高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册立体几何初步

必修第二册立体几何初步

一、单选题

1.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（）

俯视图

A.8B.16C.24D.32

2.四氯化碳是一种有机化合物，分子式为CC1-是一种无色透明液体，易挥发，曾

作为灭火剂使用.四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（C1）位于正四

面体的四个顶点处，碳原子（C）位于正四面体的中心.则四氯化碳分子的碳氯键（C-

C1）之间的夹角正弦值为（）.

3.在棱长为6的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重

合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（).

A.26B.4C.36D.2瓜

4.在正方体ABCO-A4GR中，AB=2E为棱BB、的中点，则平面AEQ截正方体

ABCO-AAGR的截面面积为（）

5.如图，正三棱锥A-BC3中，BC=42AD,该三棱锥外接球的表面积为12兀，则

正三棱锥A-5C£＞的体积为（）

A.2B.-C.立D.立

323

6.设，小〃，/是三条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中

正确的是（）

A.若alj?,lua,mup,则/B.若a〃4,lua,mup,则/〃机；

C.若/J_a,1〃B，则D.若/ua,/_!_〃?，/±n,m//p,n//p9

则a邛.

7.某儿何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：c/n3）是

()

俯视图

8.已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为

（）

A.67rB.66兀C.9色兀D.12万

二、多选题

9.（多选）已知A,B,C表示不同的点，/表示直线，。，夕表示不同的平面，则下

列推理正确的是（）

A.Ael,Asa,Bel,8ea=/uaB.Awa,Aw/,Bea,

Bw0=anB=AB

C.Iga,Ae/=>D.Awa,Ac/,/(fa=>/ca=A

10.若m,〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列说法正确的有

()

A.若a〃尸，"?ua,则加〃尸B.若a_1_/?,机J_a,则m〃/

C.若m〃*mLa,则〃J_aD.若他JL〃，m//a,贝!]〃//a

11.如图，在正方体ABC。-A[8]GR中,43=2,£,尸,6,“分别为48,。。1，401,人。

的中点，则下列说法正确的是（）

A.A.H1EF

B.〃平面£>£尸

c.G尸与A8所成的角的余弦值为它

6

D.点片到平面EFG的距离为6

12.某艺术比赛提倡能力均衡发展，特别将水晶奖杯设计成具有对称美的形状.其形

如图所示，是将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面得到所有

棱长均为。的空间几何体，则下列说法正确的是（）

B.该几何体的外接球表面积为日7/

12

C.该几何体的表面积为D.该几何体中，二面角A—8C-。的余

弦值为:

第II卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

13.已知三棱锥4一58的所有棱长均为2,点E,F分别为CD3C中点，点M在直线

A尸上，点N在平面上，则CW+MN的最小值为.

14.已知A、B、C、。为空间不共面的四个点，且3c=80=248=20，则当三棱

锥A-BCD体积最大时，其外接球的表面积为.

15.三棱锥P-A8C中，△P4C与AABC均为边长为26的等边三角形，平面E4CL

平面ABC,则该三棱锥的外接球的表面积为.

16.如图，在正四棱锥P-43CO中，为棱尸8的中点，A为棱PO的中点，则棱锥

P—A6CD与棱锥A-8C。的体积之比为

四、解答题

17.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：

(1)边长为3cm的正三角形；

(2)边长为4cm的正方形；

(3)边长为2cm的正八边形.

18.如图甲，在RMA5C中，ZB=90°,BC=1,AB=2,D、E分别是AB、AC边上的

UUUUL1U1

动点(除去端点)，满足而=2而，4£=/14(7.现将4ADE沿。E折起，使点A到

达点4的位置，连接A》，AC得到如图乙所示的四棱锥4-QBCE.

图甲

⑴设/为平面ADE与平面A'8C的交线，求证：，/平面DBCE；

（2）若则当4为何值时，四棱锥4㈤8CE的体积最大？

19.某型号氧气瓶形状如图所示，可看作是由一个圆柱和一个圆台组合而成（设氧气

瓶中氧气已充满，图中所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）.某潜水员身背该型号氧气瓶潜

入水深am的湖底进行某项工作，其匀速下潜和上浮的速度均为vm/min.该潜水员下

潜时每分钟耗氧量与其下潜速度的平方成正比，经测验，当其下潜速度为1m/min

时，每分钟耗氧0.2L；在湖底工作时，每分钟耗氧0.4L；上浮时，每分钟耗氧0.2

L.若下潜与上浮时，他的速度均不能超过pm/min,试问：该潜水员在湖底最多能工

作多长时间（万取3.14,氧气瓶体积计算精确到1L,“，°为常数）？

20.如图，四边形A8C£>为正方形，PD_L平面A2C£>,PD=DC,点、E、尸分别为

AD.PC的中点.

p

⑴证明：DF〃平面PBE；

(2)求三棱锥P-B。尸的体积与四棱锥尸-ABC。的体积之比.

21.如图，在长方体A88-AMG2的各面所在的平面中，分别写出与直线AB,

平面SACJ■平面ABC,SA—AB-AC=2,

(1)求证：SB1AC；

(2)求直线SA与BC所成角的余弦值.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

首先还原几何体，再利用锥体的体积公式，即可求解.

【详解】

由题意可知几何体的形状如图：

AC=2,CD=4,BC=6,AC，CD,88E是矩形，ACVBC,所以几何体的体积为

-x4x6x2=16.

3

故选：B.

2.D

【解析】

【分析】

将四面体放入正方体中进行计算，结合正方体和正四面体的几何特点，借助余弦定理即可

容易求得结果.

【详解】

如图所示，正方体的棱长为d正四面体4-38的棱长为0a，

答案第1页，共19页

A

又该正方体的体对角线长度为岛，故OA=OB=^a,

2

根据题意可知，所求夹角为

2223a2+3a22a2

.,一在、皿一/曰OA+OB-AB44'~'1

在AOAB中，由余弦定理可得：cosZAOB=—…八。—-----------安------=--.

2°AX°B2X3〃3

4

故sinNAOB=述，即四氯化碳分子的碳氯键（C-C1）之间的夹角正弦值为辿.

33

故选：D.

3.D

【解析】

【分析】

结合正方体的内切球及其内切球的正四面体的结构特征，利用勾股定理求得所求的最大棱

长.

【详解】

由题意得，该正四面体在正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大.

正方体的内切球半径为，-=3,如图，记正四面体为P-ABC,棱长为m。为底面ABC的

中心，

四面体外接球的球心为。，连接PO,OC,O'C,则PO_L底面ABC,

故选：D

答案第2页，共19页

4.D

【解析】

【分析】

先作出平面AE。截正方体A8CO-A与GR的截面，再求出截面的高，由梯形面积公式得

出截面面积.

【详解】

取8。的中点为M,连接EM,则且则EM〃AR.又正

方体中，AB=2,所以MR=AE=-22+产=石,BCt=ADt=2A/2,因此

EM=；BQ=72,所以平面AER截正方体A8CO-ABGA所得的截面为等腰梯形

EMRA,因此该等腰梯形的高为/?=/科2_（半0_J=8?=乎，所以该截面

1g

的面积为S=5（4"+EM）»=].

5.B

【解析】

答案第3页，共19页

【分析】

根据三棱锥的几何特点，结合正方体外接球的球半径公式，求得三棱锥A-8a）的棱长，

再根据棱锥体积的计算公式，代值计算即可.

【详解】

因为三棱锥A-BCD为正三棱锥，所以BC=CD=BD,AB=AD=AC.

又因为BC=VL4D，所以三条侧棱48，AD,AC两两垂直，不妨设43=A£>=AC=a,

则三棱锥外接球即为棱长为a的正方体的外接球，且球的直径为Ga.

又三棱锥外接球的表面积为12兀，即外接球的直径为26,即。=2,

114

所以正三棱锥A-5CO的体积丫=,*5*2*2*2=§.

故选：B.

【点睛】

本题考察三棱锥的外接球半径的求解，解决问题的关键是根据几何体的特点将其转化为求

正方体外接球的半径，属中档题.

6.C

【解析】

【分析】

对于选项A,B,D,举出符合选项条件的事例判断；对于C,推理说明判断作答.

【详解】

对于A,在长方体A8CO-A8C。中，令平面ABC。为平面a,平面48瓦A为平面?，

如图,

直线AB为直线/,直线4/为直线〃，?满足a，A/ua,muA,而/与胆不垂直，A不正

确;

对于B,在A选项的长方体ABS-AMGR中，令平面A8C。为平面a,平面4/心马为

平面。,

答案第4页，共19页

直线AB为直线/,直线AR为直线，力满足a//⑸/ua,〃?up,而/，机，B不正确;

对于C,过/作平面/C夕=/',如图，因///夕，则/〃/,又/_La,而/'u£,于是得

I'La,所以a_L#,C正确；

71,\

I

对于D,在A选项的长方体ABCQ-AMGR中，令平面ABCD为平面a,平面ABCQ为

平面夕，

直线AB为直线/,直线A£),3c分别视为〃?，n,满足/ua,/_Lm,/_!_〃,《?///,”〃/,而

a!Ip,D不正确.

故选：C

7.B

【解析】

【分析】

根据三视图，还原几何体，再根据棱柱和棱锥的体积公式求组合体的体积即可.

【详解】

根据三视图还原几何体如下：

直棱柱ABC-OEF底面是NCA8为直角的等腰直角三角形，且AC=AB=2,高AD=2；

答案第5页，共19页

棱锥G—£)£力和棱柱ABC—户同底，且高DG=2,

故该组合体的体积V=gx；x2x2x2+gx2x2x2号.

故选：B.

8.C

【解析】

【分析】

设圆锥的高为〃，母线长为/,根据圆锥的侧面积公式求出/=2r,再利用勾股定理求出

h,最后根据体积公式计算可得；

【详解】

解：设圆锥的高为〃，母线长为/,则圆锥的侧面积S=；x2》r/=2乃，，故

I=2r=6,h=\ll2-r2=3^，故圆锥的体积V=g乃=9心■.

故选：C.

9.ABD

【解析】

【分析】

根据点线面的位置关系即可得到答案.

【详解】

根据公理1可知A正确；

根据公理3可知B正确；

易知D正确；

点A可以为/,a的交点，C错误.

故选：ABD.

10.AC

【解析】

【分析】

根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项，即可求得答案.

【详解】

对于A,由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行.而

a//(3,mua,故m〃尸，A正确；

答案第6页，共19页

对于B,aLpjnka,此时"?有可能在平面厂内，故不能得到也〃?，B错误；

对于C,由于“〃明则"可经平移到与m重合的位置而平移不改变直线与平面是否直，

m\.a,故C正确；

对于D,当m〃e,m<za,过机上一点作直线〃_Ltz,此时机_L〃，不能得到〃//a,D错

误.

综上，AC正确.

故选：AC.

11.AD

【解析】

【分析】

根据线线垂直、线面平行、线线角、点面距等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】

A选项:取BC中点为M,则易得：BFLB、M,故B尸，A”与48,A”，BF[}AB=B,

可得AaJL平面AB户，又EFu平面A8尸，故A正确；

B选项：若4优〃平面DEF,则。G〃平面£>EF或£>G在平面£>EF内，显然不成立，B错

误；

C选项：取。。中点为。，则A2〃AB,/GA2即为所求角，tan/GFQ=正，故

cosNGFQ=与,D错误；

D选项：三棱锥4-EFG中，EF=FG=GE=R,B\E=B\F=B\G=5

n_XV6_rr

等边三角形EFG的外接圆半径为K==

所以4到平面EFG的距离为J（以）2-（拒了=73.D正确.

故选：AD

答案第7页，共19页

12.AB

【解析】

【分析】

补全几何体为棱长为3〃的正三棱锥，应用棱锥体积、表面积的求法求几何体的体积、表面

积，再由几何法求几何体外接球的半径，进而求外接球面积，根据四面体的性质判断二面

角A-8C-力与棱锥侧面夹角的关系，通过求棱锥侧面夹角余弦值求二面角的余弦值.

【详解】

补全几何体为棱长为3a的正三棱锥，如下图示，

•'•几何体体积（总母.坐胃"/,

V=4vMMBC=、g9a②ag/.W=

故A正确；

若。,O"分别是面ABC、底面PCW的中心，由题设易知：0,0"=瓜1-&=巫。,若

33

答案第8页，共19页

几何体外接球半径「，则J/_oY+M—OR?=QG,即卜一专+产工=当°,

解得产=?/,则几何体的外接球表面积4%产%故B正确.

82

i

几何体的表面积S=4(SBCGHFD+SABC)=+4a^=1al,故C错误；

由正四面体的性质及图知：二面角A-8C-£>为正四面体相邻两个面夹角的补角，而正四

面体相邻两个面夹角的余弦值为g,则二面角A-8C-D的余弦值为故D错误；

故选：AB.

13.画+1

62

【解析】

【分析】

根据题意，作出图像，可得点R到平面ABE的距离/7就是CM+MN的最小值，由题意计算

OF,AF,从而得NEAR,sinNO4F,cosNOAF,可得sin/OAR,利]用/?=A/?sinN04/?计算

出CM+MN的最小值.

【详解】

如图所示，山题意可得C£>_L平面4?E,取8E中点。，把平面AFC围绕直线A尸旋转到与

平面A厂。重合，点C到达点R,因为。尸〃8,所以直线OFJ■平面4科，所以点R到平

面ABE的距离〃就是CM+MV的最小值，且九=ARsinNOAR,AR=AC=2,又点E,尸分

别为8,3C中点，三棱锥A-88的所有棱长均为2,所以

OF=-CE=-,AF=y]AB2-BF2=>/3,可得

22

1—

NE4R=NFAC=30°,sinNOAF="=3=且'cosZOAF=--,所以

AF666

所以〃=ARsinNOAR=^^+L

sinZOAR=sin(/E4R+/OAF)=

12462

故答案为：苴1+L

62

答案第9页，共19页

A

14.18兀

【解析】

【分析】

由题可得当朋、BC、8。两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高分

别为2近，2应，近的长方体，即得.

【详解】

当8A、BC、8。两两垂直时，如图三棱锥A-8CD的底面△88的面积和高同时取得最大

值，则三棱锥的体积最大，

此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为2近，2夜，血的长方体，

长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

球的半径r=gJ(2&『+(0『+(2&y=呼，表面积为4口2=187t.

故答案为：18几

15.207r

【解析】

答案第10页，共19页

【分析】

计算出外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【详解】

等边三角形PAC、等边三角形ABC的高为sin巴x=@乂26=3,

32

2

等边三角形PAC,等边三角形A3C的外接圆半径为3'耳=2,

设。分别是等边三角形PAC、等边三角形ABC的中心，

设。是三棱锥尸-48C的外接球的球心，R是外接球的半径，

则店=OT=22+『=5,

所以外接球的表面积为4兀斤=20兀.

故答案为：207t

16.4:1

【解析】

【分析】

根据图形可求出％-ABC，VQ-ACD,»匕-，遇4与棱锥P-ABC。的体积之比，即可求出结

果.

【详解】

如图所示：

答案第11页，共19页

p

棱锥A-BCR可看成正四棱锥尸-钻8减去四个小棱锥的体积得到，

设正四棱锥P-ABCZ)的体积为V,名为PB的中点，R为尸。的中点，

所以力-树=7匕%「A。=~A^,而匕-%A~T^C-PBD=T^P-BCD=77'

4444y

同理匕-m=如，

O

故棱锥A-BCR的体积的为1；

44884

即棱锥尸-MCD与棱锥A-BCR的体积之比为4:1

故答案为：4:1.

17.(1)作图见解析

(2)作图见解析

(3)作图见解析

【解析】

【分析】

(1)根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确

定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；

(2)根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确

定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；

(3)根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确

定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.

(1)

解：如图①所示，以8c边所在的直线为x轴，以BC边的高线A。所在直线为y轴，建立

平面直角坐标系，

答案第12页，共19页

画对应的X,轴、y'轴，使Nx'O'y'=45。,

在V轴上截取OB'=(yC=OB=OC=\.5cm,在y'轴上截取0W=1。4,

连接HB，、AC'、BC,则VAFG即为等边AABC的直观图，如图③所示.

⑵

解：如图④所示，以48、4。边所在的直线分别为x轴、y轴建立如下图所示的平面直角

坐标系，

画对应的x'轴、y'轴，使Nx'A'y'=45,

在V轴上截取AB=AB=4cm,在y'轴上截取A'D'=^AD=2cm,

作。C7/x'轴，且£>'C'=4cm,连接

则平行四边形A'B'C'D'即为正方形ABCD的直观图，如图⑥所示.

(3)

解：如图⑦所示，画正八边形0ABeDEFG,以点。为坐标原点，OA,。£所在直线分别

为x轴、丁轴建立平面直角坐标系xQy,

设点8、G在x轴上的射影点分别为M、N,

答案第13页，共19页

画对应的X,轴、y'轴，使Nx，oy=45,

在V轴上截取O'A'=O4=2cm,A!M'=AM,ON'=ON,

在y'轴上截取C）E=^OE,作E'D'Z/x'轴且££）'=2cm,

作"57/y轴，且=作N'G7/y轴，且NG'.NG,

作8'C7/y'轴，且8c=1cm,作GF少轴,且GF=1cm,

连接O'A、A'B\BC\CD\£>'£、EF'、F'G、CO,

则八边形aA'B'CO'EF'G'为正八边形。4BCDEFG的直观图，如图⑨所示.

18.（1）证明见解析

⑵人且

3

【解析】

【分析】

（1）先证明线线平行，再证明线面平行即可；

（2）根据四棱锥体积公式求出四棱锥A-O8CE的体积的表达式，利用导数求得其最大值.

⑴

由题意可知\^AD=2.AB,AE=ZAC,

|AB|\AC\

则Z）E〃BC,且由|=2九|屁|=2,

而。E（Z平面A'BC,比u平面A'BC

；.DE〃平面#BC,

•.•平面A'BCCI平面=〃/,

而平面败F,龙u平面Z）BCE=>/〃平面£>BCE：

答案第14页，共19页

(2)

由(1)知QE〃8C,ZB=90°,

故。E_LAD,

由此可知AD_L£>E,

又A'D±BD,BDcDE=£>,r.A'。_L平面DBCE

,

匕瓯£=-5WH；OfiC£XAD=-X"+')(2-2'[x24

A-UDCE3n>ft^DDCE32

2?

=—4(1+A)(l—A)=—(4—)

V'=|(1-322)=|(14-y/3A)(l-y/3A),

QO<2<1

/在(0,立)上为正，在(虫,1)上为负，

33

・•.V在(0,乎)上为增函数，在(3,1)上为减函数

所以当2=@时四棱锥4-圆券体积最大..

3

19.当pNl时，潜水员在湖底最多能工作42.5-n分钟：当p<l时，潜水员在湖底最多能工

公1「…Ln02。1

作——17-0.2即+----分钟.

0.4(P)

【解析】

【分析】

先求出氧气瓶中氧气的体积丫=17L.设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q,则

02

。=心.计算出D.2,得到来回途中需氧量为ax0.2v+axj,ve(O,p］和在湖底的工作时

间为看17-(0.2〃丫+呼)］由此能够求出潜水员在湖底最多工作时间.

【详解】

氧气瓶中氧气的体积

23

V=^ltt+V^|jEf=^xl0x50+^-x10x1(4+20+100)«5413^-«16997CW«17L.

设潜入水下。米过程中的每分钟需氧量为Q,则Q=抄2小＞0).

因当速度为1，〃/加”时，每分钟需氧量0.2L,所以40.2,故来回途中需氧量为

答案第15页，共19页

—4.(。,川，则在湖底的工作时间为人。2小

02

因为0.2QU+QX——20.4。,当且仅当u=l时取等号.

v

所以①当以时，和7-"v+呼)

的最大值是42.5-a.

②当pvl时，u«0,p],

因为＜1,

「0.2〃、岩⑺-叭皿厅。，

17-0.2卯+----

[P)2vp

即当。=口时，在湖底的工作时间的最大值为L17-0.2ap+-分钟.

0.4]IpJJ

因此，当?多时，潜水员在湖底最多能工作42.5七分钟：当内1时，潜水员在湖底最多能

工作上17-1。.2在+管J分钟.

20.(1)证明过程见解析；

吗

【解析】

【分析】

(1)作出辅助线，证明出平行四边形，得到线线平行，进而证明线面平行；(2)由中点关

系及正方形得到体积之比为J.

4

(1)

取PB中点H,连接FH,EH,因为点E、F分别为AO、PC的中点.

所以Ff/〃CB,FH=^BC,因为四边形4BCC为正方形，所以8c〃A。，且BC=4。，所

以DE〃FH,DE=FH,所以四边形。EH尸为平行四边形，所以DF〃HE,因为OF(Z平面

PBE,HEu平面PBE,故OF〃平面PBE

答案第16页，共19页

p

(2)

因为尸是PC的中点，所以Vp_M>F=JVp_BDc，因为四边形A