB={x\-2<x<-\],

故选:A.

先求出集合&再利用集合的交集运算即可求出Ana

本题主要考查了集合的基本运算，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：•.・z=2-i,g=2+i,

则（1+z）*|=（3-i）（2+i）,

=7+z.

故选：D.

直接利用复数代数形式的乘除运算及共规复数的概念进行化简，即可求解.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共朝复数的概念，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•••.（2,1），.（2,4）,

a-b84

cos<a,0>=谪=用再个

故选:B.

根据向量口的坐标，以及向量夹角的余弦公式即可求出卜S<;，;〉|的值.

本题考查了向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算

能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%,

由条形图得去年水、电、交通支出合计为：

250+450+100=800（万元），

共中水费支出250（万元），

••・去年的水费开支占总开支的百分比为：20%=6.25%.

故选：A.

由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%,由条形图得去年水、电、交通支出合计为

250+450+100=800（万元），共中水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比.

本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：已知ltana=O，

则cos(2a1)=13(sin2a+cos2a)痔三包车迷

Lil1_£|/s加"a+cos&a_____

_>/22tana+l-tan2a_后"""2亚+卜-0

21+tan-236|

故选：D.

利用二倍角公式把cos(2a-|)化成齐次式，再化成正切，代入即可.

考查二倍角公式的应用，中档题.

6.【答案】C

,x-y<0|

【解析】解：由约束条件:"同作出可行域如图,

联立二：，解得C(1,1).

化目标函数z=4x+y为y=-4x+z,由图可知，当直线y--4x+z过点C

时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5.

故选：C.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结

合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答

案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

7.【答案】C

【解析】解：双曲线C：(，=1(〃>0,b>0)的焦点到它的渐近线的距离为2,

可得氏2,点尸(-30,-2)是双曲线C上的一点，

可得?一1=1,解得〃=3,则c*9+444宜,

所以双曲线的离心率为：e书卷.

故选：C.

利用已知条件求出江顶点坐标代入双曲线方程求解m然后求解离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.

8.【答案】C

【解析】解：将函数/(x)=sin(3x+|)的图象向右平移〃？(m>0)个单位长度,

得到函数g(x)=sin(3x-3w+|)的图象,

又g(x)为奇函数，

・一3〃2+月=E,keZ,解得加二胃•防,keZ,

故选：C.

先由题意写出g（幻解析式，根据g（X）为奇函数，进而可求出，〃的值.

本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.

9.【答案】B

【解析】解：p：In2・ln9>ln咽Tn”，即2，n2」n3〉3n3•ma，即41n2>1M即0<a<16,

q：函数/（x）=|lnxR/在（0,上有2个零点，即|1必=〃，在（0,e4］上有2个交点，则0<〃<4,

则夕是g的必要不充分条件，

故选：B.

先化简命题，再讨论充要性.

本题考查充要性，对数函数的求解，零点，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：在图1中，液面以上空余部分的体积为：nr］hv

在图2中，液面以上空余部分的体积为：nr］h2

而r湾|=|"羯|,

匹・

故选：B.

在图1中，液面以上空余部分的体积为：兀在图2中，液面以上空余部分的体积为：兀r%2，由

口71=巴如，能求出日

本题考查两个圆柱的高的比值的求法，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间

几何体的体积等基础知识，考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象等.

11.【答案】A

【解析】解：（JC）满足/（x）W（-X）,

故/（X）为偶函数，且在［0,+00）上是增函数，

根据偶函数的对称性可知，（-co,0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大,

丫不等式/'（皿+2）</'（-1）对于x€［l,2］恒成立,

则3+2区1,

.,.-1<O¥+2<1,

即-3%烂・1对于xG［l,2］恒成立,

（-3<a<-1

根据一次函数的性质可得，｛332&2-1，

解可得，-iWaW-l.

故选：A.

由题意f（x）为偶函数，且在［0,+oo）上是增函数，根据偶函数的对称性可知，（-co,0）上单调递减,

距离对称轴越远，函数值越大，由题意可得|以+2区1,对于在［1,2］恒成立，然后结合一次函数的性质可求.

本题主要考查了偶函数对称性的简单应用，及函数恒成立问题的应用，属于中档试题.

12.【答案】C

【解析】解：由题意知函数的定义域为（0,+8）,f，⑺=空二定+1一）=（'7（、？（方。,

•••函数/（X）恰有一个极值点1,

.•/（无）=0有且仅有一个解，即X=1是它的唯一解，也就是另一个方程$t=0无解，

令g（x）=六式4〉°）‘则g'（"）=/舞〉°’

・•・函数g（x）在（0,+00）上单调递增，从而|g（x）〉g（0）=［，所以当目时，方程工—t=o无解，

故选：C.

解题的关键是把问题转化为方程$-t=0无解，进而构造函数求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查化简变形及逻辑推理能力，属于中档题.

13.【答案】175

【解析】解：由题意，数列｛斯｝是公差为3的等差数列，则

的=。1+24=。1+6,«8=«I+21.

•.⑷、。3、48成等比数列，根据等比中项的性质，可得

|a|=ai*ag>即（0+6）~=a\,（©+21）.

解得G=4.

.•.等差数列｛%｝的首项为4.

.­.510=10x4+^^x3=175.

故答案为：175.

本题先根据数列｛斯｝是公差为3的等差数列，写出6、金，然后根据等比中项的性质列出得国=“「例，解

出再根据等差数列求和公式即可算出结果.

本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，等比数列的性质，考查了数学计算能力.本题属中档题.

14.【答案】g

【解析】解：现从1〜5这5个数中随机选取3个不同的数，

基本事件总数〃=@=10,

这三个数为勾股数包含的基本事件（a,b,c）有：（3,4,5）,共1个，

二这三个数为勾股数的概率为片目

故答案为：目

基本事件总数〃起=10,这三个数为勾股数包含的基本事件（a,h,c）有：（3,4,5）,共1个，由此

能求出这三个数为勾股数的概率.

本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

一

工O

15.【答案】2一45

一

【解析】解：过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面UC。，则△MCD面积的最大值时是等腰直角三角形时,

2

止匕时5AvcD=^l.sin90°=|,且NUO)=45。

故答案分别为：|,45°.

过圆锥顶点的任意截面中，轴截面的面积最大，所以可得△饮弟为等腰直角三角形，由题意求出截面的最

大面积及角.

考查圆锥的轴截面时过顶点的最大面积的三角形，属于基础题.

16.【答案】4

【解析】解：显然直线AB的斜率存在，设直线A8A的方程为：y=kx+b,设A(x,y),)B(x,(/),

由题意知焦点F(0,1),联立与抛物线的方程：^-4kx-4b=0,x+x'=4k,xx'=-4b,416炉+16b>0,b>-F,

J1+必+xr)2-4xx'J1+必Jl6k2+16力J1+必Jb+4

A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=AF+BF,当A,F,8三点共线时最小，这时氏1,

当A,F,B三点共线时最小，所以AF+BF=AB=4J1+/.d+谒=4(1+))％,这时直线AB平行于x轴.

故答案为：4.

到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值.

考查抛物线的性质，属于中档题.

17.【答案】解：(1)A7BC中，T(sinA+sinB)(,a-b)+Z?sinC=csinC；

•••(sinA+sinB)(a-b)=(sinC-sinB)c,

由正弦定理可得，(a+6)(a-b)=(c-b)c,

化简可得,b2+c2-a2=bc,

由余弦定理可得，cosA=

vO<A<7t,

(2)vZ?2+c2-^2=/?c,b=2c,

.-.^2=3C2=/?2-C2,

.•珊C=|；

・•・在直角△8AD中，AD2=C2+|(^=>7=C2+|C2=>C=2,4=2国;

二SAABC=|"=2|^・

【解析】（1）由已知结合正弦定理可得，/+C2-J=bc,然后结合余弦定理可求cosA,进而可求A；

（2）先结合第一问的结论求出.•,8=事C=g;再在直角△BAQ中求出边长即可求出结论.

本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题.

18.【答案】解：（1）证明:数列｛“"｝满足4|=1,且。”+1

则：冉国=自左（常数）,

故数列数歹U｛焉｝是以1*=鼻为首项,|为公差的等差数列.

所以点=t+q（nl）=3|，整理同册=：-1|（首项符合通项）.

故4=：T•

（2）由于册=丁1＞所以a“+1=q.

设除=n.21,

则：7\=l-21+2-22++n,2®

27'„=l-22+2-23+...+n-2n+1②，

①-②得：|一*经习,

-4-JL________________

所以几=（71-1）.2"+1+4.

所以数列｛儿｝的前〃项和冬周=（n-1）-2n+l.

【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.

（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查

学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

19.【答案】解：（1）由频率分布直方图知，大一学生是“赛迷”的概率为

P尸（0.0100+0.0025）x20=0.25；

由频数分布表知，大二学生是“赛迷”的概率为

户2=|^提。・22；

因为外＞22,所以大一年级的学生是“赛迷”的概率大；

（2）由题意填写2X2列联表如下:

非“赛迷”“赛迷”合计

男401050

女351550

合计7525100

将2x2列联表中的数据代入公式计算，得

100X(40X15-10X35)2普1.333V2.706,

75x25x50x50

所以没有90%的把握认为“塞迷”与性别有关.

【解析】（1）由频率分布直方图和频数分布表，分别求出大一、大二学生是“赛迷”的频率值，再比较即

可；

（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.

本题考查了列联表与独立性检验的问题，是基础题.

20.【答案】解：（1）证明：连结。M由题意得CN=£W,CE=CF=2,

:.MN上CD,DN1EF,CN1.EF,

•：DNCCN=N,;.EF工平面CDN,

•••MNu平面CDN,:.EFLMN,

■■■EF\\BC,：.MNLBC,

•••CCnBC=C,平面ABCD.

（2）解：设几何体ABF-OCE高为后EF=2,

几何体ABF-DCE的体积：

V=SaCDN.h=gxCDxMNx力/x2x《3-1x*2例.

【解析】（1）连结。M由题意得CN=£W,CE=CF=2,从而MMLCD,DNLEF,CNLEF,进而平面

CDN,EFLMN,由EFII2C,得MNLBC,由此能证明MML平面48CD.

（2）设几何体A8尸-CCE高为〃=EF=2,几何体ABF-CCE的体积GSAOWT，由此能求出结果.

本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

21.【答案】解：（1）由题意得，设直线AB的方程：4…，与椭圆联立整理得：（1+J）户2冲=（）,

折舟,

|~2a~1a—a3

••四号寸舄，

因为OB1AB,

—=—1=-La>\,解得：a2=3,

所以椭圆C的标准方程:E3=i；

（2）由（1）得，F（的，0）所以由题意得直线MN的方程为：|y=x-^,

设M（为，yi）,N（X2，及），Q（为，力），

将|y=翔弋入/+y2=1,得4%2-6但％+3=0,

3"

%1+%2=亏，X1X2=V

y\y2—（%1-但）（%2—0=~4f

整理得'：6：？（*彳+4）+.（抬+矽一殁当今/2+7172）=1，

1XXT

=

由上知，/1%2+、1丫2=°，且/+,1=1,y+y2

|"。+*=；,即7〃上18〃?-25=0,解得|m=1或团=-1（舍），

\NP\25

两=亍

【解析】（1）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出点B的坐标，再根据0B1AB,建立关于〃的

方程，解出即可；

（2）设M（X1,J1）,N（X2,J2）>Q（X3，力），需■=m，由己知，将点。的坐标用点M,N表示，再

由点。在椭圆上，得到关于，”的方程，解出即可.

本题考查直线与椭圆的综合运用，考查逻辑推理能力，特别是考查了化简运算求解能力，属于中档题.

22.【答案】解